高考遞推數(shù)列的九種高效思維模型

四川省巴中中學(xué) 肖 斌(特級(jí)教師)

遞推數(shù)列蘊(yùn)含著極為豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及思想方法，它是考查轉(zhuǎn)化化歸思想與邏輯推理能力的好素材，因此成為歷年來(lái)高考高頻考點(diǎn)之一。其破解的基本策略是：根據(jù)遞推式的不同特征，利用輔助手段進(jìn)行合理變形，將陌生的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為較為熟悉的等差(或等比)數(shù)列去處理。本文在研究了大量的高考真題和優(yōu)秀的模擬試題的基礎(chǔ)上，總結(jié)提煉出由數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)的九種高效“思維模型”，旨在幫助同學(xué)們建立起良好的思維習(xí)慣，以便在實(shí)戰(zhàn)中“快速識(shí)別模型、精準(zhǔn)以型定法、靈活循法突破”，即引導(dǎo)同學(xué)們學(xué)會(huì)用最基本的“思維模型”所揭示的“兵法謀略”，強(qiáng)勢(shì)應(yīng)對(duì)精彩紛呈的遞推數(shù)列新題、難題。

一、Sn=f(n)型及Sn=f(an)型遞推數(shù)列——“借雞揀蛋”法

(1)Sn=f(n)型遞推數(shù)列，一般利用an處理，這是任何數(shù)列都具有的共性。先消去an，還是先消去Sn，需由題目具體特征而定。

(2)Sn=f(n)型及Sn=f(an)型遞推數(shù)列，有時(shí)候干脆直接將原遞推等式中的n用n-1(或n+1)代換，得到一個(gè)新的遞推等式，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)新舊遞推等式整體相減(或相除)，轉(zhuǎn)化成新的等差(或等比)數(shù)列，促成問(wèn)題的迅速轉(zhuǎn)化與解決。此時(shí)需特別注意新遞推等式中n的限制條件的改變，務(wù)必及時(shí)準(zhǔn)確標(biāo)注于后。這種處理策略，俗稱“借雞揀蛋”法。

例1(2018年安徽合肥市一模理數(shù)第8題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3Sn=2an-3n，則a2018=( )。

解析：當(dāng)n=1時(shí)，3S1=3a1=2a1-3，解得a1=-3。

因?yàn)?Sn=2an-3n，①所以當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=2an-1-3(n-1)。②

①-②得3an=2an-2an-1-3，即an=-2an-1-3，也即an+1=-2(an-1+1)(n≥2)。

因?yàn)閍1+1=-2≠0，所以{an+1}是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列。

因此，an+1=(-2)n，an=(-2)n-1，a2018=(-2)2018-1=22018-1，選A。

評(píng)注：Sn=f(n)及Sn=f(an)型遞推數(shù)列，通過(guò)下標(biāo)升降、“借雞揀蛋”實(shí)現(xiàn)Sn向an的轉(zhuǎn)化。

二、連續(xù)多項(xiàng)的和、積型遞推數(shù)列——“借雞揀蛋”法

例2(2019年廣東省六校高三第一次聯(lián)考理數(shù)第12 題)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+(n-1)an+nan=(2n-1)·3n，設(shè)為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Sn＜λ(λ為常數(shù)，n∈N*)，則λ的最小值是( )。

解析：(解法一，“借雞揀蛋”法)因?yàn)閍1+2a2+…+(n-1)an+nan=(2n-1)·3n。①

所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2a2+…+(n-2)·an-2+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1。②

①-②得nan=4n·3n-1。

解得an=4·3n-1(n≥2)。

由于a1=3 不適合上式，所以an=

(解法二，換元引入新通項(xiàng)法)令cn=nan，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，則有Tn=c1+c2+…+cn=(2n-1)·3n。

當(dāng)n=1時(shí)，c1=a1=3。

當(dāng)n≥2時(shí)，cn=Tn-Tn-1=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1。

解得cn=4n·3n-1(n≥2)。

又c1=3 不適合上式，所以cn=因?yàn)?，所?/p>

以下過(guò)程略。

三、an+1=an+f(n)型遞推數(shù)列（f(n)不是常值函數(shù))——逐差疊加法（累加法）

(1)先將遞推式變形為an+1-an=f(n)，用1，2，3，…，(n-1)替換n，有a2-a1=f(1)，a3-a2=f(2)，…，an-an-1=f(n-1)(n≥2)。

將上述n-1 個(gè)式子累加，變成an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2)，進(jìn)而獲解。

(2)過(guò)程簡(jiǎn)化為恒等式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2)，類似還有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2(n≥3)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a4-a3)+a3(n≥4)等等。

例3(2019 年四川巴中市高考模擬題)2000 多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類。如圖1中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a1=1，第2個(gè)五角形數(shù)記作a2=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a3=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a4=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則a5=_____，若an=145，則n=_____。

圖1

解析：a2-a1=4，a3-a2=7，a4-a3=10，觀察圖形可得，數(shù)列{an-an-1}(n≥2，n∈N*)構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為3 的等差數(shù)列，所以a5-a4=13，a5=35，an-an-1=3n-2(n≥2，n∈N*)。應(yīng)用累加法得an-a1=4+2，n∈N*)，所以≥2，n∈N*)。當(dāng)an=145 時(shí)，，解得n=10。

四、an+1=an·f(n)型遞推數(shù)列（f(n)不是常值函數(shù))——逐商疊乘法（累乘法）

例4(2019年江西省五校協(xié)作體高三聯(lián)考卷理數(shù)第16 題)在數(shù)列{an}中，a1=1，，記Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則n=____。

解析：(解法一，逐商疊乘法)由已知得則an

又a1=1也適合上式，故

五、an+1=pan+q(p≠0、1，q≠0)型，即一階線性遞推數(shù)列——待定系數(shù)構(gòu)造法、“借雞揀蛋”法

(1)待定系數(shù)構(gòu)造法——配常數(shù)：設(shè)an+1+λ=p(an+λ)，整理得an+1=pan+λ(p-1)，比較系數(shù)有λ(p-1)=q，得，所以是公比為p，首項(xiàng)為的等比數(shù)列。

(2)用“借雞揀蛋”法——消常數(shù)：由an+1=pan+q，得an=pan-1+q(n≥2)，兩式相減有an+1-an=p(an-an-1)(n≥2)，所以當(dāng)a2-a1≠0 時(shí)，an+1-an}是公比為p的等比數(shù)列。轉(zhuǎn)化成an+1-an=f(n)型后，可用逐差疊加法或方程組法獲解。

例5(2016 年高考浙江卷理數(shù)第13題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=_____，S5=____。

解析：(解法一，待定系數(shù)構(gòu)造法——配常數(shù))因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1。S2=3S1+1=4，得a1=S1=1。

令Sn+1+λ=3(Sn+λ)，有Sn+1=3Sn+2λ，所以2λ=1，解得

(解法二，用“借雞揀蛋”法——消常數(shù))因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1，進(jìn)而Sn=3Sn-1+1(n≥2)，兩式相減得Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1)(n≥2)。

又S2-S1=(3S1+1)-S1=2S1+1=3≠0，所以{Sn+1-Sn}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，Sn+1-Sn=3n。又Sn+1=3Sn+1，故

(解法三，用“借雞揀蛋”法——消常數(shù))因?yàn)閍n+1=2Sn+1，所以an=2Sn-1+1(n≥2)，兩式相減得an+1-an=2an(n≥2)，即an+1=3an(n≥2)。由S2=a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，得a1=1，a2=3，則a2=3a1。因此，an+1=3an(n∈N*)。

因此，{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故

例6(2019年?yáng)|北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬文數(shù)第16題改編)已知數(shù)列{an}中，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=____。

解析：由已知得兩邊取倒數(shù)得

七、an+1=＞0，an＞0)型遞推數(shù)列——對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化法

(1)當(dāng)c=1時(shí)，則兩邊取常用對(duì)數(shù)(或自然對(duì)數(shù))，易見(jiàn){lgan}(或{lnan})是等比數(shù)列。

(2)當(dāng)c≠1 時(shí)，則兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)(或取以c為底的對(duì)數(shù))轉(zhuǎn)化為lgan+1=plgan+lgc(或logcan+1=plogcan+1)，即轉(zhuǎn)化為an+1=pan+q(p≠0、1，q≠0)型一階線性遞推數(shù)列。

例7(2017 年河北衡水中學(xué)模擬試題)數(shù)列{an}滿足a1=2，且(n為正整數(shù))，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_____。

解析：由題設(shè)知an≥2。對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lgan+1=2lgan。又lga1=lg2≠0，所以{lgan}是以lga1=lg2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，lgan=2n-1·lg2=

八、an+1=pan+rqn(p≠0、1，q≠0，r≠0)型遞推數(shù)列——待定系數(shù)構(gòu)造法、同除法

(1)當(dāng)p≠q時(shí)，用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即先令an+1+λqn+1=p(an+λqn)，展開移項(xiàng)整理，與已知遞推式比較，得出常數(shù)λ，從而轉(zhuǎn)化成是公比為p的等比數(shù)列來(lái)解決。

(2)當(dāng)p=q時(shí)，用同除法構(gòu)造等差數(shù)列，即遞推式兩邊同除以qn+1，變形為，從而轉(zhuǎn)化成是公差為的等差數(shù)列來(lái)處理。

例8已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：設(shè)an+1+λ·5n+1=2(an+λ·5n)，則an+1=2an-3λ·5n。

又an+1=2an+3×5n，故λ=-1，an+1-5n+1=2(an-5n)。

又a1-51=1≠0，所以{an-5n}是以a1-51=1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，an-5n=2n-1，an=2n-1+5n。

九、雙數(shù)列型——整體加減乘除轉(zhuǎn)化法

例9(2019年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)第19題)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4。

(1){an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

解析：(1)兩等式相加得4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，即

又a1+b1=1≠0，所以{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。

兩等式相減得4(an+1-bn+1)=4(anbn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2。又a1-b1=1，所以{an-bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。