立足數(shù)學(xué)思想方法，整體架構(gòu)分?jǐn)?shù)乘法中的算理和算法

朱春雷

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第28～29頁(yè)例1、例2、“練一練”、練習(xí)五第1～5題。

教學(xué)目標(biāo)：

第一，使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的含義，理解并掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，并能正確計(jì)算。

第二，使學(xué)生經(jīng)歷探究分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義，探索分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);培養(yǎng)觀察、分析、推理和概括等思維能力。

第三，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究方法、探究意識(shí)和優(yōu)化意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法。

教學(xué)難點(diǎn)：理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法。

教學(xué)過程：

• 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，激活舊知

師：什么是分?jǐn)?shù)？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。

[評(píng)析]“分?jǐn)?shù)”和“乘法”都是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的重要基礎(chǔ)，有研究顯示，學(xué)生從乘法的角度理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義并不困難。確實(shí)，學(xué)生對(duì)于乘法意義的理解已經(jīng)比較透徹。因此，本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知難點(diǎn)不在于“乘法”，而在于“分?jǐn)?shù)”，從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)更能促進(jìn)學(xué)生思考。教師準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，緊扣本節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)，從整體把握教材。

二、探索算理，歸納算法

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

出示例1：做一朵綢花要用米綢帶。

米

1米

師：米表示什么意義？

生：米是把1米看作單位“1”，平均分成10份，表示其中的3份。

師：的分?jǐn)?shù)單位是什么？它有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位？

生：的分?jǐn)?shù)單位是，它有3個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

出示問題：小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

提問：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求什么？

明確：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求3個(gè)米是多少。

[評(píng)析]教師利用教材設(shè)計(jì)的情境引入新課，將計(jì)算教學(xué)與解決實(shí)際問題的有機(jī)結(jié)合。這樣有利于學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)問題情境，理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，體會(huì)學(xué)習(xí)計(jì)算是解決實(shí)際問題的需要。學(xué)生在分析題目時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將整數(shù)乘法的意義推廣到分?jǐn)?shù)中。通過新舊知識(shí)的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通。教師還有意識(shí)地喚醒學(xué)生的舊知——分?jǐn)?shù)單位，為后面對(duì)算理的理解做準(zhǔn)備。

（二）探索算理

師：你能在直條圖上涂色表示3個(gè)米嗎？注意先涂第一個(gè)米，再涂第二個(gè)米，最后涂第三個(gè)米。

（學(xué)生在書上涂色）

師：看著你畫好的圖，現(xiàn)在你知道3個(gè)米是多少嗎？

生：米。

追問：從圖中我們可以直接看出結(jié)果，那要求“3個(gè)米是多少”應(yīng)該怎樣列式呢？

生1：

生2：

師：對(duì)，可以用連加計(jì)算，我們?cè)趯W(xué)整數(shù)乘法時(shí)知道，求幾個(gè)幾是多少也可以用乘法計(jì)算。分?jǐn)?shù)加法我們很熟悉了，那這個(gè)算式是？

生：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。

師：這就是今天我們要研究的內(nèi)容：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。

（板書標(biāo)題：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)）

師：的結(jié)果我們可以從圖上看出，那這個(gè)算式到底怎樣計(jì)算呢？

生1：就表示3個(gè)的和是多少，即=。

生2：，3和3相乘，分母是10。

師：為什么？

生2：我感覺是這樣算的。

師：那我們一起來研究一下這樣算有沒有道理。

師：和計(jì)算結(jié)果相等嗎？為什么？

生：相等，都是求3個(gè)是多少。

師：好，那我們可以用等號(hào)將這兩個(gè)算式連接。

（教師板書：=）

師：算下去，這是同分母分?jǐn)?shù)的加法，怎么算？

生：分母不變，分子相加。

（教師板書：==）

師：分母上的3個(gè)3相加可以寫成什么？

生：3乘3。

（教師板書：====）

師：如果省去中間的推導(dǎo)過程，確實(shí)等于。

小結(jié)：我們可以根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算方法推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算方法。

[評(píng)析]教師安排學(xué)生在直條圖上涂色表示3個(gè)米，并且提示學(xué)生一個(gè)一個(gè)的涂，讓學(xué)生借助圖形直觀地感受分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的意義。計(jì)算時(shí)，有學(xué)生根據(jù)直覺提出了計(jì)算方法，教師沒有否定，并和學(xué)生一起進(jìn)行了算法的探索，尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維。教師利用分?jǐn)?shù)加法計(jì)算過程作為推導(dǎo)的依據(jù)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算過程理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算方法，使算法的得出水到渠成。

（三）歸納算法

師：請(qǐng)同學(xué)觀察這道算式說說分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法。

算法：分子與整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。

師：為什么3和分子3相乘，卻不和分母10乘？

生：如果和10乘，分母就變了，分?jǐn)?shù)單位沒有變，所以不能和10乘。

師：確實(shí)，表示3個(gè)，它的分?jǐn)?shù)單位是，現(xiàn)在要求3個(gè)是多少，就是求3乘“3個(gè)”是多少，分?jǐn)?shù)單位始終沒變。

引導(dǎo)：我們從圖上可以看出，一朵綢花用了1個(gè)“3個(gè)”，2朵綢花用2個(gè)“3個(gè)”，3朵綢花用幾個(gè)“3個(gè)”？

生：3個(gè)“3個(gè)”。

師：對(duì)啊，3個(gè)“3個(gè)”是3×（3個(gè)），就是。看來從分?jǐn)?shù)單位的角度也能理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法。

[評(píng)析]五年級(jí)時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算，部分關(guān)注計(jì)算形式的學(xué)生可能會(huì)有疑惑：小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，小數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)都要和整數(shù)相乘，為什么分?jǐn)?shù)乘整數(shù)中，分母不和整數(shù)相乘呢？教師在歸納完算法后，提出了一個(gè)巧妙的問題：為什么3和分子3相乘，卻不和分母10乘？引發(fā)學(xué)生深度思考：是把單位“1”平均分成10份，有這樣的3份，乘3就是9份，分?jǐn)?shù)單位始終沒有變?！扒?個(gè)是多少，就是求3個(gè)“3個(gè)”是多少。”看似拗口的一句話，學(xué)生卻能夠在教師的引導(dǎo)下順利地表述出來?？梢姡瑢W(xué)生的數(shù)學(xué)思維在語(yǔ)言表達(dá)中得到了提升。計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)無非是在計(jì)一計(jì)、算一算有幾個(gè)計(jì)數(shù)的單位，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算無非就是在算一算有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位。這部分的教學(xué)是本堂課最精彩的部分，學(xué)生從分?jǐn)?shù)的本質(zhì)上理解了算法，在明晰算理的過程中進(jìn)一步理解算法，也充分地體會(huì)到了算理的嚴(yán)密性和算法的合理性，教師讓算理和算法在反思中更通透。

（四）優(yōu)化算法

出示例2：小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

師：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求什么？

生：求5個(gè)米是多少。

師：觀察剛才兩個(gè)例子，思考分?jǐn)?shù)乘整數(shù)表示什么含義？

生：表示求幾個(gè)幾分之幾是多少。

（板書：表示求幾個(gè)幾分之幾是多少）

師：你打算怎樣列式？

生：

師：我們一起來計(jì)算。

[板書：]

師：我們來觀察中，誰(shuí)是分子？誰(shuí)是分母？

生：3乘5是分子，10是分母。

師：分子上有兩個(gè)因數(shù)分別是3和5，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：分子和分母都有因數(shù)5。

師：那根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們可以將分子和分母同時(shí)除以5，這樣就在計(jì)算過程中約分了。

師：你覺得先計(jì)算再約分和先約分再計(jì)算，哪種更簡(jiǎn)單？

生：先約分，再計(jì)算。

師：所以我們?cè)谟?jì)算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)要注意觀察，如果可以先約分的，要先約分再計(jì)算，這樣計(jì)算起來比較簡(jiǎn)便。

[評(píng)析]例2的教學(xué)重在優(yōu)化算法。過程約分和結(jié)果約分是計(jì)算中出現(xiàn)的兩種情況，這兩種情況沒有對(duì)錯(cuò)，都能算出正確答案。但是，在計(jì)算過程中先約分，再計(jì)算，大大地降低了計(jì)算難度。教師通過兩種計(jì)算情況的對(duì)比分析，讓學(xué)生體會(huì)先約分，再計(jì)算的優(yōu)勢(shì)。在教學(xué)中要把握好教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的分寸，學(xué)生的學(xué)習(xí)以有意義的接受學(xué)習(xí)為主，因此教師適時(shí)的引導(dǎo)非常關(guān)鍵。這里不需要刻意讓學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)過程約分的簡(jiǎn)潔性，教師稍加引導(dǎo)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生成即可。處理好“教”和“學(xué)”的分寸，數(shù)學(xué)教學(xué)就能達(dá)到潤(rùn)物無聲之效。

• 練習(xí)提升

通過“練一練”、練習(xí)五第1～5題，鞏固和提升所學(xué)知識(shí)。

• 全課總結(jié)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@。

[總評(píng)]《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》是蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》中第一課時(shí)的內(nèi)容。本節(jié)課是一節(jié)計(jì)算教學(xué)課。計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)就是：理解算理，掌握算法。何為算理？顧名思義，就是計(jì)算過程中的道理，是一種思維方式，它是客觀存在的規(guī)律。何為算法？算法是用文字表述的運(yùn)算方法，它是根據(jù)算理對(duì)運(yùn)算過程實(shí)施細(xì)則作出的具體規(guī)定，是人為規(guī)定的操作方法，它反映的是一種規(guī)范化的操作程序。下面是關(guān)于本節(jié)課的一些思考。

• 思考數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上整體把握教材。數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)不可分割的兩個(gè)面，它們一暗一明，思想方法潛在統(tǒng)領(lǐng)，數(shù)學(xué)內(nèi)容有形外顯。數(shù)學(xué)教學(xué)就要基于思想方法，促進(jìn)學(xué)生理解道理、掌握內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的起點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是整數(shù)乘法的意義，即求幾個(gè)幾是多少可以用乘法計(jì)算;一個(gè)是分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)及分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算。因此，教師把《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》置于“乘法”和“分?jǐn)?shù)”兩大知識(shí)框架中，找到新知與舊知之間的橋梁，利用有效的正遷移，來拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師還準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，從分?jǐn)?shù)的意義切入就是從數(shù)學(xué)的思想方法上思考，緊扣本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上整體把握教材。
• 整體架構(gòu)算理和算法，有效演繹推理。學(xué)生只要知道算法就能根據(jù)形式化的步驟進(jìn)行運(yùn)算，所以有的教師只關(guān)注計(jì)算結(jié)果，在計(jì)算教學(xué)中往往忽視算理，重視算法。學(xué)生只是機(jī)械地掌握了計(jì)算程序，知其然，卻不知其所以然。賁友林老師說過：算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性。算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算速度。因此，算法和算理是相輔相成，缺一不可的。而算理和算法靠思想方法來統(tǒng)領(lǐng)，本節(jié)課，教師在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生注重算理的探索、算法的歸納，讓學(xué)生經(jīng)歷探索分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理和概括等思維能力。

第三，重視數(shù)學(xué)直覺，實(shí)現(xiàn)直覺思維的高效滲透。本節(jié)課中，計(jì)算時(shí)，教師問學(xué)生應(yīng)該怎樣計(jì)算，有的學(xué)生聯(lián)想乘法的意義計(jì)算，而有的學(xué)生認(rèn)為，教師追問為什么，學(xué)生說不出原由。顯然第二種答案也是對(duì)的，但是學(xué)生從沒有學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則，這種想法是從何而來的？這就是數(shù)學(xué)直覺思維。布魯納認(rèn)為直覺就是一種直接的、非漸進(jìn)的、以視覺形象為思維媒介的、對(duì)問題的飛躍式的直接把握和解決。數(shù)學(xué)直覺思維具有非邏輯性，這和美國(guó)科學(xué)家羅杰斯證實(shí)的人腦的右半球具有產(chǎn)生靈感、頓悟、聯(lián)想等特點(diǎn)相吻合。學(xué)生利用直覺思維省略了對(duì)具體細(xì)節(jié)的抽絲剝繭，從宏觀上把握并作判斷。彭加勒曾說：邏輯用于證明，直覺可用于發(fā)明。教師應(yīng)該充分肯定學(xué)生利用直覺思維，鼓勵(lì)學(xué)生利用直覺思維猜想問題，使用邏輯思維驗(yàn)證猜想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)直覺思維的高效滲透。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]?[荷蘭]弗賴登塔爾著，陳昌平，唐瑞芬，等譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995.

[3][美]布魯納著，邵瑞珍、張渭城等譯.布魯納教育論著選[M].北京：人民教育出版社，1989.