拋物線(xiàn)內(nèi)切伴隨圓族的方程及性質(zhì)

田穎輝

(阜新高等專(zhuān)科學(xué)校，遼寧阜新123000)

曲線(xiàn)的伴隨圓是指與曲線(xiàn)相關(guān)的圓.文獻(xiàn)［1］探討了拋物線(xiàn)的一類(lèi)伴隨圓——內(nèi)切圓族的方程和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)的內(nèi)切伴隨圓族的方程與性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，得到了一些結(jié)論.

1 相關(guān)定義

1.1 內(nèi)切圓

在拋物線(xiàn)的內(nèi)部，與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的圓，叫做拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓(圖1).

1.2 內(nèi)切圓族

與拋物線(xiàn)內(nèi)切，且具有共性的一族圓稱(chēng)為拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓族(圖1).

2 相切于一點(diǎn)的內(nèi)切圓族

圖1 內(nèi)切圓與內(nèi)切圓族

圖2 引理1內(nèi)切圓族

引理1［1］設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px(p＞0)，設(shè)M(x0，y0)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，則與拋物線(xiàn)內(nèi)切圓族的方程為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0是參數(shù)，x0≥0)，其圓心軌跡為以(p，0)為端點(diǎn)且與x軸正方向同向的射線(xiàn).

引理中所描述的內(nèi)切圓族情形如圖2所示.

由引理1可知，對(duì)于拋物線(xiàn)上的固定點(diǎn)M(x0，y0)，其內(nèi)切圓為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0≥0)，點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x0，－y0)也在圓上，顯然，該圓是內(nèi)切于M(x0，y0)的圓中最大的內(nèi)切圓.

定理1 設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)，內(nèi)切于拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)M(x0，y0)的最大內(nèi)切圓為

在圓(Ⅰ)內(nèi)部可作一系列與點(diǎn)M(x0，y0)相切的圓，顯然這些圓都是拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓，它們構(gòu)成了一類(lèi)拋物線(xiàn)的內(nèi)切伴隨圓族(圖3).

圖3 定理1拋物線(xiàn)的內(nèi)切伴隨圓族

圖4 推論3內(nèi)切伴隨圓族

推論1 與拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)相切于拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)M(x0，y0)的內(nèi)切伴隨圓族的圓心軌跡為線(xiàn)段MN(去掉端點(diǎn)M)，其中N(x0+p，0)(圖3).

令x0=0，則y0=0，即此時(shí)M點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)(0，0)，由此得如下結(jié)論.

推論2 與拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)相切與頂點(diǎn)的最大內(nèi)切伴隨圓為(x－p)2+y2=p2.

推論3 與拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)相切與頂點(diǎn)的內(nèi)切伴隨圓族的方程為(x－a)2+y2=a2(0＜a≤p)(圖4).

3 以定長(zhǎng)為半徑的內(nèi)切伴隨圓族

拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)的最大內(nèi)切圓族中最小的一個(gè)圓的半徑為p，這里僅取定長(zhǎng)r(0＜r≤p)為半徑作拋物線(xiàn)的內(nèi)切伴隨圓.當(dāng)該圓沿拋物線(xiàn)內(nèi)側(cè)移動(dòng)時(shí)，這些圓是拋物線(xiàn)的一類(lèi)內(nèi)切伴隨圓族.

定理2 半徑為定長(zhǎng)r(0＜r≤p)，與拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)內(nèi)切伴隨的圓族的圓心方程為

證明 設(shè)拋物線(xiàn)C的參數(shù)方程為

定長(zhǎng)為r(0 ＜ r≤p)，圓心為(x0，y0)的圓方程為(x－x0)2+(y－y0)=r2，與拋物線(xiàn)C內(nèi)切于點(diǎn)(x1，y1).過(guò)點(diǎn)(x1，y1)與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)的斜率為k=y'=，則

解方程組得

由于內(nèi)切圓心位于拋物線(xiàn)內(nèi)，且在過(guò)切點(diǎn)(x1，y1)的法線(xiàn)上，所以x0＞x1將x1=2pt2，y1=2pt代入上式，最終得到定長(zhǎng)為r的內(nèi)切伴隨圓的圓心參數(shù)方程

其圓心軌跡是夾在拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)與拋物線(xiàn)y2=2(p－r)x間的類(lèi)似拋物線(xiàn)(p＞0，0＜r≤p)，隨著r的增減在兩拋物線(xiàn)間伸縮(圖5，圖6).

圖6 拋物線(xiàn)的一類(lèi)內(nèi)切伴隨圓族隨著r減小的圓心軌跡

圖5 拋物線(xiàn)的一類(lèi)內(nèi)切伴隨圓族隨著r增加的圓心軌跡

［1］劉耀斌，顧越嶺.拋物線(xiàn)的伴隨圓系及其性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46(3):38 －40.

［2］梁雙鳳，李寶榮，梁林.橢圓的內(nèi)切圓與曲率圓的方程及圖像研究［J］.玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(8):8－13.