“數(shù)字圖像處理”課程中頻譜概念的建立及其教學(xué)方法探討

趙 潔，張 艷，張眾維，楊富圣，武 斌

（天津城建大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津300384）

“數(shù)字圖像處理”是電子信息類專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，同時(shí)也是計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別、視頻處理與分析等學(xué)科方向重要的基礎(chǔ)課程之一.本課程是借助計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行去噪、增強(qiáng)、復(fù)原、分割、特征提取等處理的方法和技術(shù)，是一門多學(xué)科交叉的理論性、實(shí)踐性和工程性都很強(qiáng)的綜合性課程.先修課程包括“信號(hào)與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號(hào)處理”、“通信原理”等專業(yè)基礎(chǔ)課.信號(hào)的頻譜分析作為這些先修課程中的核心內(nèi)容，是分析處理數(shù)字信號(hào)的基本手段，在信息與通信工程學(xué)科中占有舉足輕重的地位[1].

作為頻域?yàn)V波中最重要的概念，頻譜是信號(hào)與系統(tǒng)課程中逐步建立起來的概念，但在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)于頻譜的理解比較膚淺，導(dǎo)致在數(shù)字圖像處理課程的學(xué)習(xí)中遇到諸多困難[2].頻譜的概念之所以難以講授和理解，是因?yàn)橐环矫孢@個(gè)概念相對(duì)比較抽象，計(jì)算公式比較復(fù)雜；更重要的是因?yàn)槿藗冮L(zhǎng)期以來已經(jīng)習(xí)慣以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的時(shí)域分析方法，對(duì)于將信號(hào)描述為隨時(shí)間變化的函數(shù)容易接受，而不能深刻理解信號(hào)的本質(zhì)屬性也可以用頻譜來描述[3-4].

基于上述原因，在“數(shù)字圖像處理”的教學(xué)中應(yīng)該注重頻域變換與分析的講解，在復(fù)習(xí)先修課程相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)講授二維頻譜與圖像內(nèi)容的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生能夠盡快建立起二維圖像信號(hào)的頻譜概念，同時(shí)達(dá)到深化一維信號(hào)頻譜理解的目的.通過多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)于圖像頻譜概念及頻域分析的相關(guān)內(nèi)容本文提出一套行之有效的教學(xué)方法，主要從以下4 個(gè)步驟開展教學(xué).

1 從一維傅里葉變換引出二維傅里葉變換

離散傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)頻域分析的基礎(chǔ).類似于透明光學(xué)棱鏡，傅里葉變換可以看作是“數(shù)學(xué)的棱鏡”，將一個(gè)函數(shù)分解成不同的頻率成分.通過傅里葉變換將信號(hào)從時(shí)域、空域轉(zhuǎn)換到頻域.頻譜是信號(hào)在頻域中的表示，包括不同頻率成分對(duì)應(yīng)的振幅和相位.教學(xué)中首先要幫助學(xué)生回憶信號(hào)與系統(tǒng)中一維信號(hào)的頻譜概念，然后從二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換的定義出發(fā)，以分析具有純頻率的正弦函數(shù)f（x，y）=sin[2π（u0x+v0y）]為例，通過信號(hào)可視化的方式對(duì)空間頻率進(jìn)行直觀解釋，向?qū)W生講清楚圖像空域中x 和y方向分別對(duì)應(yīng)在頻域中用頻率u 和v 表示，且該正弦函數(shù)的頻率只在（u0，v0）和對(duì)稱位置（-u0，-v0）存在非零值[5].同時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：①頻域中頻域系數(shù)實(shí)際上反映的是空域圖像與不同頻率的正弦分量ej2π(ux+vy)的相關(guān)性，由頻率系數(shù)的模值可以看出圖像中相應(yīng)頻率分量的能量.②頻率系數(shù)的模值越大，表明圖像中相應(yīng)頻率分量的灰度變化越多.③頻率系數(shù)的相位反映不同頻率正弦分量的相移.

通過上述實(shí)例的講解，學(xué)生對(duì)于二維信號(hào)頻域中由兩個(gè)正交頻率軸u 和v 構(gòu)成的頻域平面有了初步的認(rèn)識(shí).由于數(shù)字圖像是離散的二維矩陣，因此接下來重點(diǎn)回憶一維離散函數(shù)傅里葉變換的特點(diǎn)進(jìn)而引出二維離散傅里葉變換.教學(xué)中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：①一維離散函數(shù)的傅里葉變換是周期為1 的復(fù)值、連續(xù)函數(shù)，u 為連續(xù)頻率變量，頻率范圍只在頻率區(qū)間[-1/2，1/2）或等價(jià)的[0，1）上.②由于離散函數(shù)的傅里葉變換具有連續(xù)譜，因此需要對(duì)其采樣而獲得離散譜，進(jìn)而引出離散傅里葉變換.

2 以二維信號(hào)頻譜的特點(diǎn)為教學(xué)重點(diǎn)

為了讓學(xué)生更好地理解二維信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，教學(xué)中首先回憶一維矩形窗函數(shù)的頻譜特點(diǎn)，進(jìn)而引入二維矩形函數(shù)的傅里葉變換.然后，以二維矩形圖像的傅里葉變換為實(shí)例，如圖1 所示[5]，重點(diǎn)分析灰度級(jí)剖面分別對(duì)應(yīng)窄脈沖和寬脈沖時(shí)，傅里葉譜中零點(diǎn)間隔距離的變化規(guī)律，使學(xué)生深刻理解空域脈沖與頻域頻率之間的關(guān)系.

圖1 二維矩形圖像的傅里葉變換

二維信號(hào)頻譜的特點(diǎn)是教學(xué)的重點(diǎn).頻譜的低頻成分取決于圖像中灰度的總體分布，而高頻成分取決于圖像中的邊緣和細(xì)節(jié).同時(shí)，圖像具有很強(qiáng)的空域相關(guān)性，即相鄰像素一般具有相同或相近的灰度值，反映在頻域中就是圖像的能量主要集中在低頻成分.教學(xué)實(shí)踐中以二維離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性和周期性為重點(diǎn)，深入剖析二維信號(hào)的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性，如圖2 所示.

圖2 二維離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性和周期性

由于一幅數(shù)字圖像必然是實(shí)函數(shù)，因此它的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性，可表示為：F（u，v）=F*（-u，-v），并且可以得到它的傅里葉譜是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，可表示為：|F（u，v）|=|F*（-u，-v）|=|F（-u，-v）|.圖2 代表了二維離散傅里葉變換后由正交頻率分量u 和v 組成的頻率平面，由共軛對(duì)稱性可知，雙箭頭指向的區(qū)域是共軛對(duì)稱的.由周期性可知，S1和S1′、S2和S2′、S3和S3′區(qū)域的傅里葉系數(shù)相等.陰影區(qū)域中的4 個(gè)小正方形區(qū)域表示所在位置的傅里葉系數(shù)為實(shí)數(shù)，其中（0，0）位置表示直流成分，即圖像中的像素灰度值之和.

一幅圖像頻譜中的低頻成分反映在傅里葉譜的4個(gè)角部分，并且由于圖像的能量主要集中在低頻成分，因此4 個(gè)角部分的幅度較大.在教學(xué)中，不僅要針對(duì)圖2 進(jìn)行深入講解，同時(shí)要讓學(xué)生深刻理解為什么要進(jìn)行頻譜中心化.頻譜中心化是將頻譜的中心從原點(diǎn)移動(dòng)到二維離散傅里葉變換的頻率矩形M×N 的中心（M/2，N/2）.這樣做的目的是便于觀察頻譜分布，同時(shí)便于進(jìn)行頻域?yàn)V波等頻域處理與分析.圖3 給出了二維離散傅里葉譜的頻率成分分布情況.頻譜中心化后，頻譜圖的中央部分是低頻成分，而向外是高頻成分，即中央部分的幅度大，而向4 個(gè)角方向幅度衰減.

圖3 二維離散傅里葉譜的頻率成分分布

3 以頻譜與圖像內(nèi)容的對(duì)應(yīng)關(guān)系為教學(xué)難點(diǎn)

講授二維信號(hào)的頻域變換不僅是后續(xù)章節(jié)進(jìn)行圖像頻域增強(qiáng)的需要，更重要的是使學(xué)生深刻理解二維信號(hào)頻譜與圖像內(nèi)容的對(duì)應(yīng)關(guān)系.總的來說，頻譜中的低頻成分對(duì)應(yīng)圖像中灰度平坦或灰度變化緩慢的區(qū)域；而高頻成分對(duì)應(yīng)圖像中灰度突變或灰度變化劇烈的區(qū)域，主要表現(xiàn)為圖像中的邊緣、紋理、細(xì)節(jié)、噪聲.

由于這部分內(nèi)容不太容易理解，教學(xué)實(shí)踐中采用多個(gè)代表性實(shí)例重點(diǎn)剖析.

圖4 給出了一個(gè)圖像傅里葉譜的實(shí)例[6].教學(xué)中重點(diǎn)講解傅里葉譜中沿著約45°和130°的兩條亮紋是由于原圖中沿著這兩個(gè)方向存在灰度值躍變而引起的高頻成分.通過多個(gè)傅里葉譜典型實(shí)例的講解，使學(xué)生能從傅里葉譜中讀出對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)容的特點(diǎn)，比如灰度較平坦圖像的能量主要集中在低頻成分，而細(xì)節(jié)比較豐富圖像的能量分布范圍較大，表現(xiàn)為傅里葉譜圖像從中央部分向外遍及到高頻成分.

圖4 圖像的傅里葉譜實(shí)例

4 以頻域圖像增強(qiáng)為應(yīng)用背景

離散傅里葉變換是頻域?yàn)V波的基礎(chǔ)，最直接的應(yīng)用就是頻域的圖像增強(qiáng).通過頻譜中心化操作后，頻譜圖的中央部分是低頻成分，外面是高頻成分，這就為在頻域設(shè)計(jì)濾波器帶來了極大的便利[7].教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)這部分內(nèi)容重點(diǎn)講解頻域?yàn)V波的流程，包括圖像的離散傅里葉變換、頻域?yàn)V波以及離散傅里葉反變換3 個(gè)基本步驟.這里要強(qiáng)調(diào)在第1 步前要將輸入圖像f（x，y）乘以（-1）x+y完成頻譜中心化操作，并且在第3 步將計(jì)算得到的二維離散傅里葉反變換g（x，y）截取實(shí)部，并乘以（-1）x+y以抵消第1 步的移位.

頻域?yàn)V波器設(shè)計(jì)部分的教學(xué)以振鈴效應(yīng)為主線.首先，解釋什么是振鈴效應(yīng)以及如何會(huì)產(chǎn)生振鈴效應(yīng).需要強(qiáng)調(diào)的是，濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)的主瓣決定了模糊程度，旁瓣決定了振鈴效應(yīng)的特性[8].然后，圍繞著如何有效降低振鈴效應(yīng)的影響引出巴特沃斯低通濾波器和指數(shù)低通濾波器.這部分要向?qū)W生說明，在實(shí)際使用中，需要折中考慮平滑效果和振鈴效應(yīng)來確定巴特沃斯低通濾波器的階數(shù)，而二階巴特沃斯低通濾波器在圖像平滑與可接受的振鈴效應(yīng)之間做出了較好的折中.最后，需要向?qū)W生講清楚指數(shù)低通濾波器與巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)的區(qū)別.

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)“數(shù)字圖像處理”課程中講授頻域變換及頻域圖像增強(qiáng)部分遇到的問題，圍繞如何讓學(xué)生快速建立起二維圖像信號(hào)的頻譜概念這個(gè)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提出了一套比較系統(tǒng)的教學(xué)方法.本方法突出了承上啟下、循序漸進(jìn)、案例剖析、重視應(yīng)用的教學(xué)理念，在實(shí)踐中取得了較好的教學(xué)效果.