炮彈彈底厚度估算半經驗公式*

糜晨曦，王雨時，聞 泉，張志彪，王光宇

(南京理工大學機械工程學院， 南京 210094)

0 引言

彈丸發(fā)射時的安全性主要由彈體和其他零件在發(fā)射時的強度和剛度來保證。發(fā)射時彈體強度計算，實質上就是在求得彈體內各處應力的條件下，根據有關強度理論對彈體進行校核。而彈丸在膛內應校核的是第一臨界狀態(tài)(彈帶壓力最大)和第二臨界狀態(tài)(膛壓最大)時的強度。在第二臨界狀態(tài)下，火藥氣體壓力達到最大，彈底直接承受火藥氣體壓力和慣性力作用。

文獻[1]詳述了平彈底的傳統彈底強度計算公式推導過程，通過簡化彈底受力狀況，結合彈底彎曲強度分析和第四強度理論，建立了傳統彈底強度計算公式(未考慮徑向載荷)，并在原形式基礎上提出了計算彈底彎曲強度的簡化公式。文獻[2]在文獻[1]的基礎上對傳統彈底強度計算公式進行了修正(考慮徑向載荷)，并增述了變厚度彈底和球形彈底的彈底強度計算公式推導過程，文中就是在傳統彈底強度計算公式的修正形式基礎上開展彈底厚度估算半經驗公式建立工作的；文獻[3]指出文獻[1]提出的彈底彎曲強度簡化公式計算出的最小彈底厚度偏小，因此在文獻[1]傳統彈底強度計算公式的基礎上推算出了粗略的彈底厚度估算公式，文中還結合5種中、大口徑彈丸參數驗證估算公式的準確性，但其計算出的估算彈底厚度與實際彈底厚度的最大相對誤差為24%(大于20%)，驗證所用的彈丸種類較少且不包括小口徑彈丸，故只能用于粗略計算；文獻[4]將槍械的膛內熱-結構耦合特性仿真分析引入引信，得到連續(xù)發(fā)射時火炮內膛膛壁溫度對底螺變形有顯著影響的結論；文獻[5]分析了火炮發(fā)射膛內發(fā)射藥燃燒對彈底引信的影響，得到膛內高溫高壓燃氣瞬態(tài)熱沖擊對彈底引信強度影響可忽略不計的結論；文獻[6]分析了彈丸發(fā)射時彈底厚度對炸藥裝藥最大等效應變及應變率的影響，發(fā)現彈底厚度越薄，炸藥裝藥加載應力率越大，炸藥裝藥的等效應變、應變率越大。

傳統彈底強度計算公式雖然具有一定的準確性，但所需的計算參數較多(需7個參數)，公式形式復雜(由21個公式組成)，故其應用受到了一定的限制。例如在彈丸初步設計階段，彈底厚度的估算、分析和論證就需要更加直觀、簡便，同時具有一定準確性的經驗公式。文中針對此問題，提出了形式簡單、所需計算參數少、計算準確度較高的彈底厚度估算半經驗公式建立方法。

1 關于傳統彈底強度計算公式

在彈丸設計領域，多利用傳統彈底強度計算公式來計算彈底危險點的相當應力(第四強度理論)。傳統彈底強度計算公式由于沒有考慮彈尾區(qū)的變形，計算結果有一定誤差，但其準確性已經能夠滿足在彈丸設計領域估算彈底強度的要求。

圖1 彈底區(qū)的受力情況

平底彈的彈底強度計算公式根據彈底受力情況(如圖1所示)，對彈底區(qū)進行簡化，將彈底看成一塊周邊受到夾持的圓板，公式包括如下部分[1-2]：

1)計算裝填物壓力pc

(1)

式中:p為計算膛壓，r為彈丸半徑，rd為彈底半徑，m′ω為彈底面上的裝填物質量，m為彈丸質量。

(2)

(3)

式中:md為彈底部分質量，td為彈底厚度，ρm為彈底材料密度。

3)計算彈底與彈體的聯系系數K

(4)

(5)

(6)

式中：r0為彈底尾部中性面初始半徑，tb為彈底尾部壁厚，β為系數，μ為泊松比(μ取0.3)。

4)計算各危險點的應力和相當應力(考慮對稱性，彈底4個危險點位置如圖2所示)

圖2 彈底內4個危險點位置

第一點：r=0，z=td/2

(7)

(8)

σz1=-pc

(9)

第二點：r=0，z=-td/2

(10)

(11)

σz2=-p

(12)

第三點：r=rd，z=td/2

(13)

(14)

σz3=-pc

(15)

第四點：r=rd，z=-td/2

(16)

(17)

σz4=-p

(18)

彈底強度用第四強度理論校核，計算上述4個危險點的相當應力：

(19)

最大相當應力為：

(20)

強度條件為：

(21)

2 平底彈的彈底厚度估算半經驗公式

在建立彈底厚度估算半經驗公式之前，需要先確定半經驗公式的適用范圍，平底彈適用本公式的前提條件如下：

1)彈丸類型為殺傷爆破彈(榴彈)，且彈底面上的裝填物為彈丸主裝藥，彈底材料為鋼。

2)彈丸的計算膛壓范圍為200～400 MPa。

3)發(fā)射產生的火藥燃氣壓力直接作用在整個彈底面上。

以上3個適用條件中，條件1)排除了發(fā)煙彈、照明彈、宣傳彈、穿甲彈、破甲彈和碎甲彈等彈丸類型，條件2)排除了無后坐炮彈、迫擊炮彈和火箭彈等低過載彈丸，條件3)排除了尾翼彈和彈底帶曳光管的彈丸。

根據彈底厚度估算半經驗公式的適用條件，選擇了滿足條件的15個彈種作為樣本，表1列出了這些彈丸在彈底強度計算中所需要的參數。

表1 彈底強度計算中所需的彈丸參數[7-8]

由于傳統彈底強度計算公式用到的參數較多，計算過程復雜，所以將建立彈底厚度估算半經驗公式的過程分為4個步驟：

(22)

(23)

式中:k1、k2為常系數，無量綱量。將表1參數代入式(1)、式(2)、式(3)、式(22)及式(23)計算可得，經驗系數k1的變化范圍為0.548 4～0.808 3，取各彈丸k1的平均值0.622 7，經驗系數k2的變化范圍為0.129 8～0.364 7，取各彈種k2的平均值0.276 3。

2)簡化彈底與彈體的聯系系數K計算公式。聯系系數K為無量綱量，由rd、tb、td決定。將表1參數代入式(4)、式(5)和式(6)計算可得，聯系系數K的變化范圍為0.205 2～0.530 3，取平均值0.408 2。

(24)

(25)

(26)

式(26)改寫為

(27)

圖關于(rd/td)2、(rd/td)3以及(rd/td)4的擬合結果

(28)

(29)

已知材料屈服強度σ0.2的情況下，可以利用傳統彈底強度計算公式和簡化半經驗公式計算出最小彈底厚度。選取15種彈丸中彈體材料為D60、S15A和S20A的14種，取彈體材料D60、S15A和S20A的屈服強度σ0.2分別為350 MPa、460 MPa和500 MPa，計算出傳統彈底強度計算公式和簡化半經驗公式的最小彈底厚度和與實際彈底厚度的相對誤差，發(fā)現傳統彈底強度計算公式和簡化半經驗公式計算出的最小彈底厚度與制式彈采用的實際彈底厚度偏差較大，而制式彈采用的實際彈底厚度是經過設計計算和射擊試驗綜合考量得到的，實際彈底厚度應接近(略大于)真實的最小彈底厚度。因此需要對簡化半經驗公式進行修正，以減小半經驗公式計算出的最小彈底厚度相對于實際彈底厚度的偏差。實際彈底厚度不僅僅是理論計算得到的結果，而是結合了產品設計等因素考慮的結果，用這個參數來衡量傳統彈底強度計算與彈底厚度估算半經驗公式的優(yōu)劣有一定的偏差，但該偏差使半經驗公式的計算結果趨于保守，利于保證設計彈丸的安全性。

(30)

依據最小二乘法原理，以彈體材料為D60、S15A和S20A的14種彈丸的實際參數計算值(rd/td)3和σ0.2/p為樣本，運用Matlab軟件，對β1在0～10，β0在-35～2的范圍內，以實際值與計算值的離差的平方和最小為優(yōu)化判據，進行局部尋優(yōu)，根據Matlab軟件的擬合結果，可得到平底彈的彈底厚度估算半經驗公式：

(31)

用新的彈底厚度估算半經驗公式計算各彈丸的最小彈底厚度，并計算半經驗公式得到的最小彈底厚度相對于實際彈底厚度的相對誤差，計算結果如表2所列。

表2 彈底厚度估算半經驗公式的彈底厚度計算結果

由表2可知，相對誤差平均值為8.6%(小于10%)，最大相對誤差為17.7%(小于20%)，滿足彈丸工程設計的要求。

最終得到炮射平底彈丸按發(fā)射強度設計時的彈底厚度估算半經驗公式：

(32)

彈底厚度估算半經驗公式擬合所用到的樣本參數σ0.2/p=0.95～1.75，因此彈底厚度估算半經驗公式的適用條件為σ0.2=(0.95～1.75)p。根據式(32)，當σ0.2/p→0.95時，td→1.21rd；當σ0.2/p→1.75時，td→0.71rd；當σ0.2/p→1時，td→1.13rd；當σ0.2/p→1.4時，td→0.82rd，通常有σ0.2=(1.0～1.4)p，故

td≈(0.82～1.13)rd

(33)

在σ0.2/p=0.95～1.75以外，當σ0.2/p→+時，td→0；當σ0.2/p→0.75時，td→+。說明式(32)外延至σ0.2/p=0.95～1.75以外，基本規(guī)律依然成立。

3 仿真驗證和結果分析

為了驗證推導出的平底彈的彈底厚度估算半經驗公式的可信性，以1959年式152毫米加農炮殺傷爆破榴彈為例，利用有限元軟件ANSYS結構靜力學模塊，數值模擬彈丸彈尾區(qū)在p、pc和慣性力作用下的應力應變狀況。

根據彈尾區(qū)的結構和受力對稱性，可以將其簡化為四分之一模型。由于彈尾區(qū)和彈體交界處情況復雜(彈帶槽、彈帶和彈帶壓力等因素影響)，因此在仿真中假設彈尾區(qū)和彈體交界為固定約束，而該假設與實際情況有一定偏差。根據圣維南原理，該假設會導致仿真得到的靠近彈尾區(qū)與彈體交界處的彈壁區(qū)域應力狀況失真，而遠離交界處的彈底部受到的影響較小，表現為彈底部第三危險點處相當應力偏小，而彈尾區(qū)第二危險點處相當應力偏大。該仿真的主要目的是對比不同彈底厚度下彈底部的應力狀況，不需要考慮彈壁的應力狀況，且該偏差對不同彈底厚度下彈底部應力狀況的影響是相同的，因此對不同彈底厚度下彈底部應力狀況對比結果的影響可以忽略不計。

以1959年式152毫米加農炮殺傷爆破榴彈為例，已知1959年式152毫米加農炮殺傷爆破榴彈的計算膛壓p為258 MPa，取裝填物壓力pc為77.3 MPa，彈尾整體加載沿彈軸向上的慣性加速度為107 500 m/s2。彈體材料為D60，其材料特性如表3所列。

表3 常溫下D60、S15A和S20A鋼的材料特性[9]

對表2中的14種彈丸進行有限元仿真計算，利用有限元軟件仿真得出第二、第三危險點處最大相當應力情況；根據傳統彈底強度計算公式計算結果修改14種彈丸的彈底厚度，利用有限元軟件仿真得出第二、第三危險點處最大相當應力情況；根據半經驗公式計算結果修改14種彈丸的彈底厚度，利用有限元軟件仿真得出第二、第三危險點處最大相當應力情況。結果如表4所列。

表4 有限元軟件計算得出的最大相當應力情況

續(xù)表

由有限元計算的結果可以得到如下結論：

1)彈底的第三危險點處的確有明顯的應力集中現象，彈底部的最大相當應力也均發(fā)生在第三危險點處，這一點符合之前的假設。

2)與實際彈丸彈尾區(qū)的應力分布相比，由傳統彈底強度計算公式計算出的彈丸彈尾區(qū)的應力分布狀況明顯更加惡劣，第二、第三危險點處的最大相當應力明顯偏大，第三危險點處發(fā)生塑性變形的區(qū)域范圍擴大。

3)由彈底厚度估算半經驗公式計算出的彈丸彈尾區(qū)的應力分布狀況與實際彈丸彈尾區(qū)的應力分布狀況相似，第二、第三危險點處的最大相當應力相差也不大，驗證了半經驗公式計算結果的準確性優(yōu)勢。

4 結論

文中提出了形式簡單(文中給出的半經驗公式只有1個公式)、所需計算參數少(文中給出的半經驗公式只需3個參數)、計算準確度較高(相對誤差平均值為8.6%，最大相對誤差為17.7%)的彈底厚度估算半經驗公式的建立方法。該方法基于傳統彈底強度理論，利用滿足公式適用條件的各種彈丸的參數建立傳統彈底強度計算公式的簡化形式，結合最小二乘法原理，通過局部尋優(yōu)，擬合得到能夠滿足彈丸工程設計要求的彈底厚度估算半經驗公式。公式是在對現有產品總結和驗證基礎上得出的，只適用于平底炮彈。仿真結果表明，與傳統彈底強度計算公式相比，由彈底厚度估算半經驗公式計算出的彈丸彈尾區(qū)的應力分布狀況與實際彈丸彈尾區(qū)的應力分布狀況更相似，驗證了彈底厚度估算半經驗公式計算結果的準確性優(yōu)勢。