妙求等差乘等比型數(shù)列和

河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 李偉鋒

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書(shū)中提出，我們探討解題方法的實(shí)質(zhì)，就是要透過(guò)機(jī)械操作的形式去弄清每一個(gè)解題方法與什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，與什么樣的數(shù)學(xué)方法相結(jié)合。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)方法應(yīng)重在理解，重在理解本質(zhì)。等差乘等比型數(shù)列求和問(wèn)題通常用錯(cuò)位相減法來(lái)解決，倘若我們能從問(wèn)題的根源入手，解決這些問(wèn)題就水到渠成。

一、錯(cuò)位相減法

將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法。運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和適用的情況：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)由兩項(xiàng)的乘積組成，其中一項(xiàng)是等差數(shù)列，另一項(xiàng)是等比數(shù)列。

例1(2019 年福州模擬卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-1。

(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn=(2n-1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

解析：(1)當(dāng)n=1 時(shí)，a1=S1=2a1-1，解得a1=1。

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)，解得an=2an-1。

所以數(shù)列{an}是以1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列。

(2)由(1)知，an=2n-1，所以bn=(2n-1)×2n-1。

因此，Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1。①

2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n。②

所以Tn=(2n-3)×2n+3。

點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn可用錯(cuò)位相減法。一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解，但需要注意“同類項(xiàng)”要對(duì)齊，以便求差，而且應(yīng)用時(shí)要注意q≠1這個(gè)條件。

練習(xí)1：已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，

a6+a8=-10。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件可得解得

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n。

所以當(dāng)n＞1 時(shí)，以上兩式相減得

S1=1，也滿足

二、裂項(xiàng)相消法

等差乘等比型數(shù)列的求和，也可以利用裂項(xiàng)相消法，將其通項(xiàng)拆成兩個(gè)等差乘等比型數(shù)列的差，再疊加求和。

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=3an-1。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)由2Sn=3an-1①，得：

2Sn-1=3an-1-1(n≥2)。②

①-②，得2an=3an-3an-1，故3(n≥2)。

又2S1=3a1-1，則a1=1。

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故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3 的等比數(shù)列，an=3n-1。

點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵是將通項(xiàng)拆成兩個(gè)等差乘等比型數(shù)列的差。

三、待定系數(shù)法

若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=an·bn，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和的形式是Sn=(An+B)qn-B。

例3已知數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn=kcn-k(其中c，k為常數(shù))，且a2=4，a6=8a3。

(1)求an的表達(dá)式；

(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn。

解析：(1)當(dāng)n＞1 時(shí)，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)。

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，也滿足上式。

綜上所述，an=2n(n∈N*)。

(2)由nan=n2n，可設(shè)Tn=(An+B)×2n-B。

因?yàn)門(mén)1=2，T2=10，所以解得A=2，B=-2。

所以Tn=2+(n-1)2n+1。

點(diǎn)評(píng)：本題是等差乘等比型數(shù)列的求和型問(wèn)題。利用待定系數(shù)法，必須熟悉數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和的形式是Sn=(An+B)qn-B，再利用前兩項(xiàng)代入，即可求得結(jié)論。利用錯(cuò)位相減法如下：由nan=n·2n，則Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n(1)，2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1

(2)，(1)-(2)得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，所以Tn=2+(n-1)·2n+1。兩種方法，結(jié)果一樣。