信息技術(shù)助力 創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)

王伯龍

摘?要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考題本質(zhì)上是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的特征，建立數(shù)與形的聯(lián)系.因此借助函數(shù)圖象的直觀性，對于進(jìn)一步分析探索出解決函數(shù)問題的策略，尋求到解決函數(shù)問題的思路方法，將起著決定性的作用.而借助GeoGebra平臺(tái)的繪圖功能和動(dòng)態(tài)演示功能，正是一種破解之道.

關(guān)鍵詞：信息技術(shù);函數(shù)圖象;GeoGebra平臺(tái)

函數(shù)是貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線，也是高考數(shù)學(xué)命題的主干知識(shí).縱觀近年來的高考試題，不論是在主觀試題還是客觀試題的命制上，函數(shù)內(nèi)容都占有相當(dāng)?shù)臋?quán)重，常常作為壓軸題.考查的內(nèi)容豐富多樣，覆蓋了函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、零點(diǎn)、參數(shù)的取值范圍等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).滲透了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，提升了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.大多試題本質(zhì)上是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的特征，建立數(shù)與形的聯(lián)系.因此若能借助函數(shù)圖象的直觀性，對于進(jìn)一步分析探索出解決函數(shù)問題的策略，尋求到解決函數(shù)問題的思路方法，將起著決定性的作用.現(xiàn)擷取2019年高考函數(shù)精彩試題幾例，借助于GeoGebra平臺(tái)的繪圖功能和動(dòng)態(tài)演示功能，尋求其破解之道.

1?技術(shù)支持、探索思路、尋求突破

例1?（2019年浙江卷第9題）設(shè)a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x<0，13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0.若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（?）.

A.a<-1，b<0???B.a<-1，b>0

C.a>-1，b<0???D.a>-1，b>0

分析?本題考查含參數(shù)的零點(diǎn)問題，所給的函數(shù)是分段函數(shù)，題干中含有兩個(gè)參數(shù)a，b，且多項(xiàng)式的次數(shù)是3次，入手比較困難，我們可以借助于GeoGebra平臺(tái)的繪圖功能和動(dòng)態(tài)演示功能，畫出函數(shù)的圖象，通過改變參數(shù)a，b的值，讓圖象動(dòng)態(tài)變化，尋求解題的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函數(shù)y=（1-a）x-b，x<013x3-12（a+1）x2-b，x≥0的圖象，如圖1，滑動(dòng)滑桿a，b（改變a，b的值）讓圖象動(dòng)態(tài)變化，觀察到參數(shù)a決定圖象的形狀，參數(shù)b決定圖象的位置.若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，只需第一段函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且第二段函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即可.這就是解此題的突破口.

解析?由g′（x）=x2-（a+1）x=x[x-（a+1）]=0，得x=0或x=a+1.

由以上分析知，若函數(shù)y=13x3-12（a+1）x2-b在[0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且y=（1-a）x-b在（-∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，則有

-b<0，a+1>0，g（a+1）=-16（a+1）3-b<0，1-a>0.

解得-1

評析?GeoGebra技術(shù)支持圖象動(dòng)態(tài)變化，探索出參數(shù)a，b的本質(zhì)屬性，借助于圖象獲得解題的突破口.思路簡潔，容易理解.

例2?（2019年全國Ⅲ卷理12）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）在（0，2π）上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn);②f（x）在（0，2π）上有且僅有5個(gè)極小值點(diǎn);③f（x）在（0，π10）上單調(diào)遞增;④ω的取值范圍是[125，2910].其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（?）.

A.①④??B.②③??C.①②③??D.①③④

分析?本題考查含參數(shù)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，試題涉及到函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、單調(diào)性、參數(shù)的取值范圍等，設(shè)計(jì)新穎獨(dú)特，具有一定的區(qū)分度和選拔功能.學(xué)生只有對四個(gè)結(jié)論逐一檢驗(yàn)，才能得出正確的選項(xiàng).試題對學(xué)生考查的標(biāo)準(zhǔn)比較高，對考生來說，是有一定難度的.我們可以借助于GeoGebra平臺(tái)的繪圖功能和動(dòng)態(tài)演示功能，畫出函數(shù)的圖象，通過改變參數(shù)ω的值，讓圖象動(dòng)態(tài)變化，尋求解題的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函數(shù)f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0）的圖象，如圖2所示，滑動(dòng)滑桿ω，在拉伸或壓縮圖象的過程中，滿足條件f（x）在[0，2π]上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)的關(guān)鍵是x軸正方向上的第五個(gè)零點(diǎn)的坐標(biāo)x5≤2π，且第六個(gè)零點(diǎn)的坐標(biāo)x6>2π.這就是解決問題的突破口.

解析?設(shè)xi（i=1，2，3，4，5，6）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個(gè)零點(diǎn).由ωx1+π5=π，得x1=4π5ω.因?yàn)門=2πω，所以x5=4π5ω+4·T2=24π5ω，x6=4π5ω+5·T2=29π5ω.由于f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，因而x5≤2π，x6>2π，解得125≤ω<2910.所以④正確.

設(shè)yi（i=1，2，3，…）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個(gè)極大值點(diǎn). 由ωy1+π5=π2，得y1=3π10ω.yi=y1+（i-1）T=3π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易檢驗(yàn)得y3<2π，y4>2π.所以①正確.

設(shè)zi（i=1，2，3，…）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個(gè)極小值點(diǎn). 由ωz1+π5=3π2，得z=13π10ω.zi=z1+（i-1）T=13π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易解得53π29

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，4π5ω）上單調(diào)遞增，由125≤ω<2910，得8π29<4π5ω≤π3，因而π10<4π5ω.所以（0，π10）（0，4π5ω）.因此f（x）在（0，π10）上單調(diào)遞增，所以③正確.