借形助數(shù)，活化思維

江芝芬

摘 要：借形助數(shù)，數(shù)及數(shù)量關(guān)系置于圖形及生活的實物模型和現(xiàn)實背景中就能把數(shù)及數(shù)量關(guān)系化抽象為具體、化繁為簡，還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，促進學(xué)生理解知識并掌握知識，拓寬學(xué)生的思路，活化他們的思維，提升他們的探究興趣與創(chuàng)造力，文章從四個方面進行闡述。

關(guān)鍵詞：借形言數(shù);思維;數(shù)感;數(shù)量關(guān)系;算式;數(shù)學(xué)語言

一、借形言數(shù)，發(fā)展數(shù)感

什么是數(shù)感？簡而言之，就是人們對數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的理解與感悟。如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)感？若能借助圖形、實物模型以及實際生活的素材等來豐富學(xué)生的感知，就能使抽象的數(shù)及數(shù)量關(guān)系形象化、具體化。

例如，在教學(xué)“十萬的認識”這課時，十萬對四年級學(xué)生來說是個較大的數(shù)目。如何引導(dǎo)學(xué)生通過已學(xué)的萬以內(nèi)的知識去類推、去感知，筆者通過小立方體及計數(shù)器兩種直觀模型并聯(lián)系現(xiàn)實生活來幫助學(xué)生理解，發(fā)展他們的數(shù)感。我們知道這節(jié)課的難點就是接近整萬數(shù)的數(shù)法，而數(shù)與數(shù)之間滿十進一的計數(shù)單位間的變化對學(xué)生來說是較抽象的，為了讓這個抽象的計數(shù)單位變得直觀可見，我們就要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)數(shù)的思維方式“暴露”出來，讓他們一萬一萬地數(shù)，并邊數(shù)邊觀察小立方體的變化，在他們數(shù)到九萬時，筆者有意稍作停頓，問學(xué)生“再添一萬是多少”，讓學(xué)生思考后自然而然說出“十萬”，接著讓他們與同桌合作，在計數(shù)器上邊數(shù)邊觀察，計數(shù)器上珠子的變化及“十萬”是怎么產(chǎn)生的？這樣他們就在操作中直觀地理解了“十萬”與“萬”的十進制關(guān)系?！笆f的數(shù)目究竟有多大呢？”讓學(xué)生帶著問題與好奇到操場，借助熟悉的學(xué)校操場的跑道長度（400米）以及想象活動，讓他們通過小組合作學(xué)習(xí)、探究，真切地感悟到生活中“十萬”數(shù)目的大?。孩偈f毫米多長？②十萬厘米多長？③十萬千米多長？學(xué)生通過計算得知， 十萬毫米等于100米，相當于跑道長度的1/4，十萬毫米很短;十萬厘米等于1000米，相當于操場跑道長度的2圈半，十萬厘米有點長;十萬千米相當于操場跑道長度的25萬圈，相當于繞地球2.5圈的長度，學(xué)生驚嘆：“十萬千米真的好長呀！”通過結(jié)合生活中熟悉的操場的“形”來說“十萬”這個數(shù)，學(xué)生直觀地感受到“短、有點長、好長”，從中感悟“十萬”這個數(shù)在不同的場景中給人的大小、多少的感覺是不一樣的。如此，既能讓學(xué)生印象深刻，發(fā)展數(shù)感，又能讓學(xué)生拓寬思路，發(fā)展思維。

二、借形溯源，體悟知識

讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展與形成過程，探清知識的來龍去脈，他們才容易理解與掌握，記憶深刻，從而真正實現(xiàn)有效教學(xué)。如在教學(xué)“用四舍五入法求小數(shù)的近似值”時，筆者聽了一些老師的公開課均是直接告知學(xué)生“四舍五入法”“是用四舍五入法取小數(shù)近似數(shù)的時候，看它保留位數(shù)的后一位，如果后一位數(shù)的最高位數(shù)字≤4時，就把尾數(shù)去掉;若后一位數(shù)的最高位數(shù)字≥5時，就把尾數(shù)舍去并在保留的這位數(shù)上進“1”，然后學(xué)生熟記方法，再強化應(yīng)用，他們認為這是約定俗成的所以就直接告知。課后我問學(xué)生“你知道為什么尾數(shù)的最高位數(shù)≥5，就把尾數(shù)舍去并在保留的這位數(shù)上進‘1;尾數(shù)的最高位數(shù)字≤4，就把尾數(shù)直接舍去？”學(xué)生異口同聲地答道：“老師說這是規(guī)定的。”

如何讓學(xué)生“知其然又知其所以然”呢？筆者在自己的班級里做了嘗試，以一位小數(shù)為例：把0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9在下面的線段圖中找出來，并說說它們更接近0還是1？

學(xué)生結(jié)合線段圖很快就明白大于0.5的數(shù)更接近1，小于0.5的數(shù)更接近0，而居中的0.5人們就把它歸為接近1。因此，規(guī)定在取近似值時，看保留位數(shù)的下一位，如果是0～4的5個數(shù)字就直接把尾數(shù)舍去，如果是5～9的5個數(shù)字就在保留的這位數(shù)上加1后再把尾數(shù)舍去，這樣就剛好5個數(shù)字的尾數(shù)是舍去，5個數(shù)字是進“1”后舍去，這種保留法的誤差總和是最小的。所以，為了便于計算，人們就使用四舍五入法。通過在直觀的線段圖上找數(shù)，并結(jié)合線段圖說清哪些數(shù)更接近1與0，學(xué)生很容易就理解了“四舍五入”的道理，且在提升其探究能力的同時，使模糊的知識明晰化。

三、借形明理，厘清關(guān)系

（一）厘清計算之理

算理是內(nèi)隱的、抽象的，是計算之根，只有厘清算理才能使計算之樹枝繁葉茂。那如何讓抽象的算理變得清晰可見？何時“借形助數(shù)”方有效？教師在厘清教材的編寫意圖，了解學(xué)生的知識“盲點”后，應(yīng)創(chuàng)造性地使用教材，靈活地選擇有效的“形”。如在教學(xué)“小數(shù)除以整數(shù)”時，筆者放手讓學(xué)生探究11.5÷5的豎式計算，出現(xiàn)了以下兩種算豎式：

我引導(dǎo)學(xué)生認真觀察，并組織辯論：豎式中的部分積究竟寫15還是1.5呢？剛開始絕大多數(shù)學(xué)生都認為應(yīng)寫1.5，極少部分學(xué)生認為是15，至于為什么是15卻講不清楚，這時筆者給他們出示了計數(shù)器引導(dǎo)他們借助計數(shù)器來說說“你是怎么把11.5平均分成5份的？”借助直觀形象的計數(shù)器，學(xué)生明白了從高位除起，高位上的數(shù)不夠除，就把它轉(zhuǎn)化成較低位上的數(shù)和較低位上的數(shù)合起來繼續(xù)除，個位上11個珠子平均分成5份后還余1，個位上1要化成10個0.1，再和十分位的5個0.1合成15個0.1，15個0.1再繼續(xù)平均分成5份，說到這里，學(xué)生恍然大悟：“應(yīng)該是寫15不寫1.5，因為……”學(xué)生的頓悟源于他們熟知的計數(shù)器這個直觀形象模型的啟發(fā)，借助這個模型學(xué)生的思路清晰，學(xué)習(xí)效率不言而喻，且對后繼研究除數(shù)是小數(shù)的除法的算理鋪路搭橋。

（二）厘清數(shù)量關(guān)系之理

正確分析數(shù)量關(guān)系是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。為促進學(xué)生有效分析數(shù)量關(guān)系、厘清解題思路，幫助學(xué)生思考，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生動手畫畫線段圖、簡易分析圖或想象實物模型等，借助直觀形象的“形”把復(fù)雜的問題變得簡明、形象、易于思考。為提升學(xué)生探究興趣，促進學(xué)生思考，拓展學(xué)生思維，筆者在新知教學(xué)后經(jīng)常會讓學(xué)生進行“思維操練”。如學(xué)生剛學(xué)完假分數(shù)時，筆者出示：“如果一個分數(shù)分子與分母的和是30，分子加4且分母不變。則這個分數(shù)值是1。原來的分數(shù)是多少？”剛開始很多學(xué)生不知所措，緊皺眉頭，不知如何解答，我提醒他們：“當遇到不好解決的問題時，我們經(jīng)常是怎么解決的？”學(xué)生說：“畫線段圖或舉例?！蔽艺f：“那就動動手，用線段表示分子、分母，看看會不會有啟發(fā)?！睂W(xué)生獨立思考，然后和同桌交流，相互補充，畫出了以下線圖：

這時，很多學(xué)生驚喜地說：“老師，我明白了！”“你明白了什么？”有的學(xué)生迫不及待地跑到黑板前指著線段圖說：“先畫一條線段表示分子，現(xiàn)在分子加4，分數(shù)值是1，什么意思呢？因為分子分母相等的分數(shù)是1，那分子加上4這段就和分母這段一樣長了。把原來分子分母的和30加上4等于34。它就是分母的2倍，把34除以2得到17，17就是原來的分母，把分母17減4得13就是原來的分子，所以原來分數(shù)是十七分之十三。”

通過簡易的線段圖把看似復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系理得條分縷析，學(xué)生的思維從不知所措的迷茫到“柳暗花明”時的驚喜皆源于直觀形象的線段圖。

四、借形解式，化繁為簡

很多復(fù)雜的算式，如果按四則運算法則計算，難而且繁雜，且容易出錯，若能善用圖形，巧用圖形，就能將復(fù)雜的算式巧妙地轉(zhuǎn)化為很簡單的式子，而且使算式變得具體形象，更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。學(xué)完通分后，我出示了一道拓展題。如++ +，由于受思維的定勢作用，學(xué)生看到題目紛紛作答，大部分學(xué)生用通分的方法計算，少部分學(xué)生化成小數(shù)計算，我問：“還有其他方法嗎？”學(xué)生默然，于是筆者出示 ，啟發(fā)學(xué)生思考：“答案就藏在這個長方形里，看誰的眼睛最亮？”很多學(xué)生半信半疑，筆者又接著說：“你能把這個算式中的分數(shù)在這個長方形中找出來嗎？”一石激起千層浪，學(xué)生們有的動手畫，有的與同桌一起討論，最終有學(xué)生得出下面的線段圖：

此時，有學(xué)生興奮地喊道：“1- = ?！比缓蠊P者讓他們結(jié)合圖形講清道理。之后，又讓學(xué)生在算式后增加了 +，讓他們觀察、計算，并說說有什么發(fā)現(xiàn)。掌握了方法后，他們說：“老師，照這樣規(guī)律不管再增加幾個分數(shù)，結(jié)果都是用‘1減最后一個分數(shù)”“那最后結(jié)果會等于1嗎？”“只能無限接近1，不可能等于1”……學(xué)生們都驚嘆：“圖形真的很神奇！居然能幫我們把這么復(fù)雜的算式變得這么簡單易懂。”

其實，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，圖形的功用遠遠不止這些，諸如數(shù)的大小比較、運算定律的解釋、問題解決等，都可以借助圖形或?qū)嵨锬Ｐ蛠硪龑?dǎo)學(xué)生進行思考，能夠讓學(xué)生在理解與掌握知識、提升學(xué)習(xí)力的同時，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)知識變得更有生命力與魅力。

參考文獻：

[1]陳紅霞.以形助數(shù)，化難為易——試談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].湖北教育（教育教學(xué)版），2010（3）：17-18.

[2]畢娉婷.數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用分析[J].教育現(xiàn)代化，2017（15）：134-135.