目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動條件下的三維空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)建模與仿真*

史振慶，梁曉龍，張佳強(qiáng)，劉 流，任寶祥

(空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院， 西安 710051)

0 引言

空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)對空戰(zhàn)態(tài)勢的評估判斷有著重要的作用，能夠?yàn)槲曳降淖鲬?zhàn)決策提供關(guān)鍵依據(jù)[1]，同時(shí)也是空空導(dǎo)彈的重要性能之一[2]。研究目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動條件下的空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)，更加符合真實(shí)的作戰(zhàn)需求，對空戰(zhàn)具有更高的參考價(jià)值。

在提高攻擊區(qū)的計(jì)算速度和精度上，學(xué)者們做了大量的工作，并取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)[3]結(jié)合變步長積分，氣動系數(shù)擬合及最大最小邊界快速搜索法，建立彈道模型，得出了一種攻擊區(qū)的快速求解方法。文獻(xiàn)[1]采用曲線擬合的方法獲得攻擊區(qū)的距離函數(shù)，得到了較好的結(jié)果。文獻(xiàn)[4-7]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來求解導(dǎo)彈的攻擊區(qū)，極大地提高了攻擊區(qū)求解的速度。文獻(xiàn)[8]在攻擊區(qū)求解的基礎(chǔ)上，基于攻擊區(qū)和殺傷概率對空戰(zhàn)態(tài)勢進(jìn)行評估。文獻(xiàn)[9-12]對攻擊區(qū)的建模與仿真進(jìn)行了相關(guān)研究，得出了可行的求解方法。國外計(jì)算攻擊區(qū)更多地采用快速模擬方法[13-14]，通過解算簡化的導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動模型來提高攻擊區(qū)計(jì)算速度，以滿足機(jī)載實(shí)時(shí)火控解算的要求。上述研究更多的是在二維攻擊區(qū)中，且目標(biāo)運(yùn)動類型較為簡單，攻擊區(qū)求解精度較低[15]。如何準(zhǔn)確地對目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動條件下的三維攻擊區(qū)進(jìn)行計(jì)算，成為當(dāng)前必須面對而又亟須解決的問題。

針對上述問題，文中利用三維純比例導(dǎo)引律，建立了目標(biāo)受到導(dǎo)彈威脅而做規(guī)避機(jī)動條件下的三維攻擊區(qū)的數(shù)學(xué)模型，并對目標(biāo)做不同的規(guī)避機(jī)動時(shí)的三維攻擊區(qū)進(jìn)行了仿真分析。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 空空導(dǎo)彈運(yùn)動模型

在慣性坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈的運(yùn)動學(xué)方程為：

(1)

式中：xm、ym、zm分別為導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系下x、y、z三個(gè)方向上的坐標(biāo)；vm、θm、φm分別為導(dǎo)彈的速度、彈道傾角和彈道偏角。

在彈道坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈的三自由度動力學(xué)方程模型為：

(2)

模型中：Fx、Fy、Fz分別為除推力外導(dǎo)彈所有外力分別在彈道坐標(biāo)系各軸上分量的代數(shù)和；Px、Py、Pz分別為推力P在彈道坐標(biāo)系各軸上的分量。由上述動力學(xué)方程模型，得導(dǎo)彈的三自由度動力學(xué)方程為：

(3)

式中：Mm為導(dǎo)彈質(zhì)量，P、X分別為導(dǎo)彈所受推力和空氣阻力，θm為彈道傾角；nmy、nmz分別為俯仰和偏航方向上導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)彎控制過載。

P、Mm隨時(shí)間變化的方程分別為：

(4)

(5)

阻力X的變化規(guī)律方程為：

(6)

式中：Cx為阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，S為導(dǎo)彈特征面積。

1.2 目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動運(yùn)動模型

目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動，可以視為在特定時(shí)間內(nèi)目標(biāo)作變角速率的圓弧運(yùn)動的疊加。其模型表示為：

(7)

(8)

式(8)中：x(i)、y(i)為目標(biāo)第i個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；vx(i)、vy(i)為目標(biāo)第i個(gè)點(diǎn)的速度；φ(i)為傳輸矩陣，ωi為轉(zhuǎn)彎速率；T為采樣時(shí)間。

1.3 導(dǎo)引律模型

純比例導(dǎo)引律根據(jù)與視線旋轉(zhuǎn)角速度的比例關(guān)系產(chǎn)生控制加速度[16]。在三維情況下，控制加速度表示為：

(9)

(10)

將式(10)所得俯仰和偏航方向控制加速度用于式(3)得：

(11)

2 攻擊區(qū)邊界搜索方法

2.1 邊界搜索約束條件

空空導(dǎo)彈攻擊時(shí)所受約束條件一般有：

1)導(dǎo)彈可控飛行時(shí)間約束。導(dǎo)彈飛行時(shí)間超過最大可控飛行時(shí)間tc時(shí)，導(dǎo)彈失控。

2)最小飛行速度約束。導(dǎo)彈飛行速度小于最小飛行速度，升力不足，飛行失控。

3)高度約束。空空導(dǎo)彈的飛行高度應(yīng)滿足大于200 m，小于20 km。

4)引信解鎖時(shí)間約束。導(dǎo)彈和目標(biāo)接近時(shí)，剩余時(shí)間小于引信解鎖時(shí)間易脫靶。

2.2 黃金分割搜索方法

為了得到攻擊區(qū)的邊界，需要對導(dǎo)彈周圍的目標(biāo)位置進(jìn)行搜索，即導(dǎo)彈是否能夠命中該位置的目標(biāo)。

以導(dǎo)彈為中心建立坐標(biāo)系，分別對攻擊區(qū)的遠(yuǎn)界和近界進(jìn)行搜索。以搜索攻擊區(qū)遠(yuǎn)界為例，首先確定目標(biāo)相對于導(dǎo)彈的方位和攻擊區(qū)遠(yuǎn)界的最大初始搜索范圍[Rn,Rf]，計(jì)算黃金分割搜索點(diǎn)(彈目距離)Rg=Rn+0.618(Rf-Rn)。然后進(jìn)行導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動仿真，通過彈道仿真限制條件和脫靶量判斷導(dǎo)彈是否擊中目標(biāo)。若擊中，令Rn=Rg,Rf=Rf；若未擊中，令Rn=Rn,Rf=Rg，重新進(jìn)行新一輪的仿真，直至滿足導(dǎo)彈擊中目標(biāo)并且Rg<ε為止，此時(shí)，Rg就是所要求的攻擊區(qū)遠(yuǎn)界距離。攻擊區(qū)遠(yuǎn)界搜索的流程如圖1所示。

圖1 攻擊區(qū)遠(yuǎn)界搜索流程圖

攻擊區(qū)近界搜索與遠(yuǎn)界搜索方法相似，只是在迭代中若導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，令Rn=Rn,Rf=Rg；若未擊中，令Rn=Rg,Rf=Rf，其他過程與攻擊區(qū)遠(yuǎn)界搜索相同。

3 仿真分析

以某型中距空空導(dǎo)彈為例，設(shè)彈重為200 kg，發(fā)動機(jī)工作時(shí)間為10 s，最大推力為30 kN，導(dǎo)彈初始速度為400 m/s，初始俯仰角、方位角均為0°，可控飛行時(shí)間為70 s，導(dǎo)彈升限為20 km，最低飛行高度為200 m，純比例導(dǎo)引系數(shù)N=3.5。

3.1 目標(biāo)做置尾機(jī)動彈道仿真分析

假設(shè)導(dǎo)彈初始高度為5 km，目標(biāo)初始高度為5 km且保持不變，當(dāng)彈目距離為20 km時(shí)，目標(biāo)做置尾機(jī)動以規(guī)避導(dǎo)彈。圖2為利用三維純比例導(dǎo)引律所得的彈道仿真結(jié)果。

由圖2可以看出，利用三維純比例導(dǎo)引律所得的仿真結(jié)果，彈道較為平滑，導(dǎo)彈在實(shí)際飛行過程中較易實(shí)現(xiàn)。

圖2 三維純比例導(dǎo)引律彈道軌跡

導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻的初始速度、初始高度是影響導(dǎo)彈攻擊區(qū)的主要因素。為研究其對攻擊區(qū)的影響規(guī)律，分別從導(dǎo)彈命中目標(biāo)所需時(shí)間和導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)的最遠(yuǎn)距離，來分析導(dǎo)彈初始速度、高度對攻擊區(qū)的影響。結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 所需時(shí)間隨導(dǎo)彈初始速度變化圖

圖4 最遠(yuǎn)攻擊距離隨導(dǎo)彈初始高度變化圖

圖3為在導(dǎo)彈和目標(biāo)初始位置固定，導(dǎo)彈命中目標(biāo)所需時(shí)間和導(dǎo)彈初始速度之間的關(guān)系。圖3顯示，隨著導(dǎo)彈初始速度的增大，導(dǎo)彈命中目標(biāo)所需時(shí)間變小。

圖4為導(dǎo)彈最遠(yuǎn)攻擊距離隨導(dǎo)彈初始高度的變化情況。圖4顯示，在導(dǎo)彈升限范圍內(nèi)，隨著導(dǎo)彈初始高度的增大，導(dǎo)彈最遠(yuǎn)攻擊距離也隨之變大。高度越低，空氣密度越大，導(dǎo)彈在飛行過程中所受空氣阻力越大，攻擊區(qū)越小。因此選擇合適的導(dǎo)彈初始速度和導(dǎo)彈初始高度，對增大攻擊區(qū)域具有重要作用

3.2 目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動的三維攻擊區(qū)仿真分析

假設(shè)導(dǎo)彈初始高度為10 km；目標(biāo)運(yùn)動初始俯仰角為0°，方位角為90°，飛行過程中高度保持不變?？諔?zhàn)對抗中，目標(biāo)在不同的彈目距離下，感知到導(dǎo)彈威脅而做置尾機(jī)動來規(guī)避導(dǎo)彈打擊的攻擊區(qū)進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖5所示，其中，x軸為載機(jī)速度方向，y軸為高度，z軸為偏航方向。

圖5 彈目距離小于20 km置尾機(jī)動攻擊區(qū)仿真圖

圖5所得攻擊區(qū)的空戰(zhàn)對抗條件為：導(dǎo)彈與目標(biāo)開始呈迎頭態(tài)勢，當(dāng)彈目距離小于20 km時(shí)，目標(biāo)感受到導(dǎo)彈威脅，開始向右后做置尾機(jī)動。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，由于目標(biāo)向右后做置尾機(jī)動，導(dǎo)彈右側(cè)攻擊區(qū)要大于左側(cè)；在高度上，由于空氣密度的影響，攻擊區(qū)最遠(yuǎn)距離會隨著高度的降低而減小。

在空戰(zhàn)對抗時(shí)，目標(biāo)做出規(guī)避機(jī)動的時(shí)機(jī)是不確定的，目標(biāo)越早發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈威脅，就會越早做出規(guī)避機(jī)動動作。為研究目標(biāo)在不同的彈目距離下做規(guī)避機(jī)動時(shí)攻擊區(qū)的變化，分別對目標(biāo)不同機(jī)動時(shí)機(jī)下的攻擊區(qū)進(jìn)行仿真。為更加清晰地比較不同的規(guī)避時(shí)機(jī)對攻擊區(qū)的影響，圖6展示了攻擊區(qū)的仿真結(jié)果中，導(dǎo)彈和目標(biāo)呈迎頭態(tài)勢時(shí)最大攻擊距離的變化情況。

由圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)不做機(jī)動時(shí)，在目標(biāo)來向攻擊區(qū)最遠(yuǎn)攻擊距離為95 km，這也是攻擊區(qū)的最遠(yuǎn)攻擊距離；當(dāng)目標(biāo)在彈目距離為50 km感知到導(dǎo)彈而做置尾機(jī)動時(shí)，在目標(biāo)來向攻擊區(qū)最遠(yuǎn)攻擊距離為50 km，這也是在目標(biāo)做置尾機(jī)動且導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)的條件下，目標(biāo)開始做置尾機(jī)動時(shí)的最遠(yuǎn)彈目距離，此時(shí)導(dǎo)彈攻擊區(qū)如圖7所示，其中，x軸為載機(jī)速度方向，y軸為高度，z軸為偏航方向。當(dāng)目標(biāo)在彈目距離大于50 km就做置尾機(jī)動時(shí)，導(dǎo)彈無法命中目標(biāo)。

圖6 攻擊區(qū)最遠(yuǎn)攻擊距離隨目標(biāo)做置尾機(jī)動時(shí)彈目距離變化圖

圖7 彈目距離小于50 km置尾機(jī)動攻擊區(qū)仿真圖

以上關(guān)于目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動條件下的攻擊區(qū)仿真結(jié)果，可以指導(dǎo)超視距空戰(zhàn)中的雙機(jī)構(gòu)型設(shè)計(jì)。當(dāng)目標(biāo)迎面來襲時(shí)，雙機(jī)可保持以導(dǎo)彈最遠(yuǎn)攻擊距離RG與目標(biāo)做置尾機(jī)動時(shí)導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)的最遠(yuǎn)彈目距離RZ之差為間隔的縱隊(duì)進(jìn)攻構(gòu)型。

前機(jī)在距離目標(biāo)RZ時(shí)發(fā)射導(dǎo)彈，然后做置尾機(jī)動脫離戰(zhàn)場，由后機(jī)負(fù)責(zé)制導(dǎo)，此刻后機(jī)與目標(biāo)距離為RG。這可以保證我方前機(jī)的安全，且此時(shí)若目標(biāo)未發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈，不做機(jī)動繼續(xù)向前飛行，我方導(dǎo)彈即可命中目標(biāo)；后機(jī)在前機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈后與目標(biāo)距離小于RG，目標(biāo)在后機(jī)導(dǎo)彈的最大攻擊范圍之內(nèi)，后機(jī)不僅可以為前機(jī)提供制導(dǎo)，還可以對目標(biāo)構(gòu)成威脅；該縱隊(duì)構(gòu)型可以使后機(jī)在制導(dǎo)過程中盡量遠(yuǎn)離目標(biāo)，保留充足的制導(dǎo)時(shí)間，當(dāng)后機(jī)與目標(biāo)距離為RZ時(shí)，后機(jī)做置尾機(jī)動脫離戰(zhàn)場。

4 結(jié)束語

文章建立了目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動條件下空空導(dǎo)彈三維攻擊區(qū)的數(shù)學(xué)模型，利用黃金分割搜索方法對攻擊區(qū)邊界進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合度高。通過對仿真結(jié)果分析，得到如下結(jié)論：

1)在導(dǎo)彈升限和速度限制范圍內(nèi)，導(dǎo)彈初始高度越高、初始速度越快，導(dǎo)彈攻擊區(qū)越大；反之，導(dǎo)彈攻擊區(qū)越小。

2)目標(biāo)做規(guī)避機(jī)動時(shí)彈目初始距離越遠(yuǎn)，導(dǎo)彈攻擊區(qū)越小，最遠(yuǎn)攻擊距離越近。當(dāng)目標(biāo)機(jī)動時(shí)彈目初始距離大于一定值時(shí)，導(dǎo)彈無法命中目標(biāo)。

3)在對抗迎面來襲的目標(biāo)時(shí)，雙機(jī)可呈縱隊(duì)進(jìn)攻構(gòu)型，雙機(jī)前后間隔距離為導(dǎo)彈最遠(yuǎn)攻擊距離與目標(biāo)做置尾機(jī)動時(shí)最遠(yuǎn)彈目距離之差。