具有平均跟蹤性質(zhì)的連續(xù)半流

王東明，牛應(yīng)軒

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

設(shè)X為緊致度量空間，f:X→X連續(xù)，稱(X,f)是一個離散動力系統(tǒng). Blank為了研究動力系統(tǒng)的混沌性質(zhì)，在文獻(xiàn)[1]中引入了平均跟蹤性質(zhì)的概念.文獻(xiàn)[2]的研究顯示平均跟蹤性質(zhì)是刻畫Anosov微分同胚的一個有用工具.許多研究者對具有平均跟蹤性質(zhì)的系統(tǒng)進(jìn)行了深刻討論，獲得了許多豐富成果. 文獻(xiàn)[3-5]研究具有平均跟蹤性質(zhì)與拓?fù)鋸?qiáng)遍歷性等動力學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系;文獻(xiàn)[6]討論具有平均跟蹤性質(zhì)的可擴(kuò)系統(tǒng)的性質(zhì);文獻(xiàn)[7-9]研究平均跟蹤性質(zhì)與其他跟蹤性質(zhì)的關(guān)聯(lián);文獻(xiàn)[10]首次對于連續(xù)半流引入平均跟蹤性質(zhì)的概念.一個自然的問題是：具有平均跟蹤性質(zhì)的連續(xù)半流具有怎樣的動力性質(zhì)或者與其他動力性質(zhì)有怎樣的聯(lián)系？ 作者對此做了更深入的討論:對于具有平均跟蹤性質(zhì)的連續(xù)半流φ，證明了如果φ具有稠密的正上半密度回復(fù)點，則φ是拓?fù)鋫鬟f的；進(jìn)一步得到，如果φ具有滿支撐，則φ×φ是拓?fù)浔闅v的.

1 預(yù)備知識

設(shè)(X,d)是具有度量d的緊致度量空間，+和分別表示全體非負(fù)實數(shù)構(gòu)成的集合和全體正整數(shù)構(gòu)成的集合.

φ:+×X→X稱為連續(xù)半流，是指φ是連續(xù)的且滿足：

(1) 對?x∈X，φ(0,x)=x；

(2) 對?x∈X，?s,t∈R+，φ(s,φ(t,x))=φ(s+t,x).

點x∈X，集合r(x,φ)={φ(t,x):t∈R+}稱為φ的經(jīng)過x的軌道. 如果對X的任意非空開集U,V∈X，都存在t∈R+，使得φ(t,U)∩V≠?，則稱φ是拓?fù)鋫鬟f的.

下面引入連續(xù)半流的平均跟蹤性質(zhì)的概念.

對于連續(xù)半流φ，如果對?ε>0，存在δ>0，使得φ的每個(δ,1)-平均偽軌都被φ的經(jīng)過某個點的軌道ε-平均跟蹤，則稱φ具有平均跟蹤性質(zhì).

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)(X,d)為具有度量d的緊致度量空間，φ:+×X→X是一個連續(xù)半流. 如果φ具有平均跟蹤性質(zhì)且φ的具有正上半密度的回復(fù)點集是稠密的，即則φ是拓?fù)鋫鬟f的.

(1)

(2)

(i) 2ni4；

定義X中的一個點序列{yj}+∞j=0為

即

y0=x,y1=φ(1,x),…,yn1-1=φ(n1-1,x),yn1=φ(n1,y),…,yn2-1=φ(n2-1,y)，

yn2=φ(n2,x),…,yn2i=φ(n2i,x),…,yn2i+1-1=φ(n2i+1-1,x),yn2i+1=φ(n2i+1,y),… .

(3)

如果L?R+，l(L)表示L的Lebesgue測度.

斷言1對每個i∈，有

這與(ii)矛盾，所以斷言1成立.

由(3)式可得，存在無限多個i∈，使得對每個這樣的i，有

(4)

對這樣的每個i，記

因而,有

這與(4)式矛盾，因而斷言2成立.

由斷言1與斷言2，可以得到：存在無限多個i∈，使得對每個這樣的i，?t∈[n2i,n2i+1]，使得且因此d(φ(t,z),x)<ε.

類似可以證明存在無限多個i∈，使得對每個這樣的i，存在t∈[n2i-1,n2i],滿足d(φ(t,z),y)<ε.

因此，可以取得t1,t2∈+且t2>t1,滿足d(φ(t1,z),x)<ε及d(φ(t2,z),y)<ε. 那么φ(t1,z)∈U，φ(t2,z)∈V，從而φ(t2-t1,U)∩V≠?，即存在t=t2-t1>0，滿足φ(t,U)∩V≠?， 所以φ是拓?fù)鋫鬟f的. 定理1證畢.

設(shè)(X,d)為具有度量d的緊致度量空間，積X×X上的度量ρ定義為：對任意(x,y),(x′,y′)∈X×X，ρ((x,y),(x′,y′))=max{d(x,x′),d(y,y′)}，對任意t∈+及(x,y)∈X×X，定義φ×φ(t,(x,y))=(φ(t,x),φ(t,y))，那么φ×φ:+×(X×X)→X×X為連續(xù)半流.

由定義，可以容易地證明下面的引理1.

引理1設(shè)(X,d)為緊致度量空間，φ:+×X→X為連續(xù)半流，則φ具有平均跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)φ×φ具有平均跟蹤性質(zhì).

引理2設(shè)X為緊致度量空間，φ:+×X→X為連續(xù)半流. 如果φ具有滿支撐，則存在μ∈M(φ,X)，使得supp(μ)=X

引理3設(shè)X為緊致度量空間，φ:+×X→X是一個連續(xù)半流. 如果φ具有滿支撐，則φ的正上半密度回復(fù)點稠密.

證明因為φ具有滿支撐，則由引理2知，存在μ∈M(φ,X),使得supp(μ)=X. 設(shè)U?X為X的非空開集，則μ(U)>0. 由遍歷分解定理[11]知，存在φ的遍歷測度m，使得m(U)>0.

事實上，對?ε>0，m(V(y,ε))>0. 取一個連續(xù)函數(shù)f:X→+，滿足：對?x∈X，0≤f(x)≤1，f(y)=1且當(dāng)x∈XV(y,ε)時，f(x)=0.則

所以y為φ的正上半密度回復(fù)點. 因為y∈U，且U為X的任一個非空開集，故φ有稠密的正上半密度回復(fù)點.

引理4[13]如果X為緊致度量空間，φ:+×X→X為拓?fù)鋫鬟f的連續(xù)半流，且存在μ∈M(φ,X)，使得supp(μ)=X，則φ是拓?fù)浔闅v的.

定理2設(shè)X為緊致度量空間，φ:+×X→X為連續(xù)半流. 如果φ具有平均跟蹤性質(zhì)且具有滿支撐，則φ×φ是拓?fù)浔闅v的.

證明因為φ具有滿支撐，由引理2知，存在μ∈M(φ,X)，使得supp(μ)=X. 顯然μ×μ∈M(φ×φ,X×X). 因為supp(μ×μ)?suppμ×suppμ=X×X. 所以supp(μ×μ)=X×X, 從而φ×φ具有滿支撐. 又由引理3得，φ×φ具有稠密的正上半密度回復(fù)點. 由引理1知φ×φ具有平均跟蹤性質(zhì)，所以根據(jù)定理1得φ×φ是拓?fù)鋫鬟f的. 又由引理2及引理4得到φ×φ是拓?fù)浔闅v的.