含參數(shù)的線性規(guī)劃處理策略

安徽省太和中學(xué) 任海濤

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題實(shí)際上是二元函數(shù)在定義域內(nèi)的最值(范圍)問(wèn)題。含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的常考點(diǎn)，通常有兩類(lèi)，即線性約束條件中含有參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)兩類(lèi)問(wèn)題。解決的策略有三種：一是先確定可行域上的邊界點(diǎn)或者邊界線，進(jìn)而確定線性約束條件中所含有的參數(shù)值；二是利用數(shù)形結(jié)合思想，比較目標(biāo)函數(shù)與邊界直線的傾斜程度等，從而求解問(wèn)題；三是利用集合的思想求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題。

類(lèi)型一 約束條件中含有參數(shù)

約束條件中含有參數(shù)指的是約束條件中某一條件含有參數(shù)，這意味著約束條件是變動(dòng)的，這種變動(dòng)導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)最值的變化。

例1實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件若z=2x-y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m=( )。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解法1：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖1所示，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y可化為y=2x-z。

圖1

因?yàn)橹本€y=2x-z的斜率所以由圖像可知，當(dāng)直線y=2x-z過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距-z最小，即z最大。

點(diǎn)評(píng)：線性約束條件中含有參數(shù)問(wèn)題，可以根據(jù)條件先確定可行域上的邊界點(diǎn)或者邊界線，然后確定線性約束條件中所含有的參數(shù)值，最后再畫(huà)出可行域，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般形式的線性規(guī)劃問(wèn)題。

解法2：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意(x，y)滿(mǎn)足都有2x-y≤2 成立。記不等式組表示的區(qū)域?yàn)棣?，不等式2x-y≤2表式的區(qū)域?yàn)棣?，則有Ω1?Ω2。先將不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域畫(huà)出，再將不等式2x-y≤2 對(duì)應(yīng)的區(qū)域畫(huà)出，當(dāng)Ω1?Ω2時(shí)，直線mx-y=0過(guò)點(diǎn)(2，2)，可解得m=1。

點(diǎn)評(píng)：將題設(shè)“目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為2”轉(zhuǎn)化為不等式2x-y≤2，進(jìn)而將線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用集合的包含關(guān)系解題，可以回避對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論。但需要注意的是，若將題設(shè)條件改為“實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件如果2x-y≤2 恒成立”，則m就不是具體值了，而是變?yōu)橐粋€(gè)范圍了。

【結(jié)論】利用集合的思想求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，常用到以下結(jié)論：

(1)記二元一次不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榧夕福瑢?duì)(x，y)∈Ω，Ω為一個(gè)封閉區(qū)域?函數(shù)f(x，y)既有最大值又有最小值。

(2)線性目標(biāo)函數(shù)f(x，y)的最值只能在可行域的邊界或頂點(diǎn)處取得。

(3)記二元一次不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榧夕?，二元一次不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榧夕?，若Ω1?Ω2，則任意(x，y)∈Ω1都能使這個(gè)不等式成立；若Ω1∩Ω2≠?，則存在(x，y)∈Ω1使這個(gè)不等式成立。

類(lèi)型二 目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)

目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，往往與直線的斜率有關(guān)，一般是已知其最優(yōu)解有一個(gè)或無(wú)窮多個(gè)，求參數(shù)。

例2已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)A(3，0)處取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____。

解析：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖2所示。

目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)A(3，0)處取得最大值，即直線y=-ax+z僅在點(diǎn)A(3，0)處的截距z取得最大值，故由圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線斜率滿(mǎn)足時(shí)符合題意，解得

圖2

實(shí)數(shù)a的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，可以根據(jù)條件先畫(huà)出可行域，然后利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)與邊界直線的傾斜程度，直觀求解。

例3已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y最大值為2a+4，最小值為a+1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___。

圖3

解析：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖3所示。

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為z=ax+y，當(dāng)z=a+1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)A(1，1)；當(dāng)z=2a+4時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)B(2，4)。

因?yàn)辄c(diǎn)A(1，1)，B(2，4)分別在直線3x-y-2=0，x+y-6=0 上，所以由圖像可知，當(dāng)直線y=-ax+z分別在點(diǎn)A(1，1)，B(2，4)取得最小值和最大值。其斜率-a滿(mǎn)足0≤-a≤kAC=2或0＞-a≥kBC=-1，解得-2≤a≤1。

點(diǎn)評(píng)：掌握直線的斜率與截距的幾何意義是解題的關(guān)鍵，斜率的幾何意義要注意以下兩點(diǎn)：一是符號(hào)和絕對(duì)值，斜率大于零，函數(shù)遞增，直線上升，絕對(duì)值越大，直線越陡峭；二是斜率的取值范圍可按照口訣“邊界斜率先計(jì)算，九十度線是關(guān)鍵。包含此線取兩邊，不含此線取中間”進(jìn)行確定。

例4已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a＞0，b＞0)在該約束條件下取得最小值為2 5時(shí)，a2+b2的最小值為_(kāi)___。

解析：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖4所示。

目標(biāo)函數(shù)為z=ax+by(a＞0，b＞0)可 化 為y=

圖4

因a2+b2的幾何意義為直線2a+b=上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故a2+b2的最小值為

點(diǎn)評(píng)：解目標(biāo)函數(shù)含有雙參數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是先利用數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)z=ax+by在何處取得最小值，再借助點(diǎn)到直線的距離公式即可求解。

類(lèi)型三 約束條件和目標(biāo)函數(shù)中均有參數(shù)

當(dāng)約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都含有參數(shù)時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)討論范圍確定，約束條件中的參數(shù)也隨之確定。一般情況下，我們先考慮目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)：第一，考慮目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的平移方向，參數(shù)的不同取值將影響到最優(yōu)解的位置；第二，考慮可行域邊界直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線斜率的大小關(guān)系，結(jié)合圖形，再對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)一步討論。

例5已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的最小值為7，則a=( )。

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

解析：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖5所示。

當(dāng)a=0 時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意。

當(dāng)a≥1時(shí)，畫(huà)出可行域。

圖5

又z=x+ay，故當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中點(diǎn)時(shí)，z取到最小值。

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，畫(huà)出可行域，顯然直線y=在y軸上的截距沒(méi)有最小值，不合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)，畫(huà)出可行域，顯然直線在y軸上的截距沒(méi)有最值，不合題意。

故答案為B。

點(diǎn)評(píng)：本題把目標(biāo)函數(shù)z=x+ay化為y，a的正負(fù)決定了目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的平移方向，所以先對(duì)a進(jìn)行討論，分a＞0，a=0，a＜0三種情況，其中當(dāng)a=0，a＜0時(shí)，都不合題意，當(dāng)a＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值，對(duì)應(yīng)直線應(yīng)向下平移，可行域邊界直線的斜率分別為-1，1，選擇哪個(gè)數(shù)作為討論的參照對(duì)象，可結(jié)合圖形，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。

類(lèi)型四 隱形約束條件的線性規(guī)劃問(wèn)題

例6已知若0≤λ≤1≤μ≤2時(shí)的最大值為2，則m+n的最小值為_(kāi)___。

解 析：（λ+μ，μ）?λ=x-y，μ=y。

故0≤x-y≤1≤y≤2，可行域?yàn)橐粋€(gè)平行四邊形及其內(nèi)部，由直線的斜率小于零知直線在點(diǎn)（3，2）處取得最大值，即

點(diǎn)評(píng)：解決隱形約束條件問(wèn)題，首先應(yīng)利用已知條件正確給出滿(mǎn)足條件的可行域，然后再轉(zhuǎn)化為熟悉的線性規(guī)劃問(wèn)題。

跟蹤練習(xí)：

1.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a＞0)的最大值為18，則a的值為( )。

A.3 B.5 C.7 D.9

2.已知x，y滿(mǎn)足時(shí)，z=ax+by(a≥b＞0)的最大值為2，則直線ax+by-1=0過(guò)定點(diǎn)( )。

A.(3，1) B.(-1，3)

C.(1，3) D.(-3，1)

3.已知關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)棣福?(x0，y0)∈Ω，使得(x0-1)2+(y0-4)2≤m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

4.實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足且z=2x+y的最小值為3，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)___。

答案：1.A 2.A 3.[20，+∞)4.