一道平面幾何試題的探析

劉道祥　王吉利

摘 要：求線段之比，其關(guān)鍵是求出線段的長(zhǎng)度或者求出兩條線段之間的關(guān)系.本文以一道平面幾何試題為例，重點(diǎn)探究了解決三角形內(nèi)心的三種不同方法，分別用到了添加輔助線、構(gòu)建方程、平面向量，通過(guò)對(duì)比不同方法，拓展了對(duì)三角形內(nèi)心的認(rèn)識(shí)和理解，有助于解決同類(lèi)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：三角形的內(nèi)心;內(nèi)切圓;線段之比

作者簡(jiǎn)介：劉道祥（1987-），男，山東東阿人，教育碩士，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué);

王吉利（1990-），男，甘肅莊浪人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué).

對(duì)于求兩條線段之比，初中階段常用的解題方法是：求出兩條線段的長(zhǎng)度，然后求得兩條線段之比;或者是通過(guò)已知條件，得到一個(gè)等式，通過(guò)對(duì)等式的化簡(jiǎn)，從而直接得到兩條線段之比. 本文以一幾何試題為例，探討解決有關(guān)三角形內(nèi)心的線段之比問(wèn)題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，在Rt△ABC中，∠C是直角，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，若BI⊥IM，求BC∶AC.

2 試題分析

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，其中三角形的內(nèi)切圓圓心為三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，試題中，并沒(méi)有出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字，卻要求出BC∶AC，確實(shí)不容易.三角形內(nèi)心與三角形三條邊的關(guān)系是解決本題的一個(gè)突破口，利用圓的切線長(zhǎng)定理，可以推導(dǎo)出直角三角形內(nèi)切圓半徑（記作r）與三邊的關(guān)系為r=a+b-c2，其中a，b為直角邊，c為斜邊.

3 多向解答

解法1 如圖2，延長(zhǎng)MI交BC于點(diǎn)N，作MH⊥BC于點(diǎn)H，令⊙I與△ABC的三邊AB，BC，AC分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，⊙I的半徑為r.

因?yàn)辄c(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，所以IE=ID=IF=r，ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，IB平分∠ABC.

所以∠MBI=∠NBI.

因?yàn)锽I⊥IM，所以∠BIM=∠BIN=90°.

在△BIN與△BIM中，因?yàn)椤螧IM=∠BIN，BI=BI，∠MBI=∠NBI，

所以△BIN≌△BIM.

所以BM=BN，NI=IM，S△BMI=S△BNI.

又因?yàn)镾△BMN=12BN×MH，S△BNI=12BN×IE，

所以12BN×MH=2×12BN×IE.

所以MH=2IE=2r.

因?yàn)椤螩是直角，MH⊥BC，

所以∠C=∠BHM=90°.

所以HM//AC.

又因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

所以HM是△ABC的中位線.

所以HM=12AC=12b.

所以2r=12b.

因?yàn)椤螩是直角，IE⊥BC，IF⊥AC，

所以∠C=∠IEC=∠IFC=90°.

所以四邊形IECF為矩形.

又因?yàn)镮E=IF，所以四邊形IECF為正方形.

所以EC=FC=IE=IF=r.

因?yàn)锽A，BC是⊙I的切線，

所以BD=BE.

同理可得AD=AF.

因?yàn)锳B=BD+AD=BE+AF，

BE=BC-EC=BC-r，AF=AC-FC=AC-r，

所以AB=（BC-r）+（AC-r）=BC+AC-2r.

所以AB=a+b-2r=a+b-12b=a+12b.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB2=BC2+AC2，即（a+12b）2=a2+b2.

整理，得ab=34.

所以BC∶AC=3∶4.

評(píng)注 本解法需要添加輔助線，而輔助線的添加確是本方法實(shí)施的一個(gè)重點(diǎn).解題過(guò)程中，用到了全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、正方形的判定、正方形的性質(zhì)、圓的切線長(zhǎng)定理、勾股定理、中位線定理等知識(shí).

解法2 如圖3，令⊙I與△ABC的三邊AB，BC，AC分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF.

設(shè)⊙I的半徑為1，BE=x，

所以IE=ID=IF=1，ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC .

因?yàn)椤螩是直角，IE⊥BC，IF⊥AC，

所以∠C=∠IEC=∠IFC=90°.

所以四邊形IECF為矩形.

又因?yàn)镮E=IF，

所以四邊形IECF為正方形.

所以EC=FC=IE=IF=1.

所以BC=BE+EC=x+1.

因?yàn)锽A，BC是⊙I的切線，

所以BD=BE=x.

同理可得AD=AF.

因?yàn)镮D⊥AB，BI⊥IM，

所以 ∠BIM=∠IDB=∠MDI=90°.

因?yàn)椤螧ID+∠DIM=90°，∠IMD+∠DIM=90°，

所以∠BID=∠IMD.

在△BID與△IMD中，因?yàn)椤螴DB=∠MDI，∠BID=∠IMD，

所以△BID∽△IMD.

所以BDID=IDDM.

即DM=ID2BD=1x.

因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

所以AM=BM=BD+DM=x+1x.

所以AB=2BM=2x+2x，AD=AM+DM=（x+1x）+1x=x+2x.

所以AF=AD=x+2x.

所以AC=AF+FC=（x+2x）+1=x+2x+1.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2.

即（2x+2x）2=（x+1）2+（x+2x+1）2.

整理，得x2-2x+1-2x=0.

去分母，得x3-2x2+x-2=0.

十字相乘法分解因式，得（x2+1）（x-2）=0.

解得 x=2.

所以BC=2+1=3，AC=2+22+1=4.

所以BC∶AC=3∶4.

評(píng)注 本解法難點(diǎn)在于解方程，如果方程列出，解不出，那么就無(wú)法得到本題的最終答案，但是此方法，用特殊代替一般，化形為數(shù)，利用方程的思想解決了問(wèn)題.本方法在解題中用到了相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、正方形的判定、正方形的性質(zhì)、圓的切線長(zhǎng)定理、勾股定理、一元二次方程等知識(shí).

解法3 如圖4，令⊙I與△ABC的三邊AB，BC，AC分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，⊙I的半徑為r，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)椤螩是直角，IE⊥BC，IF⊥AC，

所以∠C=∠IEC=∠IFC=90°.

所以四邊形IECF為矩形.

又因?yàn)镮E=IF，所以四邊形IECF為正方形.

所以EC=FC=IE=IF=r.

因?yàn)锽A，BC是⊙I的切線，

所以BD=BE.

同理可得AD=AF.

所以AB=BD+AD=BE+AF.

又因?yàn)锽E=BC-EC=BC-r，AF=AC-FC=AC-r，所以AB=（BC-r）+（AC-r）=BC+AC-2r.

所以r=BC+AC-AB2=a+b-c2.

所以A（0，b），B（0，a），C（0，0），I（a+b-c2，a+b-c2）.

因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，所以M（b2，a2）.

所以BI=（a+b-c2，a+b-c2）-（0，a）

=（a+b-c2，b-c-a2）.

MI=（a+b-c2，a+b-c2）-（b2，a2）

=（a-c2，b-c2）.

因?yàn)锽I⊥IM，所以BI·MI=0.

即（a+b-c2，b-c-a2）·（a-c2，b-c2）=0.

所以a+b-c2×a-c2+b-c-a2×b-c2=0.

整理，得a2+b2+2c2-ac-3bc=0.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB2=BC2+AC2，即c2=a2+b2.

所以c2+2c2-ac-3bc=0，即c=a+3b3.

所以（a+3b3）2=a2+b2.整理，得ab=34.

所以BC∶AC=3∶4.

評(píng)注 本解法需要學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量之后，才能讀懂，提供本方法，目的是用以對(duì)比解法1和解法2.本解法容易理解，計(jì)算較少，與解法2用到同樣的數(shù)形結(jié)合思想，化形為數(shù)，用到了平面向量、正方形的判定、正方形的性質(zhì)、圓的切線長(zhǎng)定理、勾股定理、一元二次方程等知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

（收稿日期：2019-08-04）