一類立體幾何試題的模式化解法分析
——以2019年全國卷Ⅰ試題為例

云南

在歷年高考數(shù)學(xué)選擇題與填空題中總會設(shè)置一道以立體幾何知識為背景的壓軸題，球的切接問題、點(diǎn)到平面的距離和線面角等知識是考查的熱點(diǎn).垂直關(guān)系是命制這一類立體幾何試題的核心要素，同時(shí)也是解答該類問題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口.如何抓住垂直關(guān)系合理構(gòu)建模型是正確解答的前提，文章以2019年全國卷Ⅰ試題為例談如何用特殊值(位置)法、分析法和補(bǔ)體法等模式化方法解答該類問題.

例1.(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

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試題分析：從知識的角度看，本題考查多面體外接球體積的求法，首先要根據(jù)已知條件構(gòu)建幾何模型，弄清楚多面體的邊角關(guān)系，其次找到球心并求出半徑，最后利用球的體積公式進(jìn)行計(jì)算；從思想方法的角度分析，本題重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，如何將已知多面體的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為與球的半徑有關(guān)的幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵；從考查素養(yǎng)的角度分析，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，以考查空間想象能力為切入點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

方法一、特殊值(位置)法

鑒于該類問題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，可以在符合題目要求的前提下，將幾何關(guān)系進(jìn)行合理的特殊化，以簡化計(jì)算過程并快速得出答案.

解法評析：采用特殊位置或者特殊值法具有操作簡單而且有利于簡化推理與計(jì)算過程的作用，從而快速得出答案，是高效解答選擇題和填空題的有力武器之一，但不是所有的題目都能特殊化，要具體問題具體分析，比如例1假設(shè)了特殊位置后，要有意識地檢驗(yàn)一下是否符合題設(shè)條件∠CEF=90°.

方法二、分析法

分析法指的是用常規(guī)方法解題，即立足于已知條件，著眼于解題目標(biāo)，從目標(biāo)倒推問題的解決過程.如例1要計(jì)算外接球的體積，只需要確定外接球的半徑，而要求出外接球的半徑，首先必須確定球心位置，而確定球心位置必須先弄清楚三棱錐的邊角關(guān)系，經(jīng)歷以上的分析轉(zhuǎn)化過程可知問題的關(guān)鍵在于探究三棱錐的邊角關(guān)系和幾何特征，按照這個(gè)解題思路問題可迎刃而解.

解法評析：思路2與思路1的出發(fā)點(diǎn)不同，思路2先探究PA，PB，PC之間的幾何關(guān)系(定性)，即先證明PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，再由∠CEF=90°得出三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直；思路1則是先從邊的長度(定量)的角度出發(fā)，但是殊途同歸，效果一樣.

解法評析：思路3沒有直接構(gòu)造出多面體與外接球的幾何模型，而是先著眼于探究三棱錐的幾何特征，處理方法和思路1相似，根據(jù)定量計(jì)算得出三條棱兩兩互相垂直的定性關(guān)系，借助正方體模型順利解題.

解法評析：思路4與思路3處理方法一樣，只是著眼點(diǎn)不一樣，都是將空間幾何問題合理轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而利用余弦定理得出結(jié)論.

解法評析：思路5從三棱錐的定量計(jì)算出發(fā)，利用平行四邊形“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這一重要性質(zhì)得出4CE2=8+PC2，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的實(shí)用性，也說明將立體幾何平面化是處理多面體邊角關(guān)系的有效途徑.

方法三、補(bǔ)體法

補(bǔ)體法是解決該類問題的高效方法，根據(jù)柱體進(jìn)行適當(dāng)切割可得錐體這一幾何特征，往往可以給錐體找一個(gè)合適的載體即柱體，將棱錐放置于特殊的棱柱中，若錐體的頂點(diǎn)與柱體的頂點(diǎn)重合，那么錐體的外接球即為柱體的外接球，由于直四棱柱外接球的直徑即為體對角線，所以經(jīng)過以上的轉(zhuǎn)化過程即可將復(fù)雜問題簡單化.

思路1.如下圖所示，可將該正三棱錐放置于底面是菱形且∠CAB=60°的直四棱柱中，當(dāng)然也可以是底面為正三角形的直三棱柱中，處理思路可參照方法二中的思路1與思路2.

思路2.如下圖所示，可將該正三棱錐放置于正方體中，當(dāng)然也可以是底面為等腰直角三角形的直三棱柱中，處理思路與方法一的特殊位置法一致.

方法四、向量法

向量是解決立體幾何問題的有力工具，抓住垂直這一關(guān)鍵幾何特征并能建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用好向量坐標(biāo)運(yùn)算能夠有效降低題目的抽象性，從定量計(jì)算結(jié)果論證空間點(diǎn)線面的幾何關(guān)系.

思路2.如下圖，同一個(gè)幾何體模型中，選擇不同角度的垂直關(guān)系可以建立不同的空間直角坐標(biāo)系，但是運(yùn)算的方法和過程基本一樣.

1.特殊值(位置)法

2.分析法

3.補(bǔ)體法

例2仍然可以用補(bǔ)體的思想來解答，既可以將其補(bǔ)體為解法1思路1中所示的長方體，也可以將其補(bǔ)為解法1思路2和思路3所示的直棱柱，解法同上.

4.向量法

例2中存在垂直這一特殊的幾何關(guān)系，所以還可以通過建立空間直角坐標(biāo)系求解，但是由于題目本身難度不大，選用向量法會顯得有些小題大做，但是如果單從解題方法的角度來看，向量法也不失為一種好方法，所建的空間直角坐標(biāo)系可參考下面兩個(gè)圖，具體解答過程略.

通過對以上兩個(gè)典型試題從特殊值(位置)法、分析法、補(bǔ)體法與向量法等四個(gè)常用方法進(jìn)行分析可以看出，解決該類以垂直關(guān)系為關(guān)鍵元素所命制的立體幾何壓軸題具有相對穩(wěn)定的解題模式，而且方法各有所長，需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)，積極探索，以期能在解決實(shí)際問題的過程中以最短時(shí)間選擇最優(yōu)的解題方法實(shí)現(xiàn)正確解答.