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    基于DEA生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率測度

    2019-11-11 05:19:38劉妍珺馬贊甫
    統(tǒng)計(jì)與信息論壇 2019年11期
    關(guān)鍵詞:超平面交叉形式

    劉妍珺,馬贊甫

    (貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)a.?dāng)?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;b.貴州省經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,貴州 貴陽550025)

    數(shù) 據(jù) 包 絡(luò) 分 析 (DEA,Data Envelopment Analysis)于1978年由Charnes等人提出,最初用于測評(píng)非盈利性決策單元(Decision Making Unit,DMU)的相對(duì)有效性[1]。經(jīng)40余年發(fā)展,DEA已成為常用的非參數(shù)效率評(píng)價(jià)方法與技術(shù)描述方法。

    經(jīng)典DEA模型如CCR模型、BCC模型都是采用線性規(guī)劃方法判別目標(biāo)決策單元的有效性,其判別標(biāo)準(zhǔn)表現(xiàn)為一個(gè)線性評(píng)價(jià)函數(shù)[1-2]。針對(duì)每一個(gè)決策單元,DEA模型試圖判斷是否存在一個(gè)線性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)使得該決策單元是有效的。這一點(diǎn)明顯區(qū)別于多目標(biāo)規(guī)劃方法,后者也習(xí)慣于利用線性評(píng)價(jià)函數(shù)尋找相應(yīng)的有效點(diǎn)。不過,前者是尋找可能的評(píng)價(jià)函數(shù)辯護(hù)有效性,而后者是利用確定的評(píng)價(jià)函數(shù)發(fā)現(xiàn)有效點(diǎn)。因此,在DEA測評(píng)下,不同決策單元的有效性往往被不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)所支撐,換言之,DEA評(píng)價(jià)效率的標(biāo)準(zhǔn)具有多重性,并不單一,或認(rèn)為是DEA方法的固有缺陷。

    經(jīng)典DEA模型雖可區(qū)分有效與無效,但在DMU的全排序方面存在不足,主要是難以進(jìn)一步區(qū)分有效DMU。由此引發(fā)了一系列的研究工作,比如偏好錐模型、基于標(biāo)桿值排序、超效率模型以及交叉效率(Cross-Efficiency)模型,等等,均致力于樣本的全排序[3-6]。

    交叉效率模型應(yīng)用較為廣泛[7-9],不過,在計(jì)算層面尚存在一些問題亟待解決,比如,交叉效率非唯一性問題,這也是眾多交叉效率模型得以提出的主要原因[10]。本項(xiàng)研究考慮利用DEA生產(chǎn)可能集的交形式(Intersection Form)測算交叉效率,以處理交叉效率非唯一性問題。

    一、交叉效率非唯一性問題

    為處理DEA方法績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)的不一致性,并實(shí)現(xiàn)樣本全排序,DEA交叉效率概念及相應(yīng)測評(píng)模型得以提出。Sexton等利用決策單元自評(píng)、互評(píng)體系實(shí)現(xiàn)上述目的,所提出的交叉效率評(píng)價(jià)模型較早且具有代表性[6]。

    所謂自評(píng),是指決策單元按照經(jīng)典DEA模型的慣常做法評(píng)價(jià)自身效率狀況,一般而言,每一個(gè)決策單元都在容許范圍內(nèi)自主選擇于其最為有利的績效標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行自身效率的測評(píng)。設(shè)所觀測到的n個(gè)決策單元為:

    其中xj為第j個(gè)決策單元的輸入列向量,而yj為其相應(yīng)的輸出列向量,j=1,2,…,n。在規(guī)模報(bào)酬可變性假設(shè)下,輸出導(dǎo)向下的自評(píng)效率為如下BCC模型[2]的最優(yōu)值之倒數(shù):

    其中,列向量ω為輸入項(xiàng)權(quán)重,而列向量μ為輸出項(xiàng)權(quán)重;x0與y0分別表示目標(biāo)決策單元的輸入與輸出向量,而目標(biāo)決策單元為式(1)所示n個(gè)決策單元之一。

    所謂互評(píng),是指相互評(píng)價(jià),不僅利用自身奉行的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)其它決策單元,也利用其它決策單元所奉行的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)自身。比如,若以目標(biāo)決策單元(xT0,yT0)T的標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)第j個(gè)決策單元的輸出效率,則可得到交叉效率為:

    其中,矩陣E的第i行第j列元素Eij是第i個(gè)決策單元在第j個(gè)決策單元所奉行績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值,i,j=1,2,…,n。顯然,矩陣對(duì)角線上元素即自評(píng)效率,是利用經(jīng)典DEA模型比如式(2)核算得到的效率值;其它元素則是互評(píng)效率值,利用式(3)計(jì)算得到。

    交叉評(píng)價(jià)的一個(gè)關(guān)鍵性難點(diǎn)問題是Eij并不唯一,因決策單元所奉行的績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)未必唯一,即自評(píng)問題(2)的最優(yōu)解未必唯一。現(xiàn)結(jié)合一個(gè)單輸入、單輸出條件下的輸出導(dǎo)向績效評(píng)價(jià)問題予以說明,樣本如圖1中A-E點(diǎn)所示,其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為輸入量,而縱坐標(biāo)為輸出量,并假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)狀況具體表現(xiàn)為BCC生產(chǎn)可能集,其弱有效邊界以粗線進(jìn)行了標(biāo)記。

    若采用B點(diǎn)所奉行的績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)其它決策單元的效率,可供選擇的標(biāo)準(zhǔn)無窮之多,比如,BC直線是一種可行標(biāo)準(zhǔn),AB直線是一種可行標(biāo)準(zhǔn),任何介于兩者之間的直線如BF直線也是一種可行標(biāo)準(zhǔn),分別與一個(gè)不同的線性評(píng)價(jià)函數(shù)相對(duì)應(yīng)。這意味著他評(píng)效率并不唯一。

    圖1 交叉效率測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)的非唯一性圖

    Sexton等利用二次目標(biāo)函數(shù)(Secondary Objective Function)處理他評(píng)效率非唯一性問題。其中,常用的二次目標(biāo)函數(shù)有兩種,其一為壓制形式(Aggressive Formulation),總是選擇績效標(biāo)準(zhǔn)最小化其它決策單元的效率值;其二為親和形式(Benevolent Formulation),傾向于選擇績效標(biāo)準(zhǔn)最大化其它決策單元的效率值[6]。比如,若B點(diǎn)選擇直線AB所表征績效標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)其右側(cè)點(diǎn)的效率,則可使得后者在B點(diǎn)測評(píng)下的交叉效率取到最小值;與此相反,若選擇直線BC所表征的測評(píng)標(biāo)準(zhǔn),則可使得后者效率取到最大值。

    需要指出的是,若評(píng)價(jià)對(duì)象不同,給定效率標(biāo)準(zhǔn)所表征出的壓制或親和屬性未必一致。比如,給定AB所表征的績效標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于B點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)具有壓制意義,而對(duì)于其左側(cè)點(diǎn)卻具有親和性質(zhì)。

    不難發(fā)現(xiàn),不論采用壓制形式還是親和形式進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià),其測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)總是與DEA生產(chǎn)可能集的不同前沿超平面相聯(lián)系。欲認(rèn)識(shí)這一點(diǎn),需考慮DEA生產(chǎn)可能集的交形式,在該種形式下,生產(chǎn)可能集的前沿面具有確定性。

    二、DEA生產(chǎn)可能集的交形式

    一個(gè)基本事實(shí)是,經(jīng)典DEA模型績效評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是由弱DEA有效的決策單元所確立的,與非弱DEA有效的決策單元并無多大關(guān)聯(lián)。因此,交叉效率的標(biāo)準(zhǔn)也主要決定于弱有效決策單元,非弱有效決策單元只能接受、選擇標(biāo)準(zhǔn)。類似地,DEA生產(chǎn)可能集的交形式也僅決定于弱有效決策單元。考慮及此,可利用集合的交形式測評(píng)交叉效率。

    DEA不僅僅可評(píng)價(jià)相對(duì)效率,還可以在非參數(shù)意義下描述生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系,其基本工具就是DEA生產(chǎn)可能集。作為一個(gè)數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,DEA生產(chǎn)可能集總是基于若干假設(shè)條件,或稱公理體系。關(guān)于不同公理的確切含義,可參考魏權(quán)齡教授關(guān)于DEA的專著[11]。

    比如,滿足平凡性、凸性、錐性、無效性、最小性假設(shè)的CCR生產(chǎn)可能集表現(xiàn)為如下和形式(Sum Form):

    就式(5)所示生產(chǎn)可能集而言,其有效性元素(還有其它部分元素)均可表示為樣本點(diǎn)的非負(fù)加權(quán)和形式,故稱該種形式為生產(chǎn)可能集的和形式??紤]到該集合為凸集,利用凸集等價(jià)定理,一定可以表示為所有包含它的半空間的交集形式[12],即該集合還具有如下交形式:

    在維度較高的情況下,確定生產(chǎn)可能集的交形式并不容易。所幸,魏權(quán)齡等人已提出成熟的算法,且開發(fā)出相應(yīng)軟件,方便于生產(chǎn)可能集的形式轉(zhuǎn)換[13-14]。

    顯然,交形式可用以測評(píng)DEA效率。在交形式下,很容易判斷給定輸入下輸出是否滿足弱有效性,或給定輸出下的輸入是否滿足弱有效性,也可評(píng)估一個(gè)無效目標(biāo)決策單元效率改進(jìn)的余地,還可據(jù)此開發(fā)所謂的DEA測評(píng)機(jī),用于數(shù)據(jù)挖掘[15]。另外,因交形式更為直接地界定了生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系,便于后續(xù)經(jīng)濟(jì)分析與應(yīng)用[14]。比如,可用于測評(píng)規(guī)模報(bào)酬與擁擠(Congestion)狀況[16]。又如,便于計(jì)算滿足最小歐式距離的投影,確保無效決策單元在輸入、輸出方面都得到快捷的改進(jìn)[14]。

    需要指出的是,DEA生產(chǎn)可能集的交形式具有確定性。給定一個(gè)凸集,包含該凸集的半空間有無窮之多,對(duì)于某些特殊凸集,可能需要無窮多個(gè)半空間才能以交形式界定該凸集。但是,考慮到經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集的特征,只需要有限個(gè)半空間即可確定該集合。而且,針對(duì)經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集,總是可找出滿足最小個(gè)數(shù)的半空間即確定該集合,在這一意義下,滿足條件的半空間總是確定的,故稱DEA生產(chǎn)可能集的交形式具有確定性特征。因?yàn)槊恳粋€(gè)半空間都確定了DEA生產(chǎn)可能集的一個(gè)前沿面,與一個(gè)線性評(píng)價(jià)函數(shù)相對(duì)應(yīng),可根據(jù)該形式核算交叉效率。

    三、基于生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率模型

    在給定假設(shè)條件下,由樣本決定的DEA生產(chǎn)可能集是確定的,或者說,其前沿超平面形式是確定的。設(shè)由n個(gè)決策單元所確定的DEA生產(chǎn)可能集其交形式中含有κ個(gè)前沿超平面,也就是說,我們至少需要κ個(gè)半空間取交集才能確定該集合。于是,針對(duì)每一個(gè)決策單元,可能存在κ個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)。

    需要指出的是,未必每一個(gè)前沿超平面都構(gòu)成績效測評(píng)的標(biāo)準(zhǔn)。特別是弱有效而非有效性前沿超平面不一定能構(gòu)成績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn),需要做出取舍。若存在κ個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn),則針對(duì)所觀測到的樣本可得到交叉效率矩陣為:

    矩陣EIF的第i行第j列元素eij是第i個(gè)決策單元在第j個(gè)績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值,i=1,2,…,n;j=1,2,…,κ。在每一個(gè)績效標(biāo)準(zhǔn)下,效率是唯一的,于是,就每一行元素求其算術(shù)平均,即得到每一個(gè)決策單元的交叉效率值:

    上述計(jì)算均等地對(duì)待每一個(gè)績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)然,還可以按照標(biāo)桿值做區(qū)分性對(duì)待,此時(shí)就式(8)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整即可。如此處理,相當(dāng)于確立了交叉效率矩陣E與EIF之間的內(nèi)在聯(lián)系。

    就CCR模型、BCC模型等經(jīng)典DEA模型而言,輸入導(dǎo)向或輸出導(dǎo)向下的效率值事實(shí)上反映了目標(biāo)決策單元與給定前沿面的位置關(guān)系。而交叉效率值則在一定程度上反映了目標(biāo)決策單元距離所有前沿面的位置關(guān)系,更為精準(zhǔn)地刻畫了決策單元在DEA生產(chǎn)可能集中的幾何位置。

    四、計(jì)算步驟與案例

    在交形式下,DEA生產(chǎn)可能集的前沿面?zhèn)€數(shù)是有限的,且形式是確定的。因此,可考慮利用這有限個(gè)確定的前沿超平面對(duì)每一個(gè)決策單元進(jìn)行效率的全方位測評(píng)。具體而言,本文按照如下程序核算基于DEA生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率值。

    第一,按照和形式、交形式轉(zhuǎn)換方法[13],確定給定DEA生產(chǎn)可能集的交形式,給出其全部前沿超平面的方程。其中,所求取的前沿超平面滿足個(gè)數(shù)最小條件,即若剔除其中任意一個(gè)前沿超平面,則由剩余前沿超平面所界定的半空間的交集將不再等價(jià)于原生產(chǎn)可能集。就經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集而言,交形式所含前沿超平面?zhèn)€數(shù)必然是有限的。

    第二,視每一前沿超平面方程為一個(gè)效率評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),即線性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),利用效率指標(biāo)的具體形式計(jì)算每一個(gè)決策單元在不同評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下效率值,得到交叉效率矩陣。

    第三,核算交叉效率值的平均值,定義其為交叉效率指標(biāo)值。這里可區(qū)分兩種不同的均值運(yùn)算,其一是簡單算術(shù)平均數(shù),等同地對(duì)待每一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),將同一個(gè)決策單元在不同評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值進(jìn)行簡單算術(shù)平均運(yùn)算;其二則是加權(quán)算術(shù)平均數(shù),根據(jù)標(biāo)桿值就每個(gè)前沿超平面進(jìn)行賦權(quán),然后計(jì)算效率的加權(quán)算術(shù)平均值。

    現(xiàn)利用交叉效率DEA模型考察中國1978—2014年間宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)狀況,決策單元由年度就業(yè)人數(shù)、資本存量、國內(nèi)生產(chǎn)總值表征,其中年度就業(yè)人數(shù)(L)、資本存量(K)為輸入,而國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)為輸出,數(shù)據(jù)如表1所示。

    表1 1978—2014年間中國宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)相關(guān)指標(biāo)數(shù)據(jù)

    假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系滿足規(guī)模報(bào)酬不變性(Constant Return to Scale,CRS),在給定樣本下,表現(xiàn)為一個(gè)CCR生產(chǎn)可能集。先利用DEA生產(chǎn)可能集的形式轉(zhuǎn)換方法確定其交形式為IFCCR={z|Az≥0},其中zT=(L,K,GDP),而

    在本例中,CCR生產(chǎn)可能集的前沿面由13個(gè)前沿超平面所構(gòu)成,其中含有效前沿超平面11個(gè),非有效性但滿足弱有效性的前沿面2個(gè)。需要指出的是,矩陣A的每一行都是一個(gè)前沿超平面的法向量,可界定一個(gè)前沿超平面,而集合條件中的每一個(gè)不等式則界定了一個(gè)半空間,13個(gè)半空間的交集則界定了CCR生產(chǎn)可能集。

    每一個(gè)前沿超平面都可作為績效測評(píng)的參照標(biāo)準(zhǔn),因超平面均過坐標(biāo)原點(diǎn),故唯一決定于其法向量。就每一個(gè)決策單元,分別計(jì)算其在13個(gè)效率標(biāo)準(zhǔn)下的產(chǎn)出效率,進(jìn)而計(jì)算其算術(shù)平均數(shù),并定義其為簡單交叉效率值,結(jié)果如表2所示。

    上述操作無差異地對(duì)待每一個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn),基于簡單算術(shù)平均值核算交叉效率值。若區(qū)別對(duì)待不同績效標(biāo)準(zhǔn),結(jié)果略有不同。為簡單起見,可基于標(biāo)桿值就績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行賦權(quán),全部13個(gè)前沿超平面的權(quán)重向量為:

    表2 1978—2014年間中國宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)不同效率指標(biāo)值

    各前沿超平面的權(quán)重決定于其標(biāo)桿值,即究竟有多少?zèng)Q策單元選擇以該標(biāo)準(zhǔn)為績效測評(píng)的標(biāo)準(zhǔn),或者說,選擇將產(chǎn)出投影擱置于該超平面之上,如圖2所示。

    圖2 年度資本產(chǎn)出比與勞動(dòng)產(chǎn)出比圖

    利用該權(quán)重向量就全部交叉效率進(jìn)行加權(quán)算術(shù)平均運(yùn)算,即得到每一個(gè)決策單元的加權(quán)交叉效率值,具體結(jié)果如表2所示。為對(duì)比起見,計(jì)算了各決策單元的CCR輸出效率指標(biāo)值,結(jié)果參見表2。

    不難看出,相較CCR效率而言,交叉效率值具有更高的區(qū)分度,可實(shí)現(xiàn)全部37個(gè)決策單元的全排序,其中以2007年交叉效率值為最高,而1978年最低。而且,交叉效率表現(xiàn)出更為明顯的趨勢與階段性特征,其中,2007年前為宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效率整體上升期,之后則逐年有所下降。

    五、結(jié) 論

    DEA效率具有相對(duì)性,每一個(gè)決策單元總是在可容許的范圍內(nèi)選擇對(duì)其最為有利的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),以獲得盡可能大的效率值。因此,在給定假設(shè)條件下測評(píng)DEA效率時(shí)往往存在多種標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)有交叉效率模型將目標(biāo)決策單元置于所有其它決策單元所奉行的效率標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行績效測度,考慮到每個(gè)決策單元所奉行的標(biāo)準(zhǔn)未必單一,特別是有效決策單元往往存在多個(gè)支持其有效性的標(biāo)準(zhǔn),因此交叉效率值往往不唯一。這是現(xiàn)有交叉效率測度模型需處理的基本問題。

    在本項(xiàng)研究中,同樣需要計(jì)算目標(biāo)決策單元在不同效率標(biāo)準(zhǔn)下的效率值,不同標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別于生產(chǎn)可能集的不同前沿超平面。我們所強(qiáng)調(diào)的在交形式下,DEA生產(chǎn)可能集的前沿超平面是確定的,因此交叉效率也是確定的。當(dāng)然,問題的難度在于第一步,即需要確定DEA生產(chǎn)可能集的交形式及相應(yīng)的前沿超平面方程。

    概括而言,現(xiàn)有交叉效率模型是利用不同決策單元進(jìn)行交互評(píng)價(jià),因每一個(gè)決策單元所實(shí)施的標(biāo)準(zhǔn)可能不唯一,從而產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的選擇問題。與此相區(qū)別,我們所考慮的交叉效率模型是基于DEA生產(chǎn)可能集交形式,交叉效率的特征主要體現(xiàn)在我們采用了集合全部而非單一的前沿超平面方程。在交形式下,生產(chǎn)可能集的前沿超平面是客觀確定的,故相應(yīng)的交叉效率也具有客觀性與確定性。

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