時空Kriging在局域地磁場分析中的應(yīng)用

陳鼎新，劉代志，孟　亮，李義紅，楊曉君

(火箭軍工程大學(xué)907教研室，陜西西安710025)

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時空Kriging在局域地磁場分析中的應(yīng)用

陳鼎新，劉代志，孟亮，李義紅，楊曉君

(火箭軍工程大學(xué)907教研室，陜西西安710025)

摘要：地磁場在空間上和時間上具有連續(xù)性和相關(guān)性，考察時間特性對于地磁場分析精度的影響，是本文的目的。本文以寧夏周圍局域地磁場秒數(shù)據(jù)為研究對象，應(yīng)用時空Kriging函數(shù)進(jìn)行插值計算，采用Product-Sun模型結(jié)合時間和空間信息，使得插值精度大幅度提高。用空間域方法的最近鄰、V4樣條插值和Kriging方法進(jìn)行對比的結(jié)果表明，由于充分利用了時間域信息，時空Kriging精度更高。本文還分析了其高精度的原因，并對時空插值過程中數(shù)據(jù)庫容量的選擇進(jìn)行討論。

關(guān)鍵詞：地磁場；時空Kriging；交叉驗證；變差函數(shù)

時空Kriging在分析連續(xù)變化的自然特征量時，具有明顯的優(yōu)勢。研究者已經(jīng)將時空Kriging成功應(yīng)用于空氣質(zhì)量檢測[6-7]、降雨量建模[8]、風(fēng)力數(shù)據(jù)插值[9]、地下水位分析[10-11]等領(lǐng)域，該方法能夠利用時間相關(guān)性提高分析精度。而在地磁場的分析中，目前仍沒有學(xué)者應(yīng)用時空Kriging。

筆者曾初步探討過時間域信息對地磁場插值的改進(jìn)，本文針對地磁場數(shù)據(jù)，進(jìn)一步研究用時空Kriging方法進(jìn)行插值所涉及的一些問題，如精度提高的原因、時空插值過程中數(shù)據(jù)庫容量的選擇等。

1方法原理

Kriging方法是以南非礦業(yè)工程師D. G. Krige (克里金)名字命名的一項實用空間估計技術(shù)，是地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的重要組成部分。假設(shè)在待估計點x的臨域內(nèi)共有n個實測點，即x1,x2,…，xn，其樣本值為Z(xi)。General Kriging的插值公式為：

(1)

定義變差函數(shù)：

(2)

通過解Kriging方程組

(3)

算出權(quán)重系數(shù)λ，進(jìn)而由式(1)得到Z*(x)的值。

時空Kriging是在Kriging算法的基礎(chǔ)上，引入時間域的連續(xù)性與相關(guān)性。用A=(si,tj)表示時空域中某一點的坐標(biāo)，則該點處特征量的值可以表示為鄰域內(nèi)所有點的加權(quán)和[6]：

(4)

飽和輸出灰度值隨電子注量的變化規(guī)律，如圖3所示，不同輻照偏置條件下器件的退化趨勢相似，即隨電子注量增加飽和輸出灰度值不斷減小,說明飽和輸出灰度值對電離總劑量敏感。

(5)

則可以通過Kriging方程組

(6)

來求解λ?，F(xiàn)實中，由于時間和空間中變量的量綱不同，時空聯(lián)合與域距離很難統(tǒng)一表示，直接求變差函數(shù)的時空聯(lián)合分布是困難的[12]。然而，通過一些典型的模型，例如Product-Sum[13-15]、Product- Integration[16-17]及Cressie-Huang[18]模型等，可以用時間域條件分布函數(shù)和空間域條件分布函數(shù)

(7)

來表示時空域的變差函數(shù)[18]

γs,t(hs,ht)=F(γs,t(hs,0),γs,t(0,ht))。

(8)

2實驗分析

2.1數(shù)據(jù)來源

實驗采用的數(shù)據(jù)，是寧夏周圍6個地磁觀測臺站2009年2月14日的地磁場秒數(shù)據(jù)序列。臺站位置如圖1所示，覆蓋了經(jīng)度103.0°E～104.2°E，緯度35.6°N～37.3°N的范圍。在地磁導(dǎo)航等應(yīng)用中通常將地磁信號的Z分量作為地磁匹配分量[18]，因此，本文選擇地磁Z分量作為研究對象，對一天中地磁場數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)域插值[19]。

2.2時空變差函數(shù)構(gòu)建

用式(7)估計空間域和時間域的條件變差函數(shù)，并進(jìn)行擬合。通常用到的擬合函數(shù)有sphere函數(shù)、index函數(shù)、Gauss函數(shù)等[6]。首先從變差函數(shù)估計值的分布形狀判斷，空間域變差函數(shù)接近于sphere分布，時間域變差函數(shù)符合index分布。再利用估計值，分別對參數(shù)進(jìn)行擬合，空間域變差函數(shù)和時間域變差函數(shù)分別為：

(9)

(10)

圖1　臺站分布圖Fig.1　Illustration of monitoring stations

圖2　條件變差函數(shù)的擬合結(jié)果Fig.2　Illustration of fitted variogram funtions

擬合過程如圖2所示。參照式(7)，利用條件分布函數(shù)來構(gòu)建時空域變差函數(shù)如圖3所示。本文采用Product-Sum模型進(jìn)行計算，模型計算公式為[13-15]：

γst(hs,ht)=(k1Ct(0)+k2)γs(hs)+(k1Cs(0)+k3)γt(ht)-k1γs(hs)γt(ht)，

其中：Cs(0)=nuggets+sills；Ct(0)=nuggett+sillt；Cst(0)取實驗變差函數(shù)的最大值0.494 6[15]。得到時空變差函數(shù)：

γst(hs,ht)=γs(hs)+γt(ht)-0.494 6γs(hs)γt(ht)。

2.3結(jié)果分析

對觀測臺站進(jìn)行交叉驗證實驗。實驗中，計算某一時刻t的值，用其前60 s的觀測量建立數(shù)據(jù)庫，即用區(qū)間[t-60,t-1]內(nèi)的所有值進(jìn)行分析。性能的檢驗標(biāo)準(zhǔn)是誤差統(tǒng)計量mean absolute error (MAE)和root mean square error (RMSE)

對一天中每一個準(zhǔn)點時刻進(jìn)行交叉驗證實驗并記錄結(jié)果。用V4、最近鄰[20]、Kriging等空間域插值方法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4所示。相對于空間域插值方法，時空Kriging的插值精度有了大幅度的提高。無論MAE還是RMSE，時空Kriging的誤差都遠(yuǎn)小于空間域方法，精度明顯提高。

圖4　交叉驗證的誤差統(tǒng)計量分析Fig.4　Statistics of cross validation

將各時間點的MAE和RMSE進(jìn)行時間域的加權(quán)平均，結(jié)果如表1所示。時空Kriging的時間域誤差統(tǒng)計量遠(yuǎn)小于其他方法，表明時空Kriging在進(jìn)行插值的24個整點時間處，計算精度總體較高。時間域信息的加入，大大提高了插值的總體精度。而精度大幅度的提高，也得益于所用數(shù)據(jù)的高時間分辨率。實驗數(shù)據(jù)為地磁場的秒數(shù)據(jù)，分辨率達(dá)到秒級。CM4模型的時間分辨率是6 h。相比于CM4模型，我們的模型時間采樣更密集，時間信息更豐富，因此時空Kriging的精度也越高。

表1　誤差統(tǒng)計量的時間域平均

2.4時空Kriging數(shù)據(jù)庫容量的討論

對t時刻進(jìn)行插值時，用到了[t-n,t-1]的先驗知識，其中時間長度n的大小即數(shù)據(jù)庫容量。圖5中記錄了不同數(shù)據(jù)庫容量下，時空Kriging插值誤差的時間域均值。從圖中可以看出，數(shù)據(jù)庫容量為零時，時空Kriging的插值誤差在101數(shù)量級，與普通的空間域插值方法無異；數(shù)據(jù)庫容量從0到1的過程中，時空Kriging的插值誤差出現(xiàn)大幅下降，達(dá)到10-2數(shù)量級。數(shù)據(jù)庫容量為0，即計算t時刻數(shù)據(jù)時，只用到了當(dāng)前時刻的值，并沒有利用先驗知識，此時的時空Kriging退化為空間域的Kriging方法。從容量為1開始，歷史信息被加入時空Kriging的計算過程，先驗知識提高了插值的精度，而數(shù)據(jù)的高時間分辨率以及時間相關(guān)性，使得時空Kriging插值的精度提高幅度較大。

圖5　時空Kriging數(shù)據(jù)庫對性能的影響Fig.5　Influence of data base to Spatiotemporal Kriging

圖6　各臺站數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)Fig.6　Autocorrelation of data in each station

從圖5中可以看到，隨著數(shù)據(jù)庫容量的增大，時空Kriging的插值誤差增大，最終維持在某一穩(wěn)定值。如圖6所示，數(shù)據(jù)的時間相關(guān)性隨著時間增加而減小。當(dāng)數(shù)據(jù)庫容量增大時，相關(guān)性較小的先驗知識被加進(jìn)數(shù)據(jù)庫，在一定程度上干擾了插值，降低精度。在時間域距離達(dá)到某一個值后，超出鄰域范圍的點在計算過程中將不予考慮，因此，圖4中曲線最終維持在某一固定值。

3結(jié)論

地磁場是一種隨空間、時間變化的物理量，在時間上具有連續(xù)性和相關(guān)性。因此在分析過程中，考慮時間域的相關(guān)性可以提高插值精度。時空Kriging可以有效地利用時間域的先驗知識，改進(jìn)插值的性能。本文將時空Kriging應(yīng)用于地磁場分析領(lǐng)域，采用Product-Sum模型結(jié)合時間和空間信息，使得插值精度大幅度提高。分析了時空Kriging獲得高精度的原因，即數(shù)據(jù)的高時間分辨率，并討論了數(shù)據(jù)庫容量對時空Kriging算法的影響。結(jié)果表明，地磁場分析過程中，運用時空Kriging可以充分利用時間域信息獲得高精度，比空間域插值算法更有優(yōu)勢。

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(責(zé)任編輯李小玲)

Applications of Spatiotemporal Kriging in Local Geomagnetic Field Analysis

CHEN Dingxin, LIU Daizhi, MENG Liang, LI Yihong, YANG Xiaojun

(PLA Rocket Force Engineering University, Xi’an Shaanxi 710025, China)

Abstract:Geomagnetic field has continuity and relativity, and the influence of time characteristics on the analysis precision of geomagnetic field is the aim of this paper. Based on the local geomagnetic field data in Ningxia, China, we use the spatial and temporal Kriging function to carry out interpolation calculation. Spatiotemporal Kriging is the extension of Kriging method in space-time domain, including simulation of conditional variation function, construction of space time variation function, cross validation and so on. According to the experiment results, due to the full use of space-time information, Spatiotemporal Kriging outperforms space-only methods, such as the nearest, V4 and Kriging methods. The reason for improvement of accuracy is analyzed, and the selection of database capacity in the process of spatial and temporal interpolation. is discussed.

Keywords:geomagnetic field; spatiotemporal Kriging; cross validation; variogram

中圖分類號：P318.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-6600(2016)01-0038-07

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(41374154，61304240)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2014M552589)

收稿日期：2015-05-14

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.006

通信聯(lián)系人：劉代志(1960—)，男，湖南醴陵人，火箭軍工程大學(xué)教授，博士。E-mail：ldzpwt@163.com