數(shù)學(xué)文化視角下高考數(shù)學(xué)問題研究

☉江蘇省南通市小海中學(xué) 孫德泉

2017 年高考數(shù)學(xué)大綱明確提出了數(shù)學(xué)文化這一考點，全國多個地區(qū)高考數(shù)學(xué)題目涉及了數(shù)學(xué)文化問題，并且這類問題，在高考數(shù)學(xué)中涉及的題型較多，所占的分值也較高.在高考數(shù)學(xué)中涉及數(shù)學(xué)文化類的問題主要包含數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史等，能夠符合不同學(xué)生的興趣，極大地提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.將數(shù)學(xué)文化融入高考數(shù)學(xué)當(dāng)中，其中涉及的一些數(shù)學(xué)知識是對我國傳統(tǒng)文化的一種傳承，讓學(xué)生了解我國古人的智慧.將數(shù)學(xué)文化融入高考數(shù)學(xué)當(dāng)中，既是教育改革的需要，也是發(fā)展與傳承數(shù)學(xué)文化的重要途徑.

一、數(shù)學(xué)文化視角下高考數(shù)學(xué)題目知識特點

總體上來說，高考數(shù)學(xué)問題中涉及的數(shù)學(xué)文化知識主要包含數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史等，通過對近些年高考數(shù)學(xué)問題中涉及數(shù)學(xué)文化的考題的整理發(fā)現(xiàn)，該類考題涵蓋了高考數(shù)學(xué)中的選擇題、填空題和解答題，其中選擇題和填空題所占比例較高.在2015 年高考數(shù)學(xué)題目中，湖北理科數(shù)學(xué)試卷就有3 個問題涉及了數(shù)學(xué)文化，其中選擇題一個，解答題兩個，都是以直接呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的形式出現(xiàn)的，其中選擇題第2 題以“米谷粒分”問題為文化背景，結(jié)合代數(shù)相關(guān)知識構(gòu)成了數(shù)學(xué)問題.第19 題和21 題，分別以“陽馬和鱉臑”和“舒騰的橢圓規(guī)”為文化背景，結(jié)合立體幾何和解析幾何的知識構(gòu)成了數(shù)學(xué)問題.全國Ⅰ卷的選擇題第6 題以“為米幾何”為文化背景，結(jié)合圓錐體積公式構(gòu)成了數(shù)學(xué)考題，第20 題解答題以“阿基米德三角形”為文化背景，結(jié)合解析幾何構(gòu)成了數(shù)學(xué)考題.隨著教育改革的實施，以數(shù)學(xué)文化為背景的高考數(shù)學(xué)題不斷涌現(xiàn)，在2017年的高考數(shù)學(xué)試題中，全國卷均出現(xiàn)了以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)學(xué)考題.其中“太極圖”與概率問題相結(jié)合；“印度國王的棋盤搗鼓問題”、“算法統(tǒng)宗”與數(shù)列相結(jié)合，構(gòu)成了該年高考數(shù)學(xué)的部分選擇題.同年，江蘇省理科數(shù)學(xué)試題中，更是涉及了4 道以數(shù)學(xué)文化為背景的考題，其中有3 道均為解答題，它們分別是以“蝴蝶定理與四點共圓”的數(shù)學(xué)史與解析幾何相結(jié)合；“P（k）數(shù)列”的人文類與數(shù)列相結(jié)合；“柯西不等式”的數(shù)學(xué)史與不等式部分知識相結(jié)合，組成了17、19、21 三個解答題.

通過對近些年高考數(shù)學(xué)試題中涉及數(shù)學(xué)文化的問題研究來看，主要以數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的文化背景為主，占到了接近半數(shù)，其次是數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與生活.在知識點的結(jié)合處，主要以與數(shù)與代數(shù)部分知識相融合的部分較多，其次是圖形與幾何、統(tǒng)計與概率.

二、數(shù)學(xué)文化視角下高考數(shù)學(xué)題目知識分類

1.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史類

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，是高考數(shù)學(xué)題目中涉及數(shù)學(xué)文化類題型的主要組成形式，其中包含數(shù)學(xué)家的故事，數(shù)學(xué)史上的重大事件和歷史上的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題.通過對近些年數(shù)學(xué)文化類考題的統(tǒng)計分析來看，阿基米德、楊輝、歐拉等是以歷史名人所創(chuàng)造的定理為背景而設(shè)計的數(shù)學(xué)題的主要人物，《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》是歷史著作當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)學(xué)史類問題.

例1（2017 年高考數(shù)學(xué)理科全國卷Ⅱ第3 題）在我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》當(dāng)中記載著這樣一個問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”該詩句的意思是：在一個七層的燈塔上總共有381盞燈，相鄰的兩層燈塔中，下一層燈塔燈的數(shù)量是上一層燈的兩倍，那么該燈塔的最高層有燈（ ）.

A.1 盞 B.3 盞 C.5 盞 D.9 盞

問題分析：該題目是一道簡單的等比數(shù)列求和問題，題目中以《算法統(tǒng)宗》這一數(shù)學(xué)著作為文化背景，改變了傳統(tǒng)題目中生硬的解題模式，無形之中給學(xué)生滲透了數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).該題目將古代數(shù)學(xué)名著展現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)題目當(dāng)中，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)源于生活，代代相傳的理念.

2.數(shù)學(xué)與人文類

數(shù)學(xué)給人的印象就是嚴謹、嚴肅，并沒有什么美感可言，其實，數(shù)學(xué)也具有它的藝術(shù)性，也是浪漫文藝的，它能夠通過語言文學(xué)、美術(shù)、音樂、建筑等方面來展示自身的藝術(shù).在高考數(shù)學(xué)試卷中，設(shè)置數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題，能夠改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，為后期的數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

例2（2017 年高考數(shù)學(xué)理科全國卷Ⅰ第3 題）圖1中所示為我國古代的太極圖，該太極圖處在正方形ABCD中，正方形ABCD的內(nèi)切圓的黑色部分與白色部分以正方形的中心成中心對稱圖形，現(xiàn)在正方形內(nèi)隨機選一點，該點恰好選中黑色部分的概率是（ ）.

圖1

問題分析：該數(shù)學(xué)題是一道幾何概型問題，主要考查圖形對稱性.太極圖在我國傳統(tǒng)文化中占有重要的地位，它象征著無限的生生不息的宇宙，蘊含著相生相克的哲學(xué)原理，象征著自然界中的四季交替.題目引入太極圖形，道出了世間萬物運轉(zhuǎn)之道，不僅考查了數(shù)學(xué)知識，也是對我國傳統(tǒng)文化的一種繼承和發(fā)揚.

3.數(shù)學(xué)與生活類

數(shù)學(xué)與生活實踐相結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點和歸宿，數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，高考數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合類題型主要以數(shù)學(xué)文化在生活中的體現(xiàn)為主，涵蓋了個人生活和社會生活兩個方面.

例3（2015年高考數(shù)學(xué)湖北理科第2 題）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有著“米谷粒分”的問題：國家糧倉開倉收糧，有一地方送來1534石米，通過倉管的檢驗，發(fā)現(xiàn)米中夾雜著谷子，在隨機抽取一把米的時候，發(fā)現(xiàn)254粒米中夾著谷28粒，那么這一批米中夾雜谷子約為（ ）.

A.133 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

問題分析：該題的數(shù)學(xué)文化背景選自《數(shù)學(xué)九章》，其中的故事涉及了現(xiàn)實生活中的問題，就將它歸納到數(shù)學(xué)與生活類.該題主要考查的是隨機抽樣的相關(guān)知識，難度較低.學(xué)生在解決完問題后，不僅能夠獲得解題喜悅，還能夠了解我國古人如何來檢驗米谷是否合格，體現(xiàn)了我國古人的智慧.

4.數(shù)學(xué)與科技類

數(shù)學(xué)與科技類相融合的問題主要包括數(shù)學(xué)與生物學(xué)、地球與環(huán)境、前沿科學(xué)等問題相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)與科技相結(jié)合，能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在科技發(fā)展中的重要地位，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的重視度，其中“費馬點”就是一個很好的例子.

例4（2017 年高考數(shù)學(xué)北京理科卷中的第8 題）據(jù)相關(guān)資料記載，圍棋的空間復(fù)雜程度的上限M為3361，在宇宙中客觀存在的普通物質(zhì)的原子總數(shù)N 為1080，那么下列選項中與數(shù)值最接近的是（ ）.（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）

A.1033B.1053C.1073D.1093

問題分析：本題將天文方面的知識與數(shù)學(xué)對數(shù)方面的知識相結(jié)合，學(xué)生在做這道題的時候，在考查自身知識點的同時，還體會到了數(shù)學(xué)的神奇和偉大，從而激發(fā)自身今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

圖2