傾斜陣列下奇異值分解穿墻雷達(dá)雜波抑制

李家強(qiáng)， 徐小敏1， 盧寶寶1， 陳金立

(1. 南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院， 江蘇南京 210044；2. 南京信息工程大學(xué)氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心， 江蘇南京 210044)

0 引言

近年來，穿墻雷達(dá)成像(Through the Wall Radar Imaging, TWRI)一直以來都是超寬帶技術(shù)應(yīng)用研究的熱點(diǎn)，它的主要目的是通過電磁波感知墻體或建筑物后態(tài)勢。因此穿墻雷達(dá)成像在災(zāi)害救援、城市巷戰(zhàn)等軍事和民用領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。由于墻體與空氣的介電常數(shù)存在巨大差異，電磁波在穿透墻壁的同時傳播方向會發(fā)生折射、傳播速度會發(fā)生改變、信號幅度也會發(fā)生衰減[1]。如何消除墻體雜波對目標(biāo)信號造成的嚴(yán)重干擾，是TWRI需要解決的關(guān)鍵問題之一。

一種靜止目標(biāo)成像的經(jīng)典方法是背景相消法，其利用背景先驗(yàn)信息能夠很好地消除墻體雜波[2]。但在實(shí)際應(yīng)用中，通常無法直接測量墻體后的背景環(huán)境。近年來，以奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)、主元分析(Principal Component Analysis,PCA)等為代表的統(tǒng)計(jì)方法無需場景的先驗(yàn)知識[3]。其中SVD由于復(fù)雜度低、計(jì)算量小，應(yīng)用較為廣泛[4]，其主要是通過墻體雜波與目標(biāo)回波信號能量之間的大小差異來確定墻體子空間，進(jìn)而通過子空間投影方法抑制墻體雜波。常規(guī)成像模型通常都建立在天線陣列接近且平行于墻體的標(biāo)準(zhǔn)模式下。然而，在一些特殊場景中(如反恐、營救人質(zhì)等)無法保證天線陣列與墻體平行，也無法將天線陣列緊貼墻體放置。近幾年的一些研究表明，天線陣列與墻體之間的傾角會導(dǎo)致現(xiàn)有的子空間投影算法失效。從文獻(xiàn)[5]中可知，當(dāng)天線陣列傾斜，墻體反射存在于主奇異項(xiàng)的多維子空間中，導(dǎo)致墻體子空間與目標(biāo)子空間發(fā)生混疊，無法判定墻體子空間與目標(biāo)子空間的界限。此外，利用傾斜天線陣列接收的回波信號進(jìn)行墻后場景圖像的重建，會導(dǎo)致圖像發(fā)生畸變甚至無法進(jìn)行目標(biāo)探測?？梢姡炀€陣列的傾斜不僅會影響目標(biāo)定位的準(zhǔn)確性，也會對成像質(zhì)量造成嚴(yán)重影響。針對上述問題，文獻(xiàn)[6]通過回波時延估計(jì)墻體參數(shù)(墻體厚度、相對介電常數(shù)等)，然后對墻體回波信號進(jìn)行電磁建模，利用相消法消除墻體雜波信號。然而，該算法需要在相同或相近的探測情況下，將墻體替換成金屬板進(jìn)行測量校準(zhǔn)。文獻(xiàn)[7]提出一種基于離散長橢球序列的新字典描述墻體回波信號，然后采用分塊稀疏模型消除墻體雜波信號。該算法能夠有效地抑制墻體雜波信號，且無須考慮天線陣列是否與墻體之間存在未知傾角，但是該算法在實(shí)際應(yīng)用中會占用較多硬件資源。

本文針對以上問題，從目標(biāo)產(chǎn)生偏移的原因出發(fā)，提出了基于時延校正和單邊Jacobi奇異值分解的方法，以消除天線陣列傾斜于墻體造成的影響。對時延校正后的信號應(yīng)用子空間投影法抑制墻體雜波。該方法求解出的矩陣奇異值具有較高的相對精度、奇異向量正交性好、數(shù)值穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，并且算法實(shí)現(xiàn)簡單，有利于并行計(jì)算[8]。

1 穿墻雷達(dá)場景建模

本文利用基于FDTD的仿真軟件GprMax2D/3D[9]，對穿墻雷達(dá)實(shí)驗(yàn)場景進(jìn)行建模，驗(yàn)證本文提出的算法。在GprMax中，每個位置天線接收的一維時域信號稱作A-scan，一條測量線上的A-scan組成的二維數(shù)據(jù)，稱作B-scan。設(shè)B-scan為M×N維矩陣，行和列分別代表時間采樣點(diǎn)數(shù)和天線個數(shù)。

假設(shè)天線陣列傾斜于墻體時的穿墻雷達(dá)探測模型如圖1所示。本文采用單層均勻介質(zhì)板代替實(shí)際墻體。設(shè)墻體厚度為d，相對介電常數(shù)為εr，電導(dǎo)率為σ。目標(biāo)為圓形理想電導(dǎo)體，其半徑為r，圓心與前墻體之間的垂直距離為δ。與常規(guī)建模不同，天線陣列沿著傾斜于墻體θ的測量線等間隔排列，對穿墻雷達(dá)成像場景進(jìn)行N次掃描，且第一根天線與墻體之間的垂直距離為h。發(fā)射信號為Ricker子波，即一階高斯脈沖信號取負(fù)，其表達(dá)式如下:

(1)

圖1 傾斜天線陣列穿墻雷達(dá)模型

2 墻體雜波抑制算法

本文提出的墻體雜波抑制算法由兩個階段實(shí)現(xiàn)：在第一階段，對回波信號進(jìn)行時延校正，使其等效于天線陣列平行于墻體的情況；在第二階段，將經(jīng)過時延校正處理后的信號矩陣應(yīng)用基于單邊Jacobi奇異值分解算法抑制墻體雜波。

2.1 時延校正

在圖1所示的模型中，成像時目標(biāo)坐標(biāo)會偏離實(shí)際位置，這是因?yàn)榧僭O(shè)天線位于與墻體平行的測量線上，導(dǎo)致天線陣元與成像場景中每個像素點(diǎn)間的往返時間計(jì)算有誤。天線陣元位置不同，到墻體的垂直距離也不同，因此天線與墻體間的往返時延與墻體的回波幅度也不同。根據(jù)上述分析，提出時延校正的思想，即將每個天線陣元的發(fā)射與接收時刻均校正到與墻體平行的虛擬測量線(如圖1所示)上，去除掉每個天線陣元與虛擬測量線之間的往返時間。設(shè)τ(n)為第n個天線與虛擬測量線的往返時間：

τ(n)=2(n-1)Δy/vc

(2)

式中，Δy為相鄰兩個天線陣元在垂直方向上的移動步長，它可由任意兩個天線陣元的接收時域回波信號計(jì)算得到，vc為電磁波速度。假設(shè)已知第k，l個天線發(fā)射信號到達(dá)墻體的時間分別為tk，tl，且k

(3)

則校正后的回波信號為

s′(t,n)=s(t+τ(n),n)

(4)

式中，s(t,n)為原始接收回波信號B-scan。

2.2 單邊Jacobi奇異值分解

(5)

式中，m為S各列的均值，eT=[1,1,…,1]為一個n維單位行向量。

(6)

(7)

使得B中任意兩列向量bi,bj滿足

(8)

然后對Bm×n歸一化得到

B=UΣ

(9)

(10)

(11)

得到兩個等式：

(12)

(13)

由式(14)計(jì)算參數(shù)c和s：

即可得

(15)

s=k×c

(16)

式中，

(17)

(18)

式中，sign(α)為符號函數(shù)：

(19)

(20)

誤差E越小代表對回波信號奇異值分解越準(zhǔn)確，精度更高。

信號在奇異值分解后采用文獻(xiàn)[9]提出的奇異值差分譜法劃分墻體子空間與目標(biāo)子空間的界限，再利用子空間投影抑制墻體雜波。經(jīng)上述處理后，利用后向投影方法(Back Projection, BP)重建成像場景。墻體雜波抑制的效果用圖像的目標(biāo)-雜波比(Target-to-Clutter Ratio, TCR)來評估，現(xiàn)定義如下[10]：

(21)

式中，I(·)為成像點(diǎn)所對應(yīng)的歸一化幅度值；At和Ac分別為目標(biāo)區(qū)域和雜波區(qū)域，而Nt和Nc為各區(qū)域所對應(yīng)的成像點(diǎn)數(shù)目。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

根據(jù)圖1所示的系統(tǒng)模型，建立仿真場景：全向天線陣列沿傾斜于墻體的測量線等間距掃描26次，傾斜角度為10°，且第一根天線距離墻體0.05 m，天線橫向掃描范圍為0.1～2.1 m。墻體是均勻介質(zhì)，其厚度為d=0.2 m，相對介電常數(shù)為εr=6.4。目標(biāo)為圓形的理想電導(dǎo)體，其圓心距離墻體δ=1.3 m，半徑r=0.1 m。通過GprMax2D/3D軟件仿真獲取各個測量位置的回波信號。對回波信號應(yīng)用傳統(tǒng)的子空間投影法抑制墻體雜波，從奇異值幅值分布與成像方面證明傾斜陣列下本算法的失效。

對原始回波數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解，歸一化奇異值幅值分布如圖2所示?？梢?，幅值下降得很平緩，不存在明顯的突變點(diǎn)。這是因?yàn)椴黄叫杏趬w的天線陣列接收到的墻體回波信號跨越多維子空間，使得墻體子空間與目標(biāo)子空間混疊。

圖2 歸一化奇異值幅值分布

從成像方面來看，如圖3(a)、(b)、(c)、(d)所示，比較去除前一、二、三、四個奇異項(xiàng)的成像結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)離墻體越遠(yuǎn)的天線接收到的墻體回波越難被去除，這是因?yàn)殡x墻體越遠(yuǎn)的天線接收到的回波越弱，從而越容易與強(qiáng)度弱的目標(biāo)信號子空間混疊在一起，這使得利用奇異值差分譜判定墻體子空間與目標(biāo)子空間邊界的方法失效。且目標(biāo)成像位置相比真實(shí)目標(biāo)位置發(fā)生了明顯的偏移，如圖3(d)標(biāo)出。以上分析表明，傳統(tǒng)的基于子空間投影的墻體雜波抑制算法不能準(zhǔn)確定位目標(biāo)位置，且墻體回波信號不能被完全抑制。

(a) 去除第一奇異項(xiàng)

(b) 去除前兩項(xiàng)奇異項(xiàng)

(c) 去除前三項(xiàng)奇異項(xiàng)

(d) 去除前四項(xiàng)奇異項(xiàng)圖3 去除不同奇異項(xiàng)的成像結(jié)果

為解決上述問題，在對原始接收回波信號進(jìn)行子空間投影前運(yùn)用本文提出的時延校正方法處理回波信號。任意選取兩個不同位置的天線，圖4給出了第1個與第26個天線接收的時域回波信號。從圖中可以看出，墻體回波時延分別為t1=4.529 ns和t26=7.041 ns。根據(jù)式(3)計(jì)算可得垂直步長Δy=0.015 07 m，與真實(shí)值0.014 08 m相差0.000 99 m。因此，估計(jì)精度在可接受范圍內(nèi)，即證明了式(3)的正確性。估計(jì)得到垂直步長Δy后，再利用式(2)與式(4)將每個天線的發(fā)射與接收時刻校正到虛擬測量線上。圖5為時延校正后第1個與第26個天線接收的時域回波信號，第26個天線時延校正后的墻體回波時延為4.694 ns，與第一個天線的墻體回波時延相差0.165 ns，可忽略為零。因此，可以將兩根天線看作是在同一時刻接收到墻體回波信號。同理，所有天線的A-scan經(jīng)過時延校正處理后，均在t1時刻附近接收到墻體回波，這與天線陣列平行于墻體模型下的特性相同。

圖4 接收天線1與26接收的回波信號

圖5 時延校正后的接收回波信號

對上述經(jīng)過時延校正后的B-scan進(jìn)行單邊Jacobi奇異值分解，圖6給出了歸一化奇異值幅值分布情況?？梢?，第一個奇異值與第二個奇異值差距較大，因此可通過計(jì)算奇異值差分譜得到墻體子空間與目標(biāo)子空間的界限在第一個奇異值與第二個奇異值間取得，這表明墻體反射信號占據(jù)第一個奇異項(xiàng)。確定表征墻體的奇異項(xiàng)后，用子空間投影算法抑制墻體雜波。最后通過BP算法對其進(jìn)行成像，結(jié)果如圖7(a)所示?？梢钥闯?，墻體雜波幾乎被完全濾除，這證明了墻體子空間與目標(biāo)子空間未發(fā)生混疊。并且目標(biāo)也被校正到正確位置。仿真結(jié)果證明時延校正消除了天線陣列傾斜于墻體所產(chǎn)生的影響。

圖6 時延校正后奇異值幅值分布

對經(jīng)過時延校正后的信號矩陣分別應(yīng)用單邊Jacobi奇異值分解與原始奇異值分解，根據(jù)式(20)計(jì)算兩者的誤差，前者為1.03×10-12，后者為5.06×10-10。可見，相比之下單邊Jacobi奇異值分解的精度更高。圖7給出了應(yīng)用兩種不同奇異值分解的成像結(jié)果，可以看出圖7(a)中成像效果要好于圖7(b)，在圖7(b)中還存在少許墻體雜波殘余。

(a) 單邊Jacobi實(shí)現(xiàn)奇異值分解

(b) 原始奇異值分解圖7 經(jīng)過時延校正處理后應(yīng)用不同奇異值分解的 成像結(jié)果

由于在實(shí)際系統(tǒng)中噪聲不可避免，因此在回波信號中添加高斯白噪聲模擬有噪情況，在不同信噪比的條件下重復(fù)穿墻雷達(dá)成像過程。表1給出不同信噪比下應(yīng)用原始奇異值分解與Jacobi奇異值分解的輸出目標(biāo)圖像信雜比。由表1中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)信噪比SNR=-8 dB時，本文提出的單邊Jacobi奇異值分解方法比原始奇異值分解的目標(biāo)圖像TCR提高了1.52 dB，且隨著信噪比的增大，單邊Jacobi奇異值分解的優(yōu)勢越明顯。

表1 不同信噪比時的輸出目標(biāo)圖像TCR比較

4 結(jié)束語

為了解決天線陣列傾斜于墻體時基于奇異值分解的子空間投影雜波抑制算法失效、目標(biāo)成像產(chǎn)生偏移的問題，本文提出了時延校正的基于Jacobi奇異值分解的墻體雜波抑制算法。即首先通過時延校正使各天線的發(fā)射與接收時刻校正到與墻體平行的等效測量線上。仿真結(jié)果表明采用時延校正方法對回波信號預(yù)處理，能夠有效地實(shí)現(xiàn)墻后目標(biāo)的準(zhǔn)確定位，并且墻體子空間與目標(biāo)子空間不再發(fā)生混疊，這使得墻體反射信號能夠被完全濾除。與傳統(tǒng)奇異值分解相比，單邊Jacobi奇異值分解具有更高的精度，成像結(jié)果顯示該算法的成像效果以及圖像信雜比均優(yōu)于原始奇異值分解。理論推導(dǎo)以及程序仿真實(shí)驗(yàn)充分說明了本文方法對于實(shí)際工程中墻體雜波抑制與成像具有一定的理論指導(dǎo)意義。