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    高考中線性規(guī)劃常見題型及解法

    2019-11-07 05:31:40河南省新密市第二高級(jí)中學(xué)申偉洲
    關(guān)鍵詞:約束條件陰影最值

    河南省新密市第二高級(jí)中學(xué) 申偉洲

    線性規(guī)劃問題是高考的重點(diǎn),它是數(shù)形結(jié)合思想的載體。線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式,多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透,自然地融合在一起,使數(shù)學(xué)問題的解答變得更加新穎別致。

    歸納起來常見的命題探究角度有:

    1.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值;

    2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值;

    3.求線性規(guī)劃中的參數(shù);

    4.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用。

    下面主要講解線性規(guī)劃的常見基礎(chǔ)類題型。

    一、求可行域的面積

    例1不等式組表示的平面區(qū)域的面積為( )。

    A.4 B.1

    C.5 D.6

    圖1

    解析:如圖1,作出對(duì)應(yīng)可行域,△ABC的面積即為所求,由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可,答案為B。

    二、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)

    例2滿足|x|+|y|≤2的點(diǎn)(x,y)中整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù))有( )。

    A.9個(gè) B.10個(gè)

    C.13個(gè) D.14個(gè)

    解析:|x|+|y|≤2 等價(jià)于

    作出可行域如圖2,正方形內(nèi)部(包括邊界),容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13,選C。

    圖2

    三、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍

    (一)“截距”型考題

    在線性約束條件下,求形如z=ax+by(a,b∈R)的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,通常轉(zhuǎn)化為求直線在y軸上的截距的取值。結(jié)合圖形易知,目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得。掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差。

    例 3若x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為_____。

    解析:由不等式組畫出可行域,圖3中陰影部分(含邊界)。目標(biāo)函數(shù)x+y取得最大值,即斜率為-1的直線x+y=z(z看作常數(shù))在y軸上的截距最大,由圖可知當(dāng)直線x+y=z過點(diǎn)C時(shí),z取得最大值。

    故zmax=5+4=9。

    圖3

    例4若x,y滿足約束條件則z=3x-4y的最小值為_____。

    圖4

    解析:由z=3x-4y,得作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域(圖4 中陰影部分)。平移直線由平移可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí),直線y=的截距最大,此時(shí)z取得最小值。

    將B的坐標(biāo)代入z=3x-4y,目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最小值為-1。

    例5已知x,y∈R,且滿足則z=|x+2y|的最大值為( )。

    A.10 B.8 C.6 D.3

    解析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖5中的陰影部分。

    由z=|x+2y|,平移直線,由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,此時(shí)z最大。即A(-2,-2),代入目標(biāo)函數(shù)z=|x+2y|得z=2×2+2=6。(此題也可利用點(diǎn)到直線的距離公式求解)

    (二)“距離”型考題

    在線性約束條件下,求形如z=(x-a)2+(y-b)2的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(a,b)到陰影部分的某個(gè)點(diǎn)的距離的平方的值。

    圖5

    例6(2016年山東卷)若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是( )。

    A.4 B.9 C.10 D.12

    解析:由約束條件作出可行域,如圖6所示。

    圖6

    因?yàn)锳(0,-3),C(0,2),所以|OA|>|OC|。

    例 7如果實(shí)數(shù)x,y滿足則z=x2+y2-2x的最小值是( )。

    解析:z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1。

    設(shè)m=(x-1)2+y2,則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D(1,0)的距離的平方,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖7所示。

    圖7

    由圖像知D到AC的距離為最小值。

    (三)“斜率”型考題

    例8若x,y滿足不等式組的最大值是( )。

    圖8

    例 9已知變量x,y滿足的取值范圍是( )。

    解析:作出滿足所對(duì)應(yīng)的區(qū)域(如圖9中的陰影)。

    由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取最小值1+;當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取最大值選B。

    圖9

    總結(jié):1.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟為:一畫,二移,三求。關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域,理解目標(biāo)函數(shù)的意義。

    2.常見的目標(biāo)函數(shù)有以下幾種。

    (1)截距型。形如z=ax+by。

    求這類目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí),常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,通過求直線的截距的最值,間接求出z的最值。

    (2)距離型。情形一:如z=,此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離;

    情形二:z=(x-a)2+(y-b)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離的平方。

    四、線性規(guī)劃中的含參數(shù)問題

    (一)“求約束條件中的參數(shù)”型考題

    當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時(shí),作可行域要注意應(yīng)用“過定點(diǎn)的直線系”知識(shí),使直線“初步穩(wěn)定”,再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析,才能準(zhǔn)確獲得答案。

    例10若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分,則k的值是( )。

    解析:不等式組表示的平面區(qū)域,如圖10所示。

    由于直線y=kx+過定點(diǎn),因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí),直線能平分平面區(qū)域。因?yàn)锳(1,1),B(0,4),所以AB中點(diǎn)。當(dāng)y=kx+過點(diǎn),所以選A。

    圖10

    例11若x,y滿足不等式組的最大值為2,則實(shí)數(shù)m的值為( )。

    解析:因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以此時(shí)滿足

    作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖11。

    圖11

    同時(shí)A也在直線y=mx上,則選D。

    例12(2014 年高考北京卷)若x,y滿足且z=y-x的最小值為-4,則k的值為( )。

    解析:作出線性約束條件的可行域。

    圖12

    圖13

    當(dāng)k>0時(shí),可行域如圖12中陰影部分所示,顯然此時(shí)z=y-x無最小值。

    當(dāng)k<-1時(shí),z=y-x取得最小值2;當(dāng)k=-1時(shí),z=y-x取得最小值-2,均不符合題意。

    當(dāng)-1<k<0時(shí),可行域如圖13中陰影部分所示,當(dāng)直線z=y-x經(jīng)過點(diǎn)時(shí),有最小值,即,選D。

    (二)“求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題

    目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),要根據(jù)問題的意義,轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點(diǎn)到直線的距離”等模型進(jìn)行討論與研究。

    例13設(shè)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最小值為2,則ab的最大值為( )。

    解析:滿足約束條件的可行域,如圖14所示。

    圖14

    因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0),故zA=2a+2b,zB=2a+3b。

    目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最小值為2,則2a+2b=2,即a+b=1。則,ab的最大值為,選C。

    圖15

    例14已知x,y滿足以下約束條件,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè),則a的值為( )。

    A.-3 B.3 C.-1 D.1

    解析:如圖15,作出可行域,作直線l:x+ay=0,要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè),則將l向右上方平移后與直線x+y=5重合,故a=1,選D。

    五、線性規(guī)劃與其他問題結(jié)合

    例15已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b,若a,b都是從區(qū)間[0,4]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù),則f(1)>0成立的概率是( )。

    圖16

    解析:f(1)=-1+a-b,令f(1)>0,則a-b>1。又0≤a≤4,0≤b≤4,滿足ab>1的陰影部分,如圖16所示。

    例16(2016 年湖州質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式組則tan∠AOB的最大值等于( )。

    解析:如圖17 所示,陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域。

    觀察圖形可知當(dāng)A為(1,2),B為(2,1)時(shí),tan∠AOB取得最大值,此時(shí)由于tanα=,故tan∠AOB=tan(β-α)=,選C。

    圖17

    六、實(shí)際問題

    例17某高科技企業(yè)生產(chǎn)A產(chǎn)品和B產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料,生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個(gè)工時(shí)。生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的利潤(rùn)為2 100 元,生產(chǎn)一件B產(chǎn)品的利潤(rùn)為900 元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600 個(gè)工時(shí)的條件下,求生產(chǎn)A產(chǎn)品、B產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值。

    解析:A、B兩種產(chǎn)品每件分別是x件和y件,獲利為z元。

    圖18

    目標(biāo)函數(shù)z=2 100x+900y經(jīng)過A時(shí),直線的截距最大,利潤(rùn)之和的最大值為2 100×60+900×100=216 000(元)。

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