立體幾何中三視圖的學(xué)習(xí)障礙及其對(duì)策探究

摘 要：新課改之后高考對(duì)三視圖部分的考察越趨于重視，但在實(shí)際的學(xué)習(xí)中因其需要一定的空間思維和空間想象能力而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。要想順利突破這一障礙，不僅需要學(xué)生培養(yǎng)所需的空間思維，同時(shí)還應(yīng)正確理解與掌握解決三視圖的方法。本文就以學(xué)生在學(xué)習(xí)三視圖時(shí)所面臨的障礙進(jìn)行分析，目的在于找尋突破的辦法，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：三視圖;學(xué)習(xí)障礙;解決辦法

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家M.阿蒂亞曾說(shuō)過(guò)，“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視圖思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對(duì)詞更好，即‘洞察與‘嚴(yán)格，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用。即，幾何是直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯?！边@表明，幾何不只是一個(gè)數(shù)學(xué)分支，還是一種思維方式，它滲透數(shù)學(xué)的所有分支。三視圖作為高中學(xué)習(xí)的必修知識(shí)，它不僅是高考的必考點(diǎn)，更多的是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活都發(fā)揮很大的作用：（1）幾何直觀和幾何語(yǔ)言都是認(rèn)識(shí)和描述現(xiàn)世世界空間與圖形關(guān)系的重要工具。（2）三視圖問(wèn)題的解決有助于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。（3）有助于發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。（4）有助于發(fā)展學(xué)生的合情推理與演推理的能力，以及運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力。（5）有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力。這些都緊貼新課標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求，因此研究三視圖具有一定的教育意義。

根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)三視圖的學(xué)習(xí)卻存在很大問(wèn)題。我們發(fā)現(xiàn)主要問(wèn)題有以下兩個(gè)方面：一方面由于2003新課程改革之后三視圖才被作為新添內(nèi)容加入高中課本，從而導(dǎo)致一部分老師并沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容，所以在教學(xué)過(guò)程中是一種邊學(xué)邊教的形式，無(wú)法準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。另一方面有些學(xué)生本身就對(duì)空間圖形存在恐懼以及沒(méi)有一些好的解決問(wèn)題的辦法，導(dǎo)致學(xué)習(xí)出現(xiàn)障礙。

通過(guò)對(duì)不同的班級(jí)學(xué)生進(jìn)行研究，筆者嘗試分析產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙的成因，對(duì)三視圖中常見(jiàn)的問(wèn)題歸納整理如下：

（一） 教材方面的原因

高中的教材更加偏向于邏輯與理解，相對(duì)于初中教材來(lái)說(shuō)難度和跨度更大，雖然學(xué)生在初中也已經(jīng)接觸過(guò)立體幾何方面知識(shí)，但在初中與高中的教材銜接上還是存在一些問(wèn)題，從而使一些空間感不強(qiáng)的學(xué)生感覺(jué)到學(xué)習(xí)吃力。同時(shí)，三視圖是必修二的內(nèi)容，是文理科學(xué)生都要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是文理科學(xué)生的空間思維是存在差異的，文科生偏向于直觀思維，理科生偏向于邏輯思維，這也將導(dǎo)致不同的學(xué)生對(duì)教材的把握程度各有不同。

（二） 學(xué)生認(rèn)知的原因

發(fā)生認(rèn)識(shí)論的締造者皮亞杰，稱(chēng)得上除了弗洛伊德之外的心理學(xué)界的一個(gè)偉人。在他的觀點(diǎn)中，認(rèn)識(shí)的生長(zhǎng)不完全是經(jīng)驗(yàn)的作用，而是個(gè)人在認(rèn)識(shí)發(fā)展的過(guò)程發(fā)揮了重要作用。這就說(shuō)明學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)課堂的，他們具有一定的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，也會(huì)根據(jù)過(guò)去的成敗經(jīng)驗(yàn)對(duì)新內(nèi)容進(jìn)行主觀判斷，有些學(xué)生在初中時(shí)就不喜歡幾何，對(duì)幾何缺乏興趣，這樣就會(huì)直接影響對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。因此教師要正確運(yùn)用理論與經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，幫助學(xué)生理解與掌握三視圖。

（三） 學(xué)生性別的原因

楊木蘭女士指出女性最顯著的表現(xiàn)是感覺(jué)和記憶，男性的優(yōu)勢(shì)在于抽象推理和空間想象推理。女孩擅長(zhǎng)處理來(lái)自感官的信息和各種記憶資料，而男孩一般在空間技能上表現(xiàn)出色。因此相對(duì)于女生來(lái)說(shuō)，男生在學(xué)習(xí)三視圖上不管是學(xué)習(xí)能力還是接受能力都要更強(qiáng)一些，這就導(dǎo)致男女生在三視圖的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)兩極分化，但值得慶幸的是，女生在學(xué)習(xí)上相對(duì)于男生來(lái)說(shuō)更加的踏實(shí)和努力，從而彌補(bǔ)了一定的性別差異。

（四） 學(xué)生能力的原因

通過(guò)談話(huà)的形式，我們發(fā)現(xiàn)班里有一部分學(xué)生從小學(xué)開(kāi)始就被家長(zhǎng)送去生活園，然后由生活園的老師負(fù)責(zé)輔導(dǎo)家庭作業(yè)。我們知道其實(shí)有些輔導(dǎo)班里的老師并不是合格的教師，為了學(xué)生完成作業(yè)，有的甚至直接告訴學(xué)生答案，而忽略了引導(dǎo)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。漸漸地使學(xué)生依賴(lài)性增強(qiáng)，獨(dú)立思考的能力減弱，碰到問(wèn)題不能自行解決，總是依靠老師來(lái)幫助解決，漸漸形成了失去了老師就不會(huì)學(xué)習(xí)的情況。在小學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期得不到學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，將直接影響高中時(shí)期的學(xué)習(xí)，漸漸形成不會(huì)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，導(dǎo)致學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙。

（五） 教師教學(xué)的原因

高中階段教學(xué)內(nèi)容多，難度大，教師往往只是為了完成教學(xué)任務(wù)而講課，上課常常忽略學(xué)生的主體地位。再加上班級(jí)人數(shù)眾多，教師也難以照顧到個(gè)體差異。在研究的過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)由于下課時(shí)間短，學(xué)生除了解決個(gè)人問(wèn)題之外，再想去問(wèn)老師問(wèn)題的時(shí)間少之又少，這也直接導(dǎo)致問(wèn)題的積攢。在教學(xué)內(nèi)容上，三視圖的教學(xué)本身就具有一定的抽象性，如果這個(gè)時(shí)候教師不能夠很好地通過(guò)實(shí)物直觀和準(zhǔn)確的語(yǔ)言進(jìn)行講解和描述，不能夠準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)，這也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生困惑，這種困惑如果不能及時(shí)得到解決，將直接阻礙后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

為了解決學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖的困難，突破立體幾何學(xué)習(xí)障礙，接下來(lái)我們將從以下幾個(gè)方面談一談應(yīng)對(duì)策略。

（一） 化抽象為具體

三視圖本身就來(lái)源于生活實(shí)際，它是把生活的實(shí)物摒棄其物理、化學(xué)性質(zhì)，保留人們想象中的空間形式。那么，在開(kāi)始講述三視圖時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)三個(gè)方面觀察實(shí)物，不斷在心里建構(gòu)其模型并不斷豐富自己的表象儲(chǔ)備。上課時(shí)，教師可以通過(guò)多媒體課件的形式展示常見(jiàn)的幾何體，對(duì)于幾何體的制作可以通過(guò)常用的幾何畫(huà)板或者使用CorelDRAW軟件，幫助對(duì)幾何體進(jìn)行分割和組合，讓學(xué)生觀察它的特點(diǎn)，慢慢引導(dǎo)學(xué)生過(guò)渡到抽象空間思維中，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（二） 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)這門(mén)課本身就具備極強(qiáng)的邏輯性和思維性，而三視圖這部分更是把數(shù)學(xué)的特性體現(xiàn)得淋漓盡致，這就導(dǎo)致一些邏輯性不強(qiáng)的學(xué)生對(duì)它很難產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。我們知道學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開(kāi)興趣，有了興趣的驅(qū)使才能使學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)增強(qiáng)。因此，在三視圖的教學(xué)中，應(yīng)更注重學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，并提出一些切合學(xué)生實(shí)際的新穎性的帶有一定趣味性的問(wèn)題，讓問(wèn)題既有廣度又有深度，又有挑戰(zhàn)性。

心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾在有意義接受學(xué)習(xí)理論中指出，教師應(yīng)注重基本原理、基本概念的教學(xué)，但是對(duì)于問(wèn)題的解答不必一定根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案形式，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言進(jìn)行回答，鍛煉學(xué)生的思維力。

根據(jù)心理學(xué)家班杜拉的自我效能感理論，我們知道，所謂的自我效能感是指?jìng)€(gè)人對(duì)自己能否成功從事某一成就的主觀判斷。所以在學(xué)生回答完問(wèn)題之后，不論回答的對(duì)與錯(cuò)，教師都應(yīng)該做好積極地強(qiáng)化，幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心并有目的地培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。

（三） 培養(yǎng)空間想象能力

空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何必須具備的能力，但是這種能力并不是天生的，可以通過(guò)后天的培養(yǎng)產(chǎn)生的，因此在教學(xué)過(guò)程中，要充分的重視這一方面。對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)，首先要了解模型與三視圖直接的關(guān)系，其次是熟悉模型與直觀圖直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后了解三視圖與直觀圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在這三方面內(nèi)容都非常熟悉的基礎(chǔ)上，空間想象能力才能慢慢建立起來(lái)。

（四） 三視圖的理論講解及破解策略

三視圖，顧名思義就是“三個(gè)視圖”。將一個(gè)物體放置在三投影面體系中，用正投影法分別向三個(gè)投影面投影，就得到了物體的三面投影，即三視圖。具體如下：從物體的前面向后面正投影稱(chēng)為正視圖，也稱(chēng)主視圖;從物體的左面向右面正投影稱(chēng)為側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖;從物體的上面向下面正投影稱(chēng)為俯視圖。

其次要了解視圖與物體的方位關(guān)系，所謂方位關(guān)系，指的是繪圖者（或看圖者）面對(duì)正面（即主視圖的投射方向）來(lái)觀察物體為準(zhǔn)，看物體的上、下、前、后、左、右六個(gè)方位在三視圖中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但實(shí)際上許多學(xué)生只對(duì)于長(zhǎng)方體這種方正的圖形，才有長(zhǎng)、寬、高的概念，其實(shí)任何物體均有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向尺寸，分析的前提必須先規(guī)定物體的長(zhǎng)、寬、高尺寸方向。教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)正對(duì)主視圖的水平方向?yàn)槲矬w的長(zhǎng)度方向，那么此時(shí)其寬度和高度方向就自然地確定下來(lái)了。由此可見(jiàn)，每一視圖只能反映物體兩個(gè)方向的尺寸，且每?jī)蓚€(gè)視圖反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的內(nèi)在聯(lián)系。將其歸納一下，就是我們所熟知的“主視俯視長(zhǎng)對(duì)正，主視左視高平齊，左視俯視寬相等”。若是教師在教學(xué)中能對(duì)以上內(nèi)容加以細(xì)致講解，相信學(xué)生對(duì)三視圖的掌握會(huì)更加容易。

理論的講解主要是幫助學(xué)生更好地理解三視圖，而在具體的解決問(wèn)題之中，則需要一些破解策略，方能更快解決問(wèn)題。三視圖涉及的圖形大致可分成兩類(lèi)：一類(lèi)是基本幾何圖形，一類(lèi)是簡(jiǎn)單組合圖形。對(duì)于基本幾何圖形又可分為兩類(lèi)，含有曲面的曲面幾何體（如圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球）和不含曲面的幾何體（如棱柱、棱錐、棱臺(tái)等），對(duì)于簡(jiǎn)單組合圖形，也可分為兩類(lèi)，疊加類(lèi)組合體（如小正方體組合體）和切割類(lèi)組合體。

1. 圖形特征法

三個(gè)視圖中有兩個(gè)視圖是平行四邊形，一般就是柱，是什么柱，看另外一個(gè)視圖的外輪廓，如果是三角形，則是三棱柱;如果是四邊形，則是四棱柱;如果是圓形，則是圓柱。

三個(gè)視圖中有兩個(gè)視圖是三角形，一般就是錐，是什么錐，看另外一個(gè)視圖的外輪廓，若果是三角形，則是三棱錐;如果是四邊形，則是四棱錐;如果是圓形，則是圓錐。

三個(gè)視圖中有兩個(gè)視圖是梯形，一般就是臺(tái)，是什么臺(tái)，看另外一個(gè)視圖的外輪廓，如果是三角形，則是三棱臺(tái);如果是四邊形，則是四棱臺(tái);如果是圓形，則是圓臺(tái)。

三個(gè)視圖外輪廓中，有兩個(gè)視圖是扇形，一般就是球的一部分。

2. 圖形切割法

高中階段的立體圖形，基本上都是由長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐或球體切割出來(lái)的，因此在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中，始終把握住這一點(diǎn)，再去觀察三個(gè)視圖的具體特征，嘗試推斷應(yīng)該是由哪種物體切割而成。推斷出之后，就可以先把它繪制出來(lái)，再通過(guò)連接輔助線(xiàn)的方法對(duì)圖形進(jìn)行切割并不斷比對(duì)三視圖，直到切割出所求幾何體為止。這種方法一般不可能一次就能切割準(zhǔn)確，需要反復(fù)嘗試幾次，因此需要學(xué)生具有一定的耐心和信心。

例：已知下圖是空間幾何體的三視圖，畫(huà)出該幾何體。

解：物體三個(gè)視圖的構(gòu)成都是矩形，長(zhǎng)方體截角后，截面是一個(gè)三角形，在每個(gè)視圖中反映為不同的三角形，因此該幾何體為：

本題的解決需要學(xué)生先判斷原幾何體是由什么切割出的，再根據(jù)圖形特征畫(huà)出原圖。

3. 拆分組合法

對(duì)于三視圖來(lái)說(shuō)，除了有切割體，還有組合體，即由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本幾何體疊加而成的立體，通常分為上下兩部分，而且上下兩部分有明顯的分界線(xiàn)，那么拆分組合法的基本步驟：①看三視圖，把三視圖各個(gè)部分分開(kāi);②把對(duì)應(yīng)的主視圖、左視圖、俯視圖排在一起;③按照?qǐng)D形特征法將其還原;④將還原后的各個(gè)幾何體重新疊加。對(duì)于三視圖中的組合體類(lèi)型來(lái)說(shuō)，題目?jī)?nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，把握住這幾點(diǎn)，應(yīng)該能順利解決問(wèn)題。

例：由5個(gè)小立方塊搭成的幾何體，其三視圖分別如下，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)的幾何體。

解：先畫(huà)出幾何體的正面，再側(cè)面，然后結(jié)合俯視圖完成幾何體的輪廓，如下圖所示：

本題主要考查學(xué)習(xí)對(duì)于組合體三視圖掌握情況，學(xué)生應(yīng)該在畫(huà)三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從三個(gè)不同的角度進(jìn)行觀察.在繪制三視圖時(shí)，分界線(xiàn)和可見(jiàn)輪廓線(xiàn)都用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，被遮擋的部分用虛線(xiàn)表示出來(lái)，繪制三視圖.也就是由客觀存在的幾何物體，從觀察的角度，得到反應(yīng)出物體形象的幾何學(xué)知識(shí)。

本文主要是是對(duì)高中生立體幾何中三視圖的學(xué)習(xí)障礙的研究，研究的內(nèi)容包括產(chǎn)生障礙的原因和解決障礙的對(duì)策。目的是希望幫助學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)立體幾何，更好地培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，收獲成功的喜悅。

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作者簡(jiǎn)介：

戴云天，安徽省蕪湖市，安徽師范大學(xué)。