由一根線(xiàn)段說(shuō)開(kāi)去

張映斌

【摘 要】本文由中山大學(xué)珠海校區(qū)教學(xué)樓的線(xiàn)性建筑得到啟示，探討一根定長(zhǎng)的線(xiàn)段在數(shù)學(xué)上的有趣應(yīng)用。本文主要探討了用等周長(zhǎng)正多邊形的性質(zhì)，包括中心到頂點(diǎn)，邊，頂點(diǎn)連線(xiàn)，以及這些情況在極限條件下的有趣性質(zhì)。這些性質(zhì)也跟實(shí)際生活中的現(xiàn)象和應(yīng)用關(guān)聯(lián)起來(lái)。數(shù)學(xué)分析上，這篇文章涉及平面幾何，初等函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單求導(dǎo)方法，以及極限的基本性質(zhì)方面興趣。本文也簡(jiǎn)單介紹了Excel這個(gè)辦公軟件在數(shù)學(xué)繪圖上的應(yīng)用。這篇綜合性的文章對(duì)啟發(fā)中學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣是非常有用的。

【關(guān)鍵詞】線(xiàn)段;性質(zhì);啟示

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）22-0267-02

前段時(shí)間，筆者途經(jīng)亞洲最長(zhǎng)的中山大學(xué)珠海校區(qū)教學(xué)樓。當(dāng)時(shí)，筆者有個(gè)疑問(wèn)，如果有些學(xué)生所選課程的教室不幸在教學(xué)樓兩頭，那這些學(xué)生為了上課需要走的路可不少啊。而如果能夠把這兩頭連起來(lái)，使這教學(xué)樓在二維平面上形成一個(gè)密閉的形狀，那么這樣的學(xué)生卻是是最幸運(yùn)?，F(xiàn)在，讓我們把實(shí)際的建筑要求和物理原理的限制拋開(kāi)，而僅考慮數(shù)學(xué)上的抽象，然后可以提出以下的問(wèn)題：

問(wèn)題1：一線(xiàn)段的長(zhǎng)度為a，把它在二維平面上圍成一密閉的n邊形（n≥3）。這個(gè)多邊形上任意不同兩點(diǎn)的距離最長(zhǎng)為en。那么，如何設(shè)計(jì)這個(gè)邊長(zhǎng)一定的n邊形，使得en最小。

這個(gè)問(wèn)題在高等解析幾何里面不難解。事實(shí)上，多邊形的“極限”形狀無(wú)非兩種：（1）寬度趨近于零的矩形和（2）完美的圓形。這兩種情況的en很容易求得：

（1）矩形：e4→a2

（2）圓形：周長(zhǎng)為a的圓的直徑。所以e∞=aπ

事實(shí)上，圓形作為多邊形的一種特殊形式為我們所要的形狀。

讓我們把這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)化，使得這個(gè)問(wèn)題可以用于啟發(fā)中學(xué)生在平面幾何，初等函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單求導(dǎo)方法，以及極限的基本性質(zhì)方面的興趣。

（3）對(duì)于我們構(gòu)造的這些等周長(zhǎng)的正多邊形（包括圓），頂點(diǎn)連線(xiàn)最長(zhǎng)為en。如果n為偶數(shù)，en為正多邊形對(duì)角線(xiàn)，長(zhǎng)度為2bn。如果n為奇數(shù)，以五邊形為例子如圖7所示，en將比2bn小，或者說(shuō)en不再是其外接圓的直徑，而是弦AC。這個(gè)問(wèn)題事實(shí)上是回歸本文最開(kāi)始的問(wèn)題1，只是我們現(xiàn)在在正多邊形的簡(jiǎn)化的情況下進(jìn)行討論。在bn的基礎(chǔ)上，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，en的通式也不難求得。以圖為背景，

en=2×bn×sin∠AOF

=2×bn×sin（π2-π2n）

=2×a2n×1sinπn×cosπ2n

=an×12sinπ2ncosπ2n×cosπ2n

=π2n×1sinπ2n

類(lèi)似的，這個(gè)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，求解過(guò)程不再累述。

所以，如果從最短的最大節(jié)點(diǎn)間距的設(shè)計(jì)上說(shuō)，圓也是為我們所求。事實(shí)上，不管?chē)鍪裁葱螤?，圓的en就是本文開(kāi)頭問(wèn)題1的答案。這個(gè)在高等數(shù)學(xué)上不難驗(yàn)證。

用一根定長(zhǎng)的線(xiàn)圍出來(lái)的正多邊形中，圓的面積最大。事實(shí)上，不僅僅是正多邊形，所有等周長(zhǎng)多邊形中，圓的面積是最大的。這在現(xiàn)實(shí)生活中有其指導(dǎo)意義，比如，如何用一定的長(zhǎng)的圍欄圍出最大（圓）或者最?。ㄈ切危┑拿娣e。在物理上也有很多應(yīng)用，比如水滴在親水平面上的舒展是呈圓形的，這是通過(guò)使得接觸面最大而讓總能量最低使得系統(tǒng)最穩(wěn)定等等。

很明顯，以上的多次討論都以圓為結(jié)尾。事實(shí)上，不僅僅二維的圓有著這么多有趣的性質(zhì)，三維的球體也有著很多值得探討和啟迪學(xué)生的性質(zhì)。最簡(jiǎn)單的，對(duì)于等體積的立體結(jié)構(gòu)，球的表面積最小。這在建筑上可以節(jié)省表面裝飾材料，也是物理上散熱的問(wèn)題（冷的時(shí)候，人喜歡蜷成一團(tuán)）。

本文主要討論的是很見(jiàn)到的多邊形的問(wèn)題。這些在現(xiàn)實(shí)生活中也經(jīng)常接觸到。正八角形的建筑是很多道學(xué)家喜歡的。再說(shuō)，南京大學(xué)以前浦口校區(qū)的八角樓恐怕是很多南大學(xué)子難忘的。至于圓的建筑，那就更舉不勝數(shù)了，比如著名的土家圓樓或者享譽(yù)全世界的美國(guó)加州理工學(xué)院的Beckman大會(huì)堂的白色建筑。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，最后筆者提出幾個(gè)問(wèn)題留給讀者去思考。如果引入解析幾何，尤其是極坐標(biāo)，很多螺旋形的設(shè)計(jì)也有很多數(shù)學(xué)方面的有趣性質(zhì)。最簡(jiǎn)單的，如何用一根定長(zhǎng)的線(xiàn)段設(shè)計(jì)最復(fù)雜的迷宮？另外，如果我們?cè)谌S的角度上看問(wèn)題，引入立體幾何，把本文的討論的一切拓展到三維空間，這將頗有電影《盜夢(mèng)空間》里面那些復(fù)雜而有趣的拓?fù)浣ㄖ奈兜蓝o我們帶來(lái)無(wú)限的遐想。

結(jié)論

本文從最簡(jiǎn)單的幾何元素—線(xiàn)段開(kāi)始，探討了很多二維平面上的有趣的幾何問(wèn)題。對(duì)這些問(wèn)題的探討讓讀者尤其是中學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用有了更深層次的理解。本文的數(shù)學(xué)分析部分涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的方方面面。這篇綜合性的文章對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)在聯(lián)系現(xiàn)實(shí)應(yīng)用方面有著一定的指導(dǎo)作用，是一份拓展中學(xué)生的視野啟迪他們的數(shù)學(xué)興趣的很好的讀物。