單通道旋轉(zhuǎn)彈舵面控制律與轉(zhuǎn)速研究*

楊 宇，溫求遒，李 威，夏群利，阮 聰

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100081)

0 引言

在飛行器中，有一類繞自身縱軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)彈叫做旋轉(zhuǎn)彈。通過彈體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可有效改善推力偏心、質(zhì)量偏心以及外形加工工藝誤差等干擾的影響，保持彈體的穩(wěn)定性[1]。旋轉(zhuǎn)彈通常不控制滾轉(zhuǎn)回路，根據(jù)舵控制方式，可分為單通道控制與雙通道控制。雙通道控制為兩個(gè)舵機(jī)分別控制一對(duì)舵面，實(shí)現(xiàn)俯仰與偏航的控制飛行，與非滾轉(zhuǎn)彈的俯仰偏航相對(duì)比，雙通道旋轉(zhuǎn)彈只是將自動(dòng)駕駛儀生成的俯仰偏航舵指令通過當(dāng)前滾轉(zhuǎn)角分解到兩對(duì)舵上去，在不考慮滾轉(zhuǎn)帶來的指令滯后情況下，雙通道旋轉(zhuǎn)彈與非旋轉(zhuǎn)彈控制效果一樣[2]。單通道控制則是旋轉(zhuǎn)彈特有的控制方式，即以一個(gè)通道的控制器同時(shí)控制俯仰和偏航兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。早期的單通道控制采用繼電式舵機(jī)，通過彈體旋轉(zhuǎn)一個(gè)周期內(nèi)數(shù)次變換舵機(jī)指令，通過不同的變換時(shí)間點(diǎn)使得舵機(jī)在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)工作的積分效應(yīng)產(chǎn)生等效控制力，最終實(shí)現(xiàn)彈體在空間內(nèi)任意方向的控制飛行[3]。隨著舵機(jī)的發(fā)展與性能改進(jìn)，比例舵機(jī)應(yīng)用愈發(fā)廣泛，相對(duì)于繼電式舵機(jī)，比例舵機(jī)可以自由控制當(dāng)前舵機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，能夠更加自由的實(shí)現(xiàn)單通道舵機(jī)控制方式[4]。文中研究繼電式舵機(jī)與比例舵機(jī)的不同的舵機(jī)控制方式并通過仿真分析其穩(wěn)定控制條件。

1 制導(dǎo)火箭彈運(yùn)動(dòng)模型的建立

為方便分析旋轉(zhuǎn)彈的舵面控制律，建立與彈體固聯(lián)的彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1與不跟隨彈體轉(zhuǎn)動(dòng)的準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Ox2y2z2。

彈體坐標(biāo)系原點(diǎn)O為導(dǎo)彈質(zhì)心，Ox1軸與彈體縱軸重合且指向頭部為正，Oy1軸位于導(dǎo)彈縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且與Ox1軸垂直，向上為正，Oz1軸與縱向?qū)ΨQ面垂直且符合右手定則。

準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系原點(diǎn)為導(dǎo)彈質(zhì)心O，Ox2軸與彈體縱軸重合且指向頭部為正，Oy2軸位于包含導(dǎo)彈縱向的鉛垂平面內(nèi)且與Ox2軸垂直，Oz2軸通過右手定則確定。坐標(biāo)關(guān)系如圖1所示[5]。

2 Bang-Bang舵控制律數(shù)學(xué)模型

Bang-Bang舵控制律采用的是繼電式舵機(jī)控制，舵機(jī)只能為正或負(fù)的最大角度。因此，采用的控制方法是在一個(gè)控制周期內(nèi)不斷的變換舵片的極性以實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈空間內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)方向的控制[6]。現(xiàn)設(shè)偏航指令為σ1，俯仰指令為σ2。Bang-Bang舵在一個(gè)周期內(nèi)方向變換兩次，設(shè)兩次變換方向的時(shí)間分別是φ和π+θ，指令如下：

圖2 Bang-Bang舵指令變換曲線

將舵指令分別投影到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下的Oy2軸與Oz2軸，投影曲線如圖3所示。

圖3 Bang-Bang舵指令俯仰偏航投影曲線

根據(jù)單通道旋轉(zhuǎn)彈一個(gè)舵指令周期在俯仰偏航方向的積分效果要等效于該段時(shí)間內(nèi)彈體指令作用效果，可以得到以下公式：

(1)

對(duì)式(1)求解，可得出：

(2)

上式即為Bang-Bang舵進(jìn)行控制時(shí)兩次變換的時(shí)間點(diǎn)，通過指令以及最大舵偏角求出變換時(shí)間。

3 正弦舵控制律數(shù)學(xué)模型

旋轉(zhuǎn)彈舵控指令控制周期設(shè)為1 Hz，即每一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期，控制指令也為一個(gè)周期變換，設(shè)偏航指令為σ1，俯仰指令為σ2，彈體轉(zhuǎn)速為w，舵指令幅值為Δ，初始相位為φ，彈體旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為T，正弦舵指令為：

delta(t)=Δsin(wt+φ)

(3)

當(dāng)前指令的控制要求正弦舵在俯仰和偏航方向上的積分效應(yīng)為指令持續(xù)一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期的效應(yīng)，根據(jù)以上要求，可以得出：

(4)

對(duì)式(4)求解得到舵控信號(hào)的幅值和初始相位：

(5)

正弦舵舵指令原理可解釋為首先將俯仰與偏航舵指令合成一個(gè)鉛垂面的合指令，舵機(jī)旋轉(zhuǎn)一周在該合指令方向積分值最大，在與該合指令垂直方向?yàn)?。為實(shí)現(xiàn)彈體平均產(chǎn)生的過載方向沿著該合指令方向，合成過載大小可表示為sqrt(σ1·σ1+σ2·σ2)，為達(dá)到指令要求，則要求當(dāng)彈體轉(zhuǎn)到合成過載方向，舵指令為最大，舵指令轉(zhuǎn)動(dòng)到與合成過載垂直的方向則舵指令為0[7]。如圖4所示。

圖4 正弦舵指令示意圖

4 控制穩(wěn)定性研究與仿真分析

單通道控制依托舵面在彈體旋轉(zhuǎn)一圈的情況下作用的積分效應(yīng)，當(dāng)彈體轉(zhuǎn)速過慢時(shí)，彈體幾乎能夠完全的響應(yīng)每一個(gè)時(shí)刻舵指令，無法滿足舵控指令的積分效應(yīng)。因此，單通道旋轉(zhuǎn)彈的轉(zhuǎn)速必須高于一定的數(shù)值來滿足控制需求?，F(xiàn)以比例舵控制律分析彈體的最低轉(zhuǎn)速需求。

4.1 仿真條件

為分析不同舵面控制律的控制效果與單通道控制所需的最低轉(zhuǎn)速要求，通過某鴨舵控制的旋轉(zhuǎn)火箭彈進(jìn)行分析，該火箭彈飛行時(shí)間約為40 s，主動(dòng)段推力持續(xù)時(shí)間2.3 s。選取飛行時(shí)間為20 s時(shí)，在該時(shí)間點(diǎn)給出一個(gè)準(zhǔn)彈體系下階躍舵指令，令火箭彈轉(zhuǎn)速為0，給出一個(gè)恒定舵面偏轉(zhuǎn)角度，得到當(dāng)前狀態(tài)下火箭彈的階躍響應(yīng)。設(shè)置火箭彈不同的轉(zhuǎn)速，準(zhǔn)彈體系下的階躍指令保持不變，分析單通道旋轉(zhuǎn)彈舵面控制律的控制效果并對(duì)火箭彈控制需求轉(zhuǎn)速進(jìn)行研究。20 s時(shí)彈體狀態(tài)如表1所示。

表1 仿真條件

4.2 正弦舵控制律推導(dǎo)

設(shè)轉(zhuǎn)速為0，在20 s給出2°的恒定俯仰舵指令，當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 Hz時(shí)，舵面實(shí)際角度如圖5所示。

圖5 正弦舵舵面轉(zhuǎn)動(dòng)角度曲線

將舵效分解到俯仰方向與偏航方向可得見圖6。

圖6 正弦舵指令等效俯仰偏航指令

從上圖可以看出等效俯仰舵指令為0至4°周期變化的正弦指令，其積分效果與不滾轉(zhuǎn)時(shí)2°俯仰指令作用效果相同。偏航指令為賦值幅值2°的正弦指令，積分效果為0，說明正弦舵控制律能夠有效的響應(yīng)俯仰偏航指令。

4.3 正弦舵指令響應(yīng)仿真

設(shè)彈體不滾轉(zhuǎn)，給出俯仰2°舵指令，則角速度及過載響應(yīng)如圖7所示。

圖7 非滾轉(zhuǎn)彈體角速度與過載響應(yīng)

分別設(shè)置彈體轉(zhuǎn)速為1 Hz、3 Hz、5 Hz，通過上述的公式采用正弦舵控制律，彈體過載和角速度響應(yīng)如圖8所示。

圖8 不同轉(zhuǎn)速彈體過載響應(yīng)

圖8中黑框放大圖如圖9所示。

圖9 過載響應(yīng)放大圖

從圖9可以看出，轉(zhuǎn)速為1 Hz時(shí)，彈體幾乎無法正確響應(yīng)過載指令，當(dāng)轉(zhuǎn)速提高到3 Hz以上時(shí)，彈體俯仰過載與非滾轉(zhuǎn)時(shí)響應(yīng)情況很接近，說明單通道控制無法在低轉(zhuǎn)速時(shí)使用。偏航響應(yīng)與俯仰相類似，不再進(jìn)行說明。

在彈體的階躍響應(yīng)過程中，彈體角速度可以作為響應(yīng)品質(zhì)的一個(gè)評(píng)判，角速度超調(diào)量越小，響應(yīng)穩(wěn)定后角速度振幅越小說明響應(yīng)品質(zhì)越好[8]。同樣條件角速度響應(yīng)如圖10所示。

圖10 2 Hz彈體頻率角速度響應(yīng)放大圖

從圖10可以看出，當(dāng)彈體轉(zhuǎn)速為1 Hz時(shí)，俯仰角速度全程都在振蕩，沒有收斂趨勢(shì)，隨著轉(zhuǎn)速提高到3 Hz以上，俯仰角速度能夠收斂在一定范圍內(nèi)振蕩，彈體轉(zhuǎn)速越高，角速度振蕩范圍越小?，F(xiàn)取不同轉(zhuǎn)速，并記錄穩(wěn)定響應(yīng)的角速度幅值，曲線如圖11所示。

圖11 1 Hz彈體頻率不同轉(zhuǎn)速角速度幅值曲線

根據(jù)圖11可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于3 Hz時(shí)，彈體俯仰角速度振蕩幅值較大，且隨著轉(zhuǎn)速提高角速度幅值快速下降。當(dāng)轉(zhuǎn)速大于4 Hz的時(shí)候，角速度幅值同樣隨轉(zhuǎn)速提高而下降，但下降的幅度較小，變化較為緩慢，結(jié)合圖8、圖9可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于3～4 Hz時(shí)，單通道舵面能夠有效的工作。

4.4 仿真分析

根據(jù)飛行力學(xué)可知，彈體環(huán)節(jié)可以簡(jiǎn)化為二階環(huán)節(jié)，二階振蕩環(huán)節(jié)與階躍響應(yīng)的響應(yīng)時(shí)間和彈體頻率有直接關(guān)系，彈體頻率越高，響應(yīng)速度越快[9]，響應(yīng)速度過快會(huì)導(dǎo)致彈體在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)快速跟蹤每一個(gè)時(shí)刻的指令，體現(xiàn)不出舵機(jī)的控制效果。根據(jù)圖11可知，當(dāng)前仿真狀態(tài)彈體頻率為1 Hz，通過彈體不同轉(zhuǎn)速的角速度幅值與過載響應(yīng)判斷，當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 Hz以上時(shí)，可通過單通道控制方法對(duì)旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行有效控制，現(xiàn)通過改變彈體質(zhì)心位置改變導(dǎo)彈的彈體頻率，將彈體頻率增大至2 Hz。不同轉(zhuǎn)速的角速度響應(yīng)如圖12所示。

圖12 2 Hz彈體頻率不同轉(zhuǎn)速角速度幅值曲線

改變彈體頻率后，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到6 Hz以上時(shí)，角速度幅值變化幅度較小，達(dá)到穩(wěn)定控制的目的。此時(shí)彈體頻率為2 Hz，說明單通道控制需要滿足轉(zhuǎn)速至少達(dá)到彈體頻率3倍以上。

5 結(jié)論

文中對(duì)單通道旋轉(zhuǎn)彈的舵面控制律進(jìn)行了分析，建立了Bang-Bang舵與正弦舵的數(shù)學(xué)模型并推導(dǎo)解析公式。將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際工程中，對(duì)單通道旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行階躍指令響應(yīng)分析，仿真表明兩種舵面控制律能夠有效的實(shí)現(xiàn)單通道控制。同時(shí)對(duì)能夠穩(wěn)定控制的彈體轉(zhuǎn)速進(jìn)行了研究，通過對(duì)階躍指令響應(yīng)的數(shù)學(xué)仿真，證明了單通道控制要求彈體轉(zhuǎn)速需大于3倍的彈體頻率。