一類覆冰懸索退化系統(tǒng)的中心判定

陳 瑩，何 斌，李 靜

(1.黃淮學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 駐馬店 463000；2. 北京工業(yè)大學 應用數(shù)理學院，北京 100124)

懸索結(jié)構(gòu)是由柔性受拉索及其邊緣構(gòu)件所形成的承重結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)能夠充分利用高強材料的抗拉性能完成跨度大、自重小的工程，并且具有受力合理、節(jié)約材料、布置靈活、施工方便、外形優(yōu)美等特點，在土建、橋梁以及電力電訊等工程中應用廣泛.但是如果懸索跨度增大，懸索的振動會更加顯著，在一定氣象條件下，懸索可能覆冰，從而引起大幅低頻振動，造成不必要的損失，所以對覆冰懸索結(jié)構(gòu)的研究引起許多科研人員的關(guān)注.文獻[1]考慮了二自由度和三自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)的動力學方程，采用多尺度法對覆冰懸索結(jié)構(gòu)的無量綱方程進行攝動分析，得出3次平均方程，并運用Matlab軟件編寫程序，對平均方程進行了數(shù)值仿真，對覆冰懸索結(jié)構(gòu)的設計和控制提供重要的理論指導.文獻[2-4]也對覆冰懸索系統(tǒng)進行了相關(guān)研究，計算焦點量對研究微分方程的穩(wěn)定性有重要作用，Lyapunov量復算法是研究非線性動力系統(tǒng)中心及焦點的重要方法.文獻[5]得出計算平面多項式系統(tǒng)Lyapunov量的復算法和判斷平面多項式系統(tǒng)中心的方法，探討了Lyapunov量的若干性質(zhì)，且借助符號計算軟件分析了若干實例.在文獻[5]的基礎(chǔ)上，文獻[6]研究具有一對純虛特征根的兩類一般平面多項式系統(tǒng)，通過兩類平面多項式系統(tǒng)和標準形式的轉(zhuǎn)換，得到兩類系統(tǒng)對應Lyapunov量的復計算公式，給出了利用Maple數(shù)學軟件計算Lyapunov量的計算流程、計算一覽表及實例.Lyapunov量對平面多項式系統(tǒng)的極限環(huán)分岔研究也具有很重要的作用.近年來，文獻[7-10]對極限環(huán)做了深入研究.文獻[11-14]對具體的平面多項式系統(tǒng)的Lyapunov量和極限環(huán)進行一系列研究.論文主要利用Lyapunov量復算法討論文獻[1]中的二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型.二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型具有如下形式

(1)

(2)

論文對二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型的兩種退化系統(tǒng)進行討論.首先利用多尺度方法對其進行攝動分析，得出5次平均方程，然后按照Lyapunov量復算法得出原點為中心的結(jié)論.所得結(jié)果對利用Lyapunov量復算法解決其他問題提供了有意義的參考，也豐富了覆冰懸索結(jié)構(gòu)的非線性研究.

1 兩類二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

1.1 第一類覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

在(1)式中，令v3=0，得出退化系統(tǒng)如下

(3)

利用多尺度方法分析式(3)的平均方程.設其一致漸進解為

v2(t,ε)=x20(T0,T1,T2,…)+εx21(T0,T1,T2,…)+ε2x22(T0,T1,T2,…)+…，

(4)

其中：Ti=εit，i=0，1,2，….

微分算子為

(5)

(6)

把方程(4)～(6)代入(3)式，比較ε同次冪系數(shù)，得到以下微分方程：

ε0階為

(7)

ε1階為

(8)

ε2階為

(9)

方程(7)的解用復數(shù)形式表示為

(10)

將(10)式代入(8)式，得

(11)

其中：cc表示對應的復共軛項.

令方程(11)的一階長期項為零，得到

(12)

將(12)式取復共軛，得

(13)

將(12)式兩邊微分，得

(14)

得到方程(11)的特解為

(15)

將(15)式代入(9)式，得

(16)

其中：Q表示非長期項.

令(16)式的長期項為零，得

(17)

將函數(shù)A2(T1,T2)視為時間t的函數(shù)A2(εt,ε2t)，有

D0A2=εD1A2+ε2D2A2.

(18)

令

(19)

將 (12)，(17)，(19)式代入 (18) 式，并化簡得

(20)

為了得到(3)式的平均方程，令

(21)

將(21)式代入(20)式，并分離實部與虛部，得到直角坐標系下系統(tǒng)(3)的平均方程為

(22a)

(22b)

(23a)

(23b)

根據(jù)文獻[11，13]介紹的一般形式到基本形式的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，可得(22)式等價復形式為

(24)

其中：a1=0，有

采用Lyapunov量復算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，從而判定出原點為中心.

1.2 第二類覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

在(2)式中令v2=0，可得出退化系統(tǒng)如下

(25)

與1.1中計算方法一樣，在α1=0的條件下，得出(25)式的5次平均方程為

(26a)

(26b)

(27a)

(27b)

根據(jù)文獻[11，13]介紹的一般形式到基本形式的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，可得(22)式等價復形式為

(28)

其中

采用Lyapunov量復算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，從而判定出原點為中心.

2 結(jié)束語

論文具體分析了一類覆冰懸索結(jié)構(gòu)的兩種退化模型的中心判定問題，利用多尺度方法得到退化模型的5次平均方程，在此基礎(chǔ)上，采用Lyapunov量復算法借助程序得到原點為系統(tǒng)中心的結(jié)論.所得結(jié)論豐富了覆冰懸索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性問題的研究.