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    群環(huán)ZnG的理想化零因子圖的性質(zhì)

    2016-05-31 01:43:06郭述鋒謝光明
    關(guān)鍵詞:平面性直徑

    郭述鋒,謝光明,易 忠,3

    (1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京100048;2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西桂林541004;3.桂林航天工業(yè)學(xué)院,廣西桂林541004)

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    群環(huán)ZnG的理想化零因子圖的性質(zhì)

    郭述鋒1,2,謝光明2,易忠2,3

    (1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京100048;2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西桂林541004;3.桂林航天工業(yè)學(xué)院,廣西桂林541004)

    摘要:研究環(huán)的零因子圖,以圖的方式清晰、直觀地刻畫環(huán)的零因子的結(jié)構(gòu),這對(duì)理解環(huán)的結(jié)構(gòu)本身具有重要意義。本文主要討論了群環(huán)ZnG關(guān)于增廣理想Δ(G)的理想化ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的性質(zhì),分別給出了環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑和平面性的詳細(xì)刻畫,其中G為素?cái)?shù)階群。

    關(guān)鍵詞:群環(huán); 零因子圖; 圍長(zhǎng); 直徑;平面性

    0引言

    設(shè)R是有單位元的交換環(huán)。R的零因子圖是指一個(gè)簡(jiǎn)單圖Γ(R),它的頂點(diǎn)集為R的非零零因子組成的集合D(R)*,兩個(gè)不同的頂點(diǎn)x與y有一條邊連接?xy=0。1999年,Anderson和Livingston在文獻(xiàn)[1]中首次給出了上述定義,并且獲得了交換環(huán)R的零因子圖Γ(R)的一些基本結(jié)果:對(duì)任意的交換環(huán)R,R的零因子圖Γ(R)是連通的,Γ(R)的圍長(zhǎng)只能為3、4、∞,Γ(R)的直徑只能為0、1、2、3。此后,零因子圖的研究開始成為代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域,產(chǎn)生了一系列豐富的成果[2-10]。

    研究代數(shù)系統(tǒng)的零因子圖,對(duì)于理解代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身是很有意義的,這種研究方法的重要性在于其將代數(shù)系統(tǒng)的零因子的結(jié)構(gòu)以圖的形式給出一個(gè)比較清晰的描述,這種方法特別適用于僅含有有限個(gè)元素的代數(shù)系統(tǒng)的研究。2006年,Axtel和Stickles在文獻(xiàn)[2]中研究了交換環(huán)R關(guān)于R-模M的平凡擴(kuò)張的零因子圖的性質(zhì),對(duì)此平凡擴(kuò)張的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑等問(wèn)題做了一些討論,得到了一些深刻的結(jié)果。在文獻(xiàn)[10]中,我們討論了群環(huán)ZnG的零因子圖的性質(zhì),具體描述了ZnG的零因子圖的圍長(zhǎng)、直徑和平面性,其中G為素?cái)?shù)階群。在本文中,我們將繼續(xù)研究與群環(huán)ZnG密切相關(guān)的一類環(huán),以ZnG(+)Δ(G)表示,稱之為ZnG關(guān)于Δ(G)的理想化。我們主要研究環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子圖Γ(ZnG(+)Δ(G))的性質(zhì),分別給出Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)、平面性和直徑的較為具體的刻畫。

    本文中的群環(huán)ZnG,Zn均為模n剩余類環(huán)(n>1),G均為素?cái)?shù)p階群。記Zn={0,1,2,…,n-1},G={1,a,a2,…,ap-1},其中a的階°(a)=p。群環(huán)ZnG關(guān)于增廣理想Δ(G)的理想化是指集合{(α,x)|α∈ZnG,x∈Δ(G)}按照以下兩種運(yùn)算做成的環(huán):

    (ⅰ)(α,x)+(β,y)=(α+β,x+y);

    (ⅱ)(α,x)(β,y)=(αβ,αy+βx+xy)。

    將其記作ZnG(+)Δ(G)。易證ZnG(+)Δ(G)是有單位元(1,0)的交換環(huán)。

    下面,我們主要陳述一些有關(guān)圖的基本概念和符號(hào)。設(shè)Γ是一個(gè)圖,將Γ中最短圈的長(zhǎng)度稱為Γ的圍長(zhǎng),記作gr(Γ),如果Γ中不含圈,則稱gr(Γ)=∞;設(shè)x和y是Γ的兩個(gè)頂點(diǎn),將x與y之間的所有路徑中最短路的長(zhǎng)度稱為x與y之間的距離,記為d(x,y),Γ的直徑定義為diam(Γ)=sup{d(x,y)|x,y∈V(Γ)};如果Γ能畫在平面上使得它的邊僅在端點(diǎn)處相交,則稱Γ為平面圖;如果Γ中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條路相連,則稱Γ為連通圖;如果Γ中任意兩點(diǎn)均有單邊相連,則稱Γ為完全圖,以Kn表示。我們將完全二部圖表示為Km,n。設(shè)A是環(huán)R的子集,我們用|A|表示A的元素個(gè)數(shù),A*=A-{0}。關(guān)于群環(huán)的基本性質(zhì)參見文獻(xiàn)[11-12],關(guān)于圖的有關(guān)其他概念和符號(hào)參見文獻(xiàn)[13]。

    1環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子

    本節(jié)將得到環(huán)ZnG(+)Δ(G)的所有零因子。以下引理是文獻(xiàn)[3]命題2.2的一個(gè)直接的結(jié)果:

    引理1設(shè)ZnG為群環(huán),Δ(G)為ZnG的增廣理想,其中G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。則環(huán)ZnG(+)Δ(G)的零因子集合D(ZnG(+)Δ(G))={(0,x)|x∈Δ(G)}∪{(x,-x)|x∈Δ(G)} ∪ {(α,x)|α∈D(ZnG)*,x∈Δ(G)}∪{(α,x)|α∈ZnGD(ZnG),x∈Δ(G),?y∈Δ(G)*,使得y(α+x)=0}。

    2Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)與平面性

    在本節(jié)中,我們主要研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)與平面性。首先,我們給出Γ(ZnG(+)Δ(G))的圍長(zhǎng)的一個(gè)刻畫:

    定理1設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想,則gr(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

    證明由于在Γ(ZnG(+)Δ(G))中,(0,a-1)—(1+a+…+ap-1,0)—(a-1,1-a)—(0,a-1)構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)為3的圈,故gr(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。證畢。

    其次,我們研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的平面性。在證明主要結(jié)果時(shí),我們需要以下引理。

    引理2(文獻(xiàn)[13]定理9.5)圖Γ是平面圖的充分必要條件是K5或K3,3的任何細(xì)分都不是Γ的子圖。

    引理3(文獻(xiàn)[10]定理3)設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群。則Γ(ZnG)為平面圖當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一成立:①n=p=2;②n=p=3;③n=4,p=2;④n=3,p=2;⑤xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約,n=2,p≠2;⑥xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約,n=3,p≥5。

    我們先給出兩個(gè)有用的例子:

    例1設(shè)Z2為模2剩余類環(huán),G為2階群,則Z2={0,1},G={1,a},Z2G={0,a,1,1+a},Δ(G)={0,1+a},D(Z2G(+)Δ(G))={(0,0),(0,1+a),(1+a,1+a),(1+a,0)}。直接驗(yàn)證知,Γ(Z2G(+)Δ(G))為完全圖K3,從而為平面圖。

    例2設(shè)Z3是模3剩余類環(huán),G為2階群,則Z3={0,1,2},G={1,a},Z3G={0,1,2,a,1+a,2+a,2a,1+2a,2+2a},D(Z3G)={0,1+a,2+a,1+2a,2+2a},Δ(G)={0,2+a,1+2a},D(Z3G(+)Δ(G))={(0,0),(0,2+a),(0,1+2a),(2+a,1+2a),(1+2a,2+a),(1+a,0),(2+a,0),(1+2a,0),(2+2a,0),(1+a,2+a),(2+a,2+a),(2+2a,2+a),(1+a,1+2a),(1+2a,1+2a),(2+2a,1+2a),(1,1+2a),(2,2+a),(a,2+a),(2a,1+2a)}。我們得到Γ(Z3G(+)Δ(G))如圖1所示,不難看出Γ(Z3G(+)Δ(G))是由每個(gè)三分類中均有兩個(gè)頂點(diǎn)的1個(gè)完全三部圖和3個(gè)完全二分圖K2,4銜接而成。因?yàn)棣?Z3G(+)Δ(G))含有K3,3的剖分圖,如圖2所示,所以Γ(Z3G(+)Δ(G))是非平面圖。

    下面我們給出Γ(Z3G(+)Δ(G))的平面性的一個(gè)刻畫:

    定理2設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想,則Γ(ZnG(+)Δ(G))為平面圖當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

    證明由于Γ(ZnG)與Γ(ZnG(+)Δ(G))的一個(gè)子圖同構(gòu),因此若Γ(ZnG)為非平面圖,則Γ(ZnG(+)Δ(G))必為非平面圖。由引理3知,我們只須考慮以下6種情況:①n=p=2;②n=p=3;③n=4,p=2;④n=3,p=2;⑤xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約,n=2,p≠2;⑥xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約,n=3,p≥5。又Γ(ZnG(+)Δ(G))含有子圖K|Δ(G)|-1,|Δ(G)|-1,從而若|Δ(G)|≥4,由引理2得,Γ(ZnG(+)Δ(G))必為非平面圖。直接計(jì)算知:在①中,|Δ(G)|=2;在②中,|Δ(G)|=9;在③中,|Δ(G)|=4;在④中,|Δ(G)|=3;在⑤中,|Δ(G)|≥4;在⑥中,|Δ(G)|≥81。因此,我們只須考慮①和④。由例1知,當(dāng)n=p=2時(shí),Γ(ZnG(+)Δ(G))為平面圖;由例2知,當(dāng)n=3,p=2時(shí),Γ(ZnG(+)Δ(G))不是平面圖。證畢。

    圖1 Z3G(+)Δ(G)的零因子圖Fig.1 The zero-divisor graph of Z3G(+)Δ(G)

    圖2 K3,3的剖分圖Fig.2 The subdivision graph of K3,3

    3Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑

    在本節(jié)中,我們主要研究Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑。由于ZnG(+)Δ(G)是有單位元(1,0)的交換環(huán),從而Γ(ZnG(+)Δ(G))是連通圖,且diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤3。又環(huán)ZnG(+)Δ(G)總含有非零零因子(0,a-1),(a-1,1-a),且d((0,a-1),(a-1,1-a))=1,從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥1。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))只能為1、2、3。

    在文獻(xiàn)[10]中,我們給出了群環(huán)ZnG的零因子圖的直徑的一個(gè)刻畫。下面我們將從Γ(ZnG)的直徑出發(fā),利用分類討論的方法,刻畫Γ(ZnG(+)Δ(G))的直徑。為了讀者方便,我們將以引理的形式重新敘述文獻(xiàn)[10]中的定理2。

    引理4(文獻(xiàn)[10]定理2)設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群。則:

    ①diam(Γ(ZnG))=0當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

    由文獻(xiàn)[3]命題4.11知,如果diam(Γ(ZnG))=3,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。因此,我們立刻獲得以下結(jié)果:

    命題1設(shè)ZnG為群環(huán),Δ(G)為ZnG的增廣理想,其中G為素?cái)?shù)p階群。如果引理4③的條件(a)、(b)、(c)中有一個(gè)成立,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

    下面,我們分別予以刻畫這4種情況。

    命題2設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,n=p,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想。則:

    (a)當(dāng)n=p=2時(shí),diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1;

    (b)當(dāng)n=p且p≠2時(shí),diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。

    證明當(dāng)n=p=2時(shí),由例1知,Γ(ZnG(+)Δ(G))為完全圖K3,故此時(shí)diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1。當(dāng)n=p且p≠2時(shí),由引理4得,diam(Γ(ZnG))=2,故存在x,y∈D(ZnG)*,使得d(x,y)>1,進(jìn)而d((x,0),(y,0))>1,于是diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥2。由于當(dāng)n=p時(shí),ZnG為局部環(huán),故D(ZnG)=Δ(G),從而T2?T3。我們還注意到T4=?。事實(shí)上,若(α,x)∈T4,則存在y∈Δ(G)*,使得y(α+x)=0,從而α+x∈D(ZnG),進(jìn)而α+x∈Δ(G),而x∈Δ(G),于是α∈D(ZnG),矛盾。因此D(ZnG(+)Δ(G))*=T1∪T3。?(0,x),(0,y)∈T1,我們有路(0,x)—(x,-x)—(0,y),故d((0,x),(0,y))≤2;?(α,x),(β,y)∈T3,由于Δ(G)=〈a-1〉,其中〈a-1〉表示由a-1生成的ZnG的主理想,于是我們有一條路(α,x)—(ap-1+…+a+1,ap-1+…+a+1)—(β,y),故d((α,x),(β,y))≤2; ?(0,x)∈T1,(β,y)∈T3,我們有路(0,x)—(ap-1+…+a+1,ap-1+…+a+1)—(β,y),故d((0,x),(β,y)) ≤2,從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤2。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。證畢。

    命題3設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,n=pk,k>1,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。

    證明由引理4知,當(dāng)n=pk,k>1時(shí),diam(Γ(ZnG))=2,從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥2。由文獻(xiàn)[11]推論2得,ZnG為局部環(huán),其唯一極大理想m=IG+〈a-1〉,其中I為Zn的唯一極大理想,從而Δ(G)?D(ZnG)。由命題2的證明知:D(ZnG(+)Δ(G))*=T1∪T3,且?(0,x),(0,y)∈T1,d((0,x),(0,y))≤2。?(α,x),(β,y)∈T3,我們有(α,x)—(pk-1(ap-1+…+a+1),pk-1(ap-1+…+a+1))—(β,y),故d((α,x),(β,y))≤2;?(0,x)∈T1,(β,y)∈T3,同理可證,d((0,x),(β,y))≤2,從而diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≤2。因此diam (Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2。證畢。

    命題4設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為2階群,n為奇素?cái)?shù),Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

    證明由文獻(xiàn)[11]定理2知,ZnG是有兩個(gè)極大理想的半局部環(huán),設(shè)其極大理想為m1=〈a-1〉,m2=〈1+a+…+ap-1〉,則D(ZnG)=m1∪m2。首先證明:2+a2+a3+…+ap-1?D(ZnG)。若2+a2+a3+…+ap-1∈m1,則存在xi∈Zn,0≤i≤p-1,使得

    2+a2+a3+…+ap-1=(x0+x1a+…+xp-1ap-1)(a-1)=

    (xp-1-x0)+(x0-x1)a+(x1-x2)a2+…+(xp-2-xp-1)ap-1,

    從而有xp-1-x0=2,x0-x1=0,xj-xj+1=1,j=1,…,p-2,進(jìn)而有x0-xp-1=p-2,于是p=0,這與n≠p矛盾;若2+a2+a3+…+ap-1∈m2,則存在yi∈Zn,0≤i≤p-1,使得2+a2+a3+…+ap-1=(y0+y1a+…+yp-1ap-1)(1+a+…+ap-1),由于等式右邊每一個(gè)ai的系數(shù)均為y0+y1+…+yp-1,矛盾。因此2+a2+a3+…+ap-1?D(ZnG) 。由于Δ(G)=〈a-1〉,并注意到(a-1)((2+a2+a3+…+ap-1)+(a-1))=ap-1=0,從而 (2+a2+a3+…+ap-1,a-1)∈T4。直接驗(yàn)證知,Ann(2+a2+a3+…+ap-1,a-1)={(0,x)|x∈Δ(G)*}。?x∈Δ(G)*,由文獻(xiàn)[10]引理5得,(a-1)x≠0,從而(a-1,0)(0,x)=(0,(a-1)x)≠ (0,0),從而d((2+a2+a3+…+ap-1,a-1),(a-1,0))=3。因此diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。證畢。

    綜合命題1~5,我們給出群環(huán)ZnG的理想化ZnG(+)Δ(G)的零因子圖的直徑的一個(gè)刻畫:

    定理3設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想。則:

    ①diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

    ②diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立:(a)n=p且p≠2;(b)n=pk,k>1。

    ③diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立:(a)(p,n)=1;(b)n=pkq,q>1,(p,q)=1,k≥1。

    注綜合定理3和引理4,我們不難得到diam(Γ(ZnG))和diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))之間的關(guān)系:設(shè)Zn為模n剩余類環(huán),G為素?cái)?shù)p階群,Δ(G)為群環(huán)ZnG的增廣理想,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))≥diam(Γ(ZnG))。具體地,如果diam(Γ(ZnG))=0,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=1; 如果diam(Γ(ZnG))=2,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=2或3;如果diam(Γ(ZnG))=3,則diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。在這里,我們給出一個(gè)diam(Γ(ZnG))和diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))不相等的例子:取Zn為模3剩余類環(huán),G為2階群,則diam(Γ(ZnG))=2,diam(Γ(ZnG(+)Δ(G)))=3。

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    (責(zé)任編輯黃勇)

    Properties of Zero-divisor Graphs of Idealizations of Group RingsZnG

    GUO Shufeng1,2,XIE Guangming2,YI Zhong2,3

    (1.School of Mathematical Sciences,Capital Normal University,Beijing 100048,China;2.College of Mathematics and Statistics ,Guangxi Normal University,Guilin Guangxi 541004,China;3. Guilin University of Aerospace Technology ,Guilin Guangxi 541004,China)

    Abstract:It is very important to understand the structure of the ring itself by studying the zero-divisor graph of a ring to clearly and intuitively describe the structure of its zero-divisors by means of graph. Let G be a cyclic group of prime order, ZnG group rings of G over Zn and Δ(G)augmentation ideals of ZnG. Properties of zero-divisor graphs of idealizations of ZnG with respect to Δ(G) are discussed in this paper. It provides detailed descriptions of the girth,the diameter and the planarity of zero-divisor graphs of idealizations of ZnG,respectively.

    Keywords:group ring; zero-divisor graph; girth; diameter; planarity

    中圖分類號(hào):O153.3

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    文章編號(hào):1001-6600(2016)01-0066-06

    基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161005);北京市教育委員會(huì)科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(KZ201410028033)

    收稿日期:2015-07-27

    doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.010

    通信聯(lián)系人:易忠(1961—),男,湖南長(zhǎng)沙人,廣西師范大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師,桂林航天工業(yè)學(xué)院教授,博士。E-mail:yizhong66@126.com

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