中國(guó)股指波動(dòng)率的PSOUGM-GARCH類預(yù)測(cè)模型

耿立艷 張占福 梁毅剛

[摘 ? ?要] 為提高GARCH類模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力，將粒子群優(yōu)化算法（PSO）與無偏灰色預(yù)測(cè)（UGM（1，1））模型引入到GARCH類模型中，構(gòu)建PSOUGM-GARCH類模型。UGM（1，1）模型用于修正GARCH類模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)，增強(qiáng)當(dāng)期隨機(jī)誤差對(duì)條件方差的影響。同時(shí)利用PSO算法優(yōu)化UGM（1，1）模型中的灰參數(shù)。通過對(duì)滬深300指數(shù)和深證綜指的實(shí)證研究，比較分析了PSOUGM-GARCH類模型的樣本外預(yù)測(cè)能力。結(jié)果表明，與UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型比較，PSOUGM-GARCH類模型都能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)和深證綜指的收益波動(dòng)率，其中，PSOUGM-GARCH模型的樣本外預(yù)測(cè)能力最優(yōu)，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型的預(yù)測(cè)能力最低。

[關(guān)鍵詞] 股指波動(dòng)率預(yù)測(cè);GARCH類模型;無偏灰色預(yù)測(cè)模型;粒子群優(yōu)化算法

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 19. 048

[中圖分類號(hào)] TP273;F830 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ?A ? ? ?[文章編號(hào)] ?1673 - 0194（2019）19- 0109- 05

0 ? ? ?引 ? ?言

波動(dòng)率是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容之一，也是金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的重要衡量指標(biāo)。選擇科學(xué)的方法估計(jì)和預(yù)測(cè)波動(dòng)率，在資產(chǎn)投資組合選擇、資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度與管理中有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷嘗試建立各種波動(dòng)率模型對(duì)金融資產(chǎn)波動(dòng)率進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。大量研究表明，由ARCH模型[1]發(fā)展起來的GARCH類模型表現(xiàn)較好，其中，GARCH[2]模型、EARCH模型[3]和GJR-GARCH模型[4]是應(yīng)用最為廣泛的GARCH類模型。針對(duì)金融數(shù)據(jù)中隱含著隨機(jī)性和非線性因素，Tseng將灰色預(yù)測(cè)（GM（1，1））模型[5]引入到GARCH模型中，利用GM（1，1）模型修正GARCH模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)[6]。以此為基礎(chǔ)，Tseng、Wang將GM（1，1）模型與EGACH模型和GJR-GARCH模型相結(jié)合，分別提出了GM-EGARCH模型和GM-GJR-GARCH模型[7，8]。這些研究表明，GM（1，1）模型的引入有效提高了GARCH類模型的短期預(yù)測(cè)精度。但GM（1，1）模型由于自身理論上的局限性，在實(shí)際應(yīng)用中往往預(yù)測(cè)誤差較大。吉培榮提出了一種改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型，稱為無偏灰色預(yù)測(cè)（UGM（1，1））模型。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，UGM（1，1）模型本身不存在傳統(tǒng)GM（1，1）模型的固有偏差，而且其預(yù)測(cè)精度也優(yōu)于傳統(tǒng)GM（1，1）模型[9]。

為進(jìn)一步提高GARCH類模型（GARCH、EGARCH和GJR-GARCH）的預(yù)測(cè)精度，本文利用UGM（1，1）模型連續(xù)修正GARCH類模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。但UGM（1，1）模型對(duì)其灰參數(shù)的求解算法存在缺陷，導(dǎo)致該模型在預(yù)測(cè)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生較大預(yù)測(cè)誤差，進(jìn)而在一定程度上影響GARCH類模型的預(yù)測(cè)能力。為此，本文采用得到廣泛應(yīng)用的群智能優(yōu)化算法——粒子群優(yōu)化（PSO）算法選擇UGM（1，1）模型的灰參數(shù)。運(yùn)用本文所建模型預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)和深證綜指的收益波動(dòng)率，以比較各模型的有效性。

1 ? ? ?GARCH類模型

1.1 ? GARCH模型

Bollerslev 提出的GARCH模型是ARCH模型的拓展形式，假設(shè)當(dāng)期條件方差與過去的條件方差和隨機(jī)誤差有關(guān)。GARCH（p，q）模型形式如下：

εt=σtvt（1）

σt2=ω+■αiε■■+■βjσ■■（2）

其中，參數(shù)ω、αi和βj分別表示條件方差的不確定性、擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)波動(dòng)率的短期和長(zhǎng)期影響。各參數(shù)滿足ω>0，αi，βj≥0，以確保條件方差的非負(fù)性。GARCH模型以較為簡(jiǎn)潔的形式描述了金融資產(chǎn)波動(dòng)的聚集性和“厚尾”現(xiàn)象，但無法解釋波動(dòng)的非對(duì)稱性。

1.2 ? EGARCH模型

Nelson提出的EGARCH模型能夠解釋金融資產(chǎn)波動(dòng)的非對(duì)稱性，將條件方差定義為對(duì)數(shù)形式，無需對(duì)各參數(shù)施加非負(fù)約束。條件方差方程表示為：

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（3）

其中，參數(shù)γi反映了波動(dòng)的非對(duì)稱性，γi=0表示不存在非對(duì)稱性，γi<0表示負(fù)擾動(dòng)對(duì)波動(dòng)率的影響較大;γi<0表示正擾動(dòng)對(duì)波動(dòng)率的影響較大。

1.3 ? GJR-GARCH模型

Glosten等提出的GJR-GARCH模型同樣能夠反映金融資產(chǎn)波動(dòng)的非對(duì)稱性，其條件方差方程可表示為：

σt2=ω+■（αiε■■+γiS■■ε■■）+■βj σ■■（4）

其中，當(dāng)εt-1<0時(shí)，S■■=1;當(dāng)εt-1>0時(shí)，S■■=0。γi=0表示不存在非對(duì)稱性，γ≠0表示存在非對(duì)稱效應(yīng)。

2 ? ? ?PSO-UGM（1，1）模型

2.1 ? UGM（1，1）模型

UGM（1，1）模型是一種改進(jìn)型GM（1，1）模型，該模型不僅消除了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的固有偏差，適用范圍得到擴(kuò)展;而且無須進(jìn)行累減還原，提高了建模效率。

（1）設(shè)初始時(shí)間序列為x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，x（0）（t）∈R+，t=1，2，…，n。對(duì)x（0）（t）進(jìn)行一次累加生成，得到新序列x（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中，

x（1）（t）=■x（1）（l），t=1，2，…，n（5）

（2）建立微分方程dx（1）/dt+ax（0）=b，其中，a和b為灰參數(shù)，利用最小二乘法求解灰參數(shù)：

[a，b]=（CTC）-1CTY（6）

其中，C=-0.5[x（1）（1）+x（1）（2）] ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …-0.5[x（1）（n-1）+x（1）（n）] ? ?1，Y=[x（0）（2）…x（0）（n）]。

（3）計(jì)算UGM（1，1）模型參數(shù)：

A=ln■，B=■（7）

（4）建立UGM（1，1）模型：

■（0）（1）=x（0）（1）■（0）（t）=B·eA（t-1），t=2，3，…，n（8）

2.2 ? PSO優(yōu)化 UGM（1，1）模型參數(shù)

由UGM（1，1）模型的推導(dǎo)過程可知，灰參數(shù)a和b是UGM（1，1）模型中的關(guān)鍵參數(shù)，其估計(jì)值直接影響到 UGM（1，1）模型的預(yù)測(cè)能力。UGM（1，1）模型采用最小二乘法（OLS）求解a和b的值。OLS屬于線性回歸方法，應(yīng)用的前提條件是隨機(jī)誤差序列須服從正態(tài)分布，否則，得到的參數(shù)估計(jì)值是有偏的。而實(shí)際的隨機(jī)誤差序列存在高度的隨機(jī)性和非線性，具有明顯的非正態(tài)分布，致使解出的參數(shù)估計(jì)值存在較大誤差，進(jìn)而影響到UGM（1，1）模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

粒子群優(yōu)化（PSO）算法是一種模仿生物種群社會(huì)行為的啟發(fā)式算法[10]，由于具備良好的魯棒性和簡(jiǎn)易的計(jì)算過程，在各種優(yōu)化問題中得到廣泛應(yīng)用。為提高UGM（1，1）模型對(duì)隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，本文利用PSO算法優(yōu)化灰參數(shù)a和b。優(yōu)化過程中，每個(gè)粒子在（a，b）構(gòu)成的二維空間中搜索全局最優(yōu)解，以UGM（1，1）的預(yù)測(cè)誤差作為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，通過適應(yīng)度值來尋找粒子的全局最優(yōu)位置。具體優(yōu)化步驟設(shè)計(jì)如下：

Step1 數(shù)據(jù)預(yù)處理。對(duì)初始數(shù)據(jù)序列ε（0）={ε（0）（1），ε（0）（2），…，ε（0）（n）}，進(jìn)行非負(fù)處理，得到非負(fù)序列：u（0）={u（0）（1），u（0）（2），…，u（0）（n）}，其中，

u（0）（t）=u（0）（t）+min（ε（0）（t）），t=1，2，…，n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

Step2 粒子群初始化。初始化粒子群，包括種群的粒子數(shù)，最大、最小慣性權(quán)重值，兩個(gè)學(xué)習(xí)因子值和最大迭代次數(shù)k。隨機(jī)產(chǎn)生一組（a，b）作為粒子的初始位置和速度，設(shè)置速度和位置的上限Vmax sd和Smax sd。

Step3 定義適應(yīng)度函數(shù)。參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)是提高UGM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度，將適應(yīng)度函數(shù)定義為均方誤差：

F=■■（■t（0）（t）-ut（0）（t））2（13）

其中，■t（0）和ut（0）分別表示預(yù)測(cè)值和實(shí)際值，t表示樣本個(gè)數(shù)。

Step4 粒子進(jìn)化。由適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，搜索每個(gè)粒子的最優(yōu)位置pbest和整個(gè)種群的全局最優(yōu)位置gbest。根據(jù)式（14）更新慣性權(quán)重w。

w=wmax-■（14）

其中，wmax、wmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值，kmax為最大進(jìn)化代數(shù)。

Step5 判斷終止條件。若k=kmax，則停止搜索，此時(shí)的全局最優(yōu)位置為最優(yōu)參數(shù)a*和b*;否則進(jìn)化代數(shù)k=k+1，并轉(zhuǎn)Step3。

Step6 建立UGM（1，1）模型。將最優(yōu)參數(shù)a*和b*代入式（4）計(jì)算出A和B的值，構(gòu)建UGM（1，1）模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)，將得到的預(yù)測(cè)值轉(zhuǎn)化為初始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值■（0）（t）：

■（0）（t）=B·eA（t-1）-min（ε（0）（t）），t=2，…，n（15）

3 ? ? ?PSOUGM-GARCH類模型

根據(jù)GARCH類模型，條件方差實(shí)質(zhì)上取決于過去的隨機(jī)誤差項(xiàng)，但該假設(shè)與實(shí)際情況不甚符合。金融市場(chǎng)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，受到各種確定性和不確定性因素的影響，因而GARCH類模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)εt是一個(gè)包含了已知信息和未知信息的灰序列。該序列除受到過去資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，還受到經(jīng)濟(jì)、政治、環(huán)境等復(fù)雜因素的影響。這些復(fù)雜因素時(shí)刻影響εt的變動(dòng)，所以當(dāng)期的隨機(jī)誤差對(duì)條件方差也會(huì)產(chǎn)生一定影響。本文利用PSO-UGM（1，1）模型的灰信息處理優(yōu)勢(shì)連續(xù)修正GARCH類模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)，加強(qiáng)當(dāng)期隨機(jī)誤差對(duì)條件方差的影響。具體來說，運(yùn)用UGM（1，1）模型預(yù)測(cè)隨機(jī)誤差項(xiàng)，再將隨機(jī)誤差項(xiàng)的預(yù)測(cè)值加入GARCH類模型的方差方程中，以改善GARCH類模型的預(yù)測(cè)能力。修正后GARCH類模型的方差方程可表示為：

σt2=ω+■αi（ε■■+■t2）+■βj σ■■（9）

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（10）

σt2=ω+■[αi（ε■■+■t）+γiS■■（ε■■+■t）]+■βj σ■■（11）

其中，■t表示由PSOUGM（1，1）模型獲得的隨機(jī)誤差的預(yù)測(cè)值。

4 ? ? ?實(shí)證研究

4.1 ? 數(shù)據(jù)選取

選取我國(guó)股票市場(chǎng)的滬深300指數(shù)（HS300）和深證成指（SZCI）每日交易數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，時(shí)間跨度從2009年1月5日到2014年7月10日，共1 338個(gè)交易日的觀測(cè)值，每組觀測(cè)值包含開盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、收盤價(jià)，數(shù)據(jù)來源于新浪財(cái)經(jīng)網(wǎng)站。股指收益采用連續(xù)復(fù)合對(duì)數(shù)收益率rt=（lnPt-lnPt-1）×100，其中，Pt和Pt-1分別為第t日和第t-1日的收盤價(jià)格。兩股指收益序列的描述性統(tǒng)計(jì)見表1。在樣本期內(nèi)，HS300和SZCI收益序列的均值接近于零，明顯小于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，由此可將收益序列的條件均值設(shè)為零。兩收益序列的J-B統(tǒng)計(jì)量在1%和5%水平下均顯著拒絕了正態(tài)性的零假設(shè)，而且偏度均小于零、峰度均大于3，說明HS300和SZCI收益序列波動(dòng)幅度較為劇烈，具有明顯的“尖峰厚尾”且向左偏的非正態(tài)分布。LB（20）統(tǒng)計(jì)量顯示，HS300收益序列為白噪聲序列，不具有顯著的自相關(guān)性;SZCI收益序列具有顯著的自相關(guān)性。LB2（20）和LM（20）統(tǒng)計(jì)量均在1%和5%水平下顯著拒絕了零假設(shè)，表明HS300和SZCI收益序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，可建立GARCH類模型。

4.2 ? 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與預(yù)測(cè)

將全部數(shù)據(jù)樣本劃分為兩部分：前1 000個(gè)樣本用于建立模型;后337個(gè)樣本用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臉颖就忸A(yù)測(cè)能力。PSO算法自身參數(shù)進(jìn)行如下設(shè)置：群體規(guī)模m=30，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，最大、最小慣性權(quán)重wmax=0.9，wmin=0.1，最大進(jìn)化代數(shù)k=50。為減少隨機(jī)性影響，PSO算法連續(xù)優(yōu)化10次，選擇其中最優(yōu)的a*和b*構(gòu)建UGM（1，1）模型。UGM（1，1）模型預(yù)測(cè)GARCH類模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)時(shí)，采用向前一步滾動(dòng)預(yù)測(cè)法，對(duì)于HS300，選取前12期的隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)下一期的隨機(jī)誤差;對(duì)于SZCI，選取前11期的隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)下一期的隨機(jī)誤差。將隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)值加入GARCH類模型中，再利用建好的GARCH類模型預(yù)測(cè)波動(dòng)率。為便于比較本文方法的有效性，基于相同數(shù)據(jù)樣本，同時(shí)利用UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型進(jìn)行樣本外波動(dòng)率預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果與本文方法的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較。

4.3 ? 結(jié)果分析

真實(shí)波動(dòng)率是無法預(yù)知的。評(píng)價(jià)各模型時(shí)，需事先估計(jì)事后波動(dòng)率值（通過觀測(cè)數(shù)據(jù)得到真實(shí)波動(dòng)率的近似值）。一般采用股指日收益的平方估計(jì)事后波動(dòng)率，但這種傳統(tǒng)的波動(dòng)率估計(jì)方法僅利用了股指的日內(nèi)收盤價(jià)信息，在實(shí)際應(yīng)用中將會(huì)產(chǎn)生明顯的偏差[11]。基于極差的波動(dòng)率通過充分利用大量日內(nèi)價(jià)格信息，能夠有效反映股指收益的波動(dòng)狀況，在理論上已被證明比基于日收益的傳統(tǒng)波動(dòng)率度量方法更有優(yōu)勢(shì)[12]，本文以極差波動(dòng)率作為事后波動(dòng)率的估計(jì)值，定義如下：

Rt=■（ln（Pt，high）-ln（Pt，low））×100（16）

其中，k為極差無條件方差與收益無條件方差之間的修正系數(shù)，Pt，high和Pt，low分別為第t日內(nèi)的最高交易價(jià)格和最低交易價(jià)格。

選取均方根誤差 （RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、西爾統(tǒng)計(jì)量（THEIL）、對(duì)數(shù)損失函數(shù)（LL）和指數(shù)損失函數(shù)（LINEX）共五個(gè)指標(biāo)對(duì)各模型的樣本外預(yù)測(cè)能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。各評(píng)價(jià)指標(biāo)分別定義如下：

RMSE=N-1■（■t-Rt）2■（17）

MAE=N-1■|■t-Rt|（18）

THEIL=■（19）

LL=N-1■[ln（■t）-ln（Rt）]2（20）

LINEX=N-1■{exp[χ（■t-Rt）]-χ（■t-Rt）-1}（21）

其中，N為預(yù)測(cè)樣本個(gè)數(shù)，■t為波動(dòng)率預(yù)測(cè)值的均方根，Rt為以極差度量的事后波動(dòng)率。以上評(píng)價(jià)指標(biāo)度量預(yù)測(cè)誤差的大小，其值越小，表明預(yù)測(cè)精度越高。

表2為各類模型的樣本外波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力評(píng)價(jià)結(jié)果。首先，PSOUGM-GARCH類模型對(duì)HS300和SZCI的RMSE、MAE、LL和LINEX值都分別小于其他類模型的對(duì)應(yīng)值，說明PSOUGM-GARCH類模型的樣本外預(yù)測(cè)能力優(yōu)于其他類模型。除SZCI的LINEX值外，PSOUGM-GARCH模型對(duì)HS300和SZCI的五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值均小于PSOUGM-EGARCH和UGM-GJR-GARCH模型的對(duì)應(yīng)值;而且PSOUGM-GJR-GARCH模型對(duì)HS300和SZCI的五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值均小于PSOUGM-EGARCH模型的對(duì)應(yīng)值。因此，在所考察的評(píng)價(jià)指標(biāo)下，PSOUGM-GARCH模型的樣本外波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力最好，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型最差。其次，對(duì)于HS300，除GM-EGARCH的MAE值和GM-GJR-GARCH的LL值外，UGM-GARCH類模型的五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值均小于GM-GARCH類和GARCH類模型的對(duì)應(yīng)值;對(duì)于SZCI，UGM-GARCH類模型的五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值均小于GM-GARCH類和GARCH類模型的對(duì)應(yīng)值，表明整體上UGM-GARCH類模型在波動(dòng)率預(yù)測(cè)方面的表現(xiàn)優(yōu)于GM-GARCH類模型和GARCH類模型。最后，根據(jù)五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值，GM-GARCH類模型對(duì)HS300和SZCI收益波動(dòng)率的樣本外預(yù)測(cè)能力優(yōu)于GARCH類模型。

圖1為PSOUGM-GARCH類模型的樣本外波動(dòng)率預(yù)測(cè)值比較。PSOUGM-GARCH類模型都較好地預(yù)測(cè)出所選時(shí)間段HS300和SZCI收益波動(dòng)率的變動(dòng)特征。在波動(dòng)率變動(dòng)幅度較小階段，PSOUGM-GARCH模型的預(yù)測(cè)效果較好，而在波動(dòng)率變動(dòng)幅度較大階段，PSOUGM-GJR-GARCH模型的預(yù)測(cè)效果則更佳。

5 ? ? ?結(jié) ? ?論

本文將PSO算法、UGM（1，1）模型與GARCH類模型相結(jié)合，提出了PSOUGM-GARCH類模型，利用PSO算法優(yōu)化后的UGM（1，1）模型修正GARCH類模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。以滬深300指數(shù)和深證綜指為研究對(duì)象，驗(yàn)證了PSOUGM-GARCH類模型的有效性。實(shí)證結(jié)果表明，就滬深300指數(shù)和深證綜指而言，PSOUGM-GARCH類模型較UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型具有更好的樣本外波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力，三種PSOUGM-GARCH類模型中，預(yù)測(cè)能力表現(xiàn)最好的是PSOUGM-GARCH模型，其次是PSOUGM-GJR-GARCH模型，最后是UGM-EGARCH模型。此外，UGM-GARCH類模型的樣本外預(yù)測(cè)能力優(yōu)于GM-GARCH類模型和GARCH類模型，而GM-GARCH類模型的樣本外預(yù)測(cè)能力又優(yōu)于GARCH類模型。

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