核心素養(yǎng)導向下高考一輪復習策略探究
——以圓錐曲線與方程章節(jié)為例

廣東

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，學生學科基本素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越為人們所關注，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學高考一輪復習是數(shù)學高考復習中最重要的環(huán)節(jié)，如何將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和一輪復習有效結合，讓一輪復習高效運行，是數(shù)學老師必須思考的問題.本文基于核心素養(yǎng)的導向，結合圓錐曲線章節(jié)探究數(shù)學高考一輪復習策略，以期提高復習教學效率.

很多數(shù)學老師認為核心素養(yǎng)是在高一高二的課堂中落地生根的，高三的一輪復習教會學生做題就可以了.因此造成了題海戰(zhàn)術，學生一輪復習下來效果并不好.究其原因，這樣的復習策略導致復習失去了數(shù)學培養(yǎng)的方向和目標，學生沒能掌握數(shù)學學習與高考考查的本質.筆者基于核心素養(yǎng)的導向，結合圓錐曲線章節(jié)，探究數(shù)學高考一輪復習策略.

1 基于數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，強化概念，整體把握

筆者認為圓錐曲線考查的最終落腳點是概念與計算.很多學生在做圓錐曲線的題目時，都卡在了概念的運用上.學生對概念不熟練，導致很多不難的題目變成了難題.

圓錐曲線在高考中會有一個12分的解答題，一般情況下這個題的第一問是圍繞概念求圓錐曲線的標準方程.如果第一問做錯，那么這個題基本上就得不到什么分.

【例2】已知圓A：x2+y2+2x-15=0，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

(1)求點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

第一問是本題的關鍵，其本質就是對橢圓概念的考查.如果學生在復習過程中深度地把握了橢圓的概念，理解了橢圓的定義中有兩個定點，然后橢圓上的點到兩個定點之和是常數(shù)，那么學生就容易找到出發(fā)點解答，過程如下.

解析：(1)因為|AD|=|AC|，EB∥AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC.

復習策略：數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).在數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)導向下，高三的學生在一輪復習中，對基本概念的復習不能像新課教學那樣孤立復習，而是要整體把握，要從數(shù)量與數(shù)量的關系，圖形與圖形的關系中抽象出數(shù)學概念與概念之間的關系.如到兩個定點距離之和為常數(shù)(大于兩個定點之間的距離)能抽象出橢圓，定點為焦點，常數(shù)為2a；到兩個定點距離之差的絕對值為常數(shù)(小于兩個定點之間的距離)能抽象出雙曲線，定點為焦點，常數(shù)為2a，等等.概念整體的把握可以使學生掌握概念的本質，清晰概念的內涵與外延.要多回歸課本經(jīng)典例題和習題，抽象出經(jīng)典的圓錐曲線模型，如我們課本后面的習題就有兩個通過中垂線轉化線段長度的橢圓與雙曲線的模型.另外還要加強轉化思想，靈活使用定義，在橢圓與雙曲線中到一個焦點的距離靈活轉化為到另外一個焦點的距離；在拋物線中，到焦點與到準線距離的相互轉化應用.

2 基于直觀想象核心素養(yǎng)，貫穿數(shù)形結合數(shù)學思想

圓錐曲線是解析幾何內容，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支.具有幾何圖形的直觀性質，也具有代數(shù)的運算性質.因此在圓錐曲線的解答過程中，要充分利用圖形的直觀性.比如下面的這個例題，學生不但不會做，而且看答案都看不明白，因為當時答案中沒有圖象只有解答過程.

此題在解答的過程中，學生總覺得沒有可能是兩條的情況.解答時筆者給學生畫了下面的兩幅圖，讓學生從圖形直觀去分析.

在圖1中，若|AB|=4b，根據(jù)雙曲線的對稱性，下方也可以畫出一條直線l滿足|AB|=4b；此時左支上則不存在滿足條件的直線，得到：

圖1

在圖2中，若|AB|=4b，根據(jù)雙曲線的對稱性，仍可以畫出一條直線l滿足|AB|=4b；此時左、右支上不存在滿足條件的直線，得到：

圖2

這個題的解答如果沒有圖象，學生很難看明白為什么要分類，分類后又怎么去找關系列不等式.有了圖象以后，就能通過有且僅有兩條直線這個條件找到a，b，c之間的不等關系，求出離心率的范圍.有圖象后這樣的直線有三條，四條一樣也可以求出離心率的范圍.

復習策略：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象能力感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).在直觀想象素養(yǎng)的導向下，老師在高考一輪復習過程中，要突出圓錐曲線章節(jié)圖形的重要性，讓學生在做題的過程中養(yǎng)成先作圖的習慣，然后再把題目的條件盡量放到圖形中去，利用圓錐曲線圖形描述和分析求解數(shù)學問題，進而建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路.當然，準確作圖的前提是要對圓錐曲線的知識有深度的了解，比如說圓錐曲線的對稱性、雙曲線的漸近線、拋物線的開口和準線等.

3 基于數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算核心素養(yǎng)，強化計算能力

前面提到解析幾何具有代數(shù)的運算性質，因此在圓錐曲線題的解答過程中運算是必不可少的，而且有時候運算量很大.學生在做圓錐曲線解答題時，很多時候是有思路但輸在了計算.

(1)求橢圓C1的方程；

Δ=16k2m2-(8m2-32)(2k2+1)>0，得m2<8k2+4，

所以m=0，直線l的方程為y=kx，

因為|AN|=|BN|，所以ON垂直平分線段AB，

當k=0時，△ABN的面積也符合上式，

4 基于邏輯推理核心素養(yǎng)，強化結論的變式推廣

由于橢圓、雙曲線、拋物線具有很好的對稱性，因此它們的很多結論都可以變式推廣，很多結論也可以相互之間類比和拓展，通過變式推廣和類比推理加強圓錐曲線知識的聯(lián)系、開拓解題思路和培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

(Ⅱ)證明略.

在證明完l過定點(2，-1)后，考慮到2和-1與長半軸短半軸吻合的特殊性，可以對結論做出如下的變式推廣：

通過兩個變式推廣及其論證，加深了學生對圓錐曲線定點問題的論證思路.

復習策略：邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理素養(yǎng)導向下，高考一輪復習過程中，首先要加強培養(yǎng)學生邏輯推理的意識，主要有歸納、類比和演繹.然后再通過具體的知識內部以及知識與知識之間的關聯(lián)，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.在復習圓錐曲線時，可以將特殊的結論一般化，主要是把條件的特殊性推廣為一般性，探索結論是否仍然成立.由于橢圓、雙曲線和拋物線都是平面截圓錐產(chǎn)生的曲線，其中一種曲線所具備的性質在另外的曲線中?？梢酝茖С鲱愃频慕Y論，因此也可以將橢圓、雙曲線和拋物線之間的結論通過適當改變條件，探索彼此之間結論的互通性，發(fā)現(xiàn)我們未知的圓錐曲線的性質.

以上基于數(shù)學核心素養(yǎng)導向，結合圓錐曲線章節(jié)的內容，從四個層面探究高考一輪復習的策略.這些策略同樣也適用于其他的知識章節(jié)，如數(shù)列章節(jié)的復習，我們要加強等差等比之間的變式推廣等.在函數(shù)章節(jié)復習中，加強數(shù)學抽象及數(shù)形結合思想方法.在概率統(tǒng)計章節(jié)中要加強數(shù)據(jù)獲取及其數(shù)學運算能力，等等.總之，在整個數(shù)學一輪復習中，雖然是對高一高二學過的所有數(shù)學知識點進行全面的復習，但不能是簡單的重復羅列，老師在一輪復習過程中要基于對章節(jié)知識整體把握的基礎上，以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，通過一輪復習，深化學生對基礎知識的理解，完善學生的知識結構，培養(yǎng)學生思維的廣闊性，最終提升學生的成績.