精選“形異質(zhì)同”問題，促進(jìn)學(xué)生想深想透
——由兩道習(xí)題講評的教學(xué)片段說起

江蘇省揚(yáng)州市高郵城北中學(xué) 朱愛華

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生態(tài)下，大量的課都在講習(xí)題，然而很多教輔資料上的習(xí)題量大、質(zhì)劣，如果不加取舍、有的放矢進(jìn)行選練和講評，則學(xué)生常常難以走出題海.特別是對于一些習(xí)題的講評，如果教師本人對“形異質(zhì)同”問題缺少足夠的“眼力”將其識別出來，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比、分析、內(nèi)化，這種解題或解題教學(xué)常常會入寶山而空返，不利于學(xué)生學(xué)會解題、學(xué)會洞察問題深層結(jié)構(gòu).本文從近期習(xí)題課上搜集到的兩道“形異質(zhì)同”習(xí)題出發(fā)，記錄學(xué)生的解法及我們對其的講評與回顧反思，希望能加深大家對“形異質(zhì)同”習(xí)題在解題教學(xué)過程中的價值的認(rèn)識.

一、兩道“形異質(zhì)同”習(xí)題的教學(xué)片段分享

說明：以下是關(guān)于題1、題2的教學(xué)講評記錄，這兩道習(xí)題散見在一份單元檢測試卷中，從閱卷情況來看，學(xué)生完成得都不太好，所以我們對這兩道“形異質(zhì)同”習(xí)題進(jìn)行關(guān)聯(lián)式講評.

題1：若a＋b=-2，且a≥2b，則以下說法正確的是（ ）.

生1：依次分不同情況討論.情形1：a＞0，b＞0，結(jié)合a＋b=-2，可得不符合題意，舍去；情形2：a＜0，b＜0；情形3：a＞0，b＜0；情形4：a＜0，b＞0，結(jié)合a≥2b，可得不符合題意，舍去.則b＜0.又a≥2b，則

生2：與生1相比，判斷b＜0的思路不同.由a＋b=-2，得a=-2-b.又a≥2b，則-2-b≥2b，則b≤，即b＜0.后續(xù)思路一致.

生3：用特殊值法與排除法，獲得答案.比如，先類似生2的方法，解得，接著選定特殊值：當(dāng)，排除B；當(dāng)a=1、b=時，，排除A、D.于是，獲得答案.

簡評：生1思路清楚，首先判斷a或b的正負(fù)，與生2不同的是進(jìn)行了分情況討論.相比較而言，生2的判斷方法更好，用消元的思想求未知數(shù)的取值范圍，更精準(zhǔn).而生3則用了選擇題的技巧性解法——排除法，當(dāng)然這種解法的“力量感”“弱”了很多.生4出現(xiàn)了兩處錯誤.錯誤之一：分析出b有最大值，而根據(jù)不等關(guān)系，a應(yīng)當(dāng)有最小值.錯誤之二：將看作a×，b越大，但在范圍b≤內(nèi)會越來越小，因此的最大值是2這個說法有誤.

教師解法：針對A、B、D選項，可以借助雙曲線的位置來“數(shù)形結(jié)合”地分析.比如，先“消參”得到，再根據(jù)圖像，以及，可以看出的最大值是2，最小值不存在.

題2：已知三個非負(fù)實數(shù)x、y、z滿足則代數(shù)式x＋4y＋3z的最小值為？

學(xué)生解法：用加減消元法消參，得由x≥0，y≥0，得解得10≤z≤20.進(jìn)一步將待求的代數(shù)式“化簡”，得到x＋4y＋3z=150-4z.要使結(jié)果最小，則4z最大.當(dāng)z=20時，x+4y+3z取得最小值70.

教學(xué)記錄：在評講過程中，題目中有幾個等量關(guān)系和不等關(guān)系，常用思路是利用等式消元，利用不等式求范圍.與“題1”稍有不同的是未知數(shù)的個數(shù)不同.當(dāng)出現(xiàn)三個未知數(shù)但只有兩個方程時，一般考慮整體思想或者“消參”，即用一個未知數(shù)表示另外兩個未知數(shù).

二、關(guān)于“形異質(zhì)同”題的教學(xué)思考

1.備課要善于將“形異質(zhì)同”題歸類呈現(xiàn)

當(dāng)前在集體備課時，備課組內(nèi)很多功夫都花在選題上，把好例、習(xí)題的質(zhì)量關(guān)，這是有效的.特別是現(xiàn)在有些組題網(wǎng)站功能強(qiáng)大，只要設(shè)定選題范圍（按某種版本教材的章節(jié)）再加上一些關(guān)鍵詞進(jìn)行選題，很快就能生成大量形式上高度相同的問題.但是，我們的教研備課不能止步于此，還需要考慮選用的例、習(xí)題之間的聯(lián)系，而不只是把一些“形同質(zhì)同”的題拼湊在一起，還需要考慮與一些“形異質(zhì)同”問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，組合在一起以“問題串”或題組歸類的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生能通過對這些題組的練習(xí)，感悟問題的深層結(jié)構(gòu)，使得以后碰到類似結(jié)構(gòu)問題時，能夠識別、迅速轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，這就要求教師在備課時下足功夫，教師本人首先要有識別“形異質(zhì)同”問題的眼力.

2.教學(xué)時可安排學(xué)生上臺展示解法或思路

當(dāng)體現(xiàn)同類結(jié)構(gòu)的題組呈現(xiàn)之后，可以先安排學(xué)生獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)適當(dāng)交流，再全班匯報展示.教師針對學(xué)生可能的解法要有充分的預(yù)設(shè)，這樣可以從容、靈活地駕馭課堂，做出恰時恰點的診評，跟進(jìn)必要的追問，使學(xué)生的解法或?qū)栴}的理解全面而深刻，而不只是獲得問題的答案.比如，上文中的題例解決之后，可進(jìn)行適當(dāng)小結(jié)，讓學(xué)生認(rèn)識到對于這類“多參數(shù)”問題，成功求解需要“消參”，將多元方程或不等式轉(zhuǎn)化為一元一次方程或二元一次方程組來思考，并最終向一元一次不等式轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)思路貫通.

3.引導(dǎo)學(xué)生開展解題后的必要回顧與反思

在一些較難習(xí)題歸類講評之后，還要進(jìn)行必要回顧與小結(jié)，讓學(xué)生“回看”探究與求解過程，提煉出問題結(jié)構(gòu)，積累基本圖形及性質(zhì).除了上文提供的這類涉及“消參”的問題，七年級學(xué)生在初學(xué)平面幾何時，還有很多幾何基本圖形及性質(zhì)需要通過解后回顧和反思進(jìn)行提煉和深化.比如，三角形的兩條內(nèi)角平分線夾角問題、一條內(nèi)角與一條外角平分線夾角問題、兩條外角平分線夾角問題，如果分開練習(xí)講評，則是入寶山而空返，學(xué)生學(xué)到的往往是零散的數(shù)學(xué)內(nèi)容，需要將它們集中在一節(jié)課中進(jìn)行講評、對比，最后階段還要把它們集中到一個圖形中讓學(xué)生看清它們之間的關(guān)系.再比如，初學(xué)三角形的角時，學(xué)生常常遇到以下一類問題：

題組：如圖1，在△ABC中，AE、AD分別是△ABC的角平分線、高線.

（1）∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù)；

（2）∠BAC=70°，∠BAC=70°，求∠DAE的度數(shù)；

（3）∠C-∠B=30°，求∠DAE的度數(shù)；

（4）請猜想∠DAE與∠B和∠C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1

圖2

教學(xué)組織：學(xué)生練習(xí)這組問題之后要提煉出從三角形同一頂點引出的角平分線與高線的夾角等于三角形另外兩角差的絕對值的一半，并且讓學(xué)生感受到這組“問題串”是從特殊走向一般的設(shè)問方式，屬于“并列式問題”，但需要“遞進(jìn)式”求解.如果只是滿足于上述題組的訓(xùn)練，還不夠深入，講評之后，我們還可繼續(xù)跟進(jìn)如圖2、圖3這樣的變式問題，在圖2中，在線段AE上取點P，作PH⊥BC于點D，分析∠EPH與∠B和∠C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；進(jìn)一步，點P在線段AE的延長線上時，作PH⊥BC于點D，分析∠EPH與∠B和∠C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并且引導(dǎo)學(xué)生作出輔助線“高AD”來實現(xiàn)問題快速轉(zhuǎn)化.

圖3

三、寫在后面

近讀鄭毓信教授著作，鄭教授反復(fù)強(qiáng)調(diào)廣大一線教師要有思辨力、要有定力，于很多創(chuàng)造名詞或概念的教學(xué)方法與教學(xué)模式的研究而言，我們?nèi)绾尾拍艹蔀檎嬲闹黧w而不是永遠(yuǎn)處于“被運(yùn)動”的地位？鄭教授建議：“立足專業(yè)成長，關(guān)注基本問題.”在這個角度上看，我們應(yīng)該從自己的日常教學(xué)工作出發(fā)，搜集、整理并反思數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的典型案例，將實踐與理論結(jié)合起來，努力做好“理論的實踐性解讀”與“教學(xué)實踐的理論性反思”.想來，不可能每位教師都成為所謂的特級或名師，但“作為研究者的教師”，應(yīng)該是每位教師都可以和應(yīng)該追求的.