分位回歸模型在數(shù)學(xué)成績分析中的應(yīng)用

劉紫璇，劉新紅，郭蕾，胡繼飛，徐英杰

(北京石油化工學(xué)院，北京 102617)

高校學(xué)生考試成績往往是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果和教師教學(xué)水平的重要依據(jù)?！陡叩葦?shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(簡稱概率統(tǒng)計)是全國普通高校理工類專業(yè)的公共基礎(chǔ)必修課，3門數(shù)學(xué)課程的成績往往展現(xiàn)了大學(xué)生的某些數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)成績不僅關(guān)系到學(xué)生對后繼課程的學(xué)習(xí)，而且直接關(guān)系到學(xué)生能力的培養(yǎng)和形成。通常學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)Q于多方面的因素，如學(xué)生自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、教師的教學(xué)能力以及家庭環(huán)境等。

大學(xué)數(shù)學(xué)考試歷史悠久，受到社會的高度認可和高等院校師生的極大關(guān)注。為提高數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)類課程考試，專家學(xué)者從不同角度研究了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績以及尋找影響數(shù)學(xué)成績的因素[1-2]，希望通過成績分析和理論研究，有針對性地進行教學(xué)改革，達到提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績的目的。另外，在分析學(xué)生成績時，諸多單個學(xué)生成績呈現(xiàn)出數(shù)據(jù)冗雜、不直觀，為避免因數(shù)據(jù)龐雜造成分析困難和主觀誤差，在分析學(xué)生成績時，可通過軟件和數(shù)學(xué)模型解決數(shù)據(jù)繁多的棘手問題。

筆者以我校材料與工程學(xué)院16級學(xué)生的數(shù)學(xué)類課程成績?yōu)檠芯繉ο螅ㄟ^統(tǒng)計軟件R并利用分位回歸模型，研究了高考數(shù)學(xué)成績、高等數(shù)學(xué)成績、線性代數(shù)成績、概率統(tǒng)計成績之間的關(guān)系，分析他們之間的影響程度，為提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)成績提供理論支撐。

1 分位回歸模型

Koenker和Bassett于1978年提出分位回歸(Quantile Regression)模型[3]。該模型較傳統(tǒng)線性回歸模型更靈活、更實用。根據(jù)因變量的條件分位數(shù)對自變量X進行回歸，這樣得到所有分位數(shù)下的回歸模型。普通最小二乘回歸只能描述自變量影響因變量Y局部變化范圍，而分位回歸模型能精確地描述自變量對因變量的全局影響，而且可以清楚地刻畫自變量對因變量條件分布形狀的影響。分位回歸能夠捕捉到分布的尾部特征，當(dāng)自變量對不同部分因變量的分布產(chǎn)生不同的影響時，如出現(xiàn)左偏或右偏的情況時，能更加全面的描繪分布的特征，從而得到更全面的分析，而且其分位回歸系數(shù)估計比最小二乘回歸系數(shù)估計更加穩(wěn)健。分位回歸模型廣泛應(yīng)用于政治、經(jīng)濟、自然災(zāi)害等領(lǐng)域[4-8]。

1.1 分位回歸模型

設(shè)隨機變量Y的分布函數(shù)為F(y)，則Y的第τ分位數(shù)為：

Qτ(Y)=inf{y:F(y)≥τ}

對于1組隨機樣本X，則

Qτ(Y|x)=XTατ

稱為τ的條件分位數(shù)函數(shù)，X為P維向量，ατ是回歸系數(shù)組成的向量，可以通過

當(dāng)τ=0.5時，該模型簡化為中位數(shù)回歸，而樣本中位數(shù)回歸是最小化殘差絕對值和的解，即

1.2 分位回歸模型的參數(shù)估計及檢驗

參數(shù)的估計可采用線性規(guī)劃中的單純形算法、內(nèi)點法、預(yù)處理內(nèi)點法、稀疏Frisch-Newton法及罰方法。單純形算法適合樣本量不大和自變量個數(shù)不多的變量，其優(yōu)點是當(dāng)數(shù)據(jù)中存在大量離群點時，單純形算法估計出來的參數(shù)穩(wěn)定性比較好，缺點是在處理大量數(shù)據(jù)時運算的速度會顯著降低。對于樣本量比較大時，可采用內(nèi)點法或預(yù)處理內(nèi)點法。對于樣本量大、自變量個數(shù)很多時，可采用稀疏Frisch-Newton法。而對于罰方法主要包括“l(fā)asso”和 “scad”。這些算法均比較成熟，使用R軟件包中quantreg可實現(xiàn)。參數(shù)的檢驗主要是顯著性檢驗。

1.3 模型的檢驗

模型檢驗主要包括擬似然比檢驗、擬合優(yōu)度及殘差形態(tài)檢驗等。擬似然比檢驗是由Koenker首先提出，用于檢驗整個模型的顯著性。假設(shè)所有參數(shù)均為0，構(gòu)造的統(tǒng)計量為：

分位回歸模型的擬合優(yōu)度是Koenker和Machado提出的，其值介于0與1之間，表達式為：

分位回歸模型主要有2種模式：(1)位置漂移模型，不同分位點的估計結(jié)果之間的斜率相同或近似，只是截距不同。表現(xiàn)為不同分位點下的擬合曲線是平行的；(2)位置—尺度漂移模型，不同分位點的估計結(jié)果之間的斜率和截距都不同。表現(xiàn)為不同分位點下的擬合曲線不是平行的?？梢酝ㄟ^R軟件中KhmaladzeTest函數(shù)檢驗得到[9]。

2 實證分析

數(shù)學(xué)類課程包括高考數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計。由于各地高考制度不同，評分標(biāo)準不同，只整理了高考數(shù)學(xué)考試成績滿分150分的考生成績，剔除掉特殊生源考生，最后只對我校材料與工程學(xué)院16級93名學(xué)生的數(shù)學(xué)類課程成績進行分析。

2.1 數(shù)據(jù)處理與分析

5門課程成績的初步統(tǒng)計分析結(jié)果如表1所示，5門課程成績的箱線圖如圖1所示。高考數(shù)學(xué)成績、高等數(shù)學(xué)上成績和高等數(shù)學(xué)下成績比較集中，而線性代數(shù)成績和概率統(tǒng)計成績相對較分散。5門課程成績的QQ圖如圖2所示，5門課程成績的Shapiro檢驗如表2所示。從表1、表2、圖1和圖2可以看出，5門數(shù)學(xué)類課程考試成績都具有明顯的偏態(tài)和尖峰的特點，Shapiro檢驗的P值都小于5%，拒絕原假設(shè)正態(tài)分布，這些都表明5門課程的成績都不服從正態(tài)分布。

表1 5門課程成績的基本統(tǒng)計分析

圖2 5門課程成績的QQ圖Fig.2 QQ chart of the scores in five courses

圖1 5門課程成績的箱線圖Fig.1 Box chart of the scores in five courses

高考數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)上高等數(shù)學(xué)下線性代數(shù)概率統(tǒng)計Shapiro檢驗0.96650.95640.79750.95750.9510P值0.01400.00270.00000.00320.0012

2.2 相關(guān)性分析

通過R軟件對5門課程成績進行相關(guān)性分析，得到Pearson相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表3所示。5門課程分別在大學(xué)1年級之前、大學(xué)1年級和大學(xué)2年級時完成，課程順序為高考數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計。

表3 5門課程成績的相關(guān)分析

Table 3 Analysis of the correlation between the scores in five courses

高考數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)上高等數(shù)學(xué)下線性代數(shù)概率統(tǒng)計高考數(shù)學(xué)1.00000.14080.20730.24420.1809高等數(shù)學(xué)上0.14081.00000.68600.45780.6102高等數(shù)學(xué)下0.20730.68601.00000.42870.5954線性代數(shù)0.24420.45780.42871.00000.2925概率統(tǒng)計0.18090.61020.59540.29251.0000

相關(guān)分析結(jié)果顯示：(1)高考數(shù)學(xué)成績即學(xué)生進入大學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與后繼數(shù)學(xué)課程都有一定的關(guān)系，但相關(guān)程度并不高，與線性代數(shù)相關(guān)程度最高，也只有0.244 2。(2)高等數(shù)學(xué)上的成績與后期數(shù)學(xué)類課程相關(guān)程度最大，與高考數(shù)學(xué)的相關(guān)程度最低，相關(guān)系數(shù)只有0.140 8。(3)高等數(shù)學(xué)上與線性代數(shù)的相關(guān)程度為0.457 8，高等數(shù)學(xué)下成績與線性代數(shù)的相關(guān)程度為0.428 7，兩者基本持平。主要是由于高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下成績與線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容不一致造成的。另外，高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下成績與概率統(tǒng)計成績的相關(guān)程度基本相同。

2.3 模型的建立

分位回歸模型是處理非正態(tài)分布、極端數(shù)據(jù)、多個變量間相互依賴關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)方法。利用該方法并借助統(tǒng)計軟件R，對概率統(tǒng)計成績與其他4門數(shù)學(xué)課程成績之間建立5%、10%、25%、50%、75%及95%的分位回歸模型，并對模型的合理性和系數(shù)進行顯著性檢驗。

高考數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下、線性代數(shù)及概率統(tǒng)計的成績分別用X1、X2、X3、X4及Y表示，分位回歸模型為：

其中：由截距項、X1、X2、X3和X4組成設(shè)計矩陣，α0τ、α1τ、α2τ、α3τ、α4τ是相應(yīng)τ分位數(shù)的回歸系數(shù)。

最小二乘回歸模型為：

其中：由截距項、X1、X2、X3和X4組成設(shè)計矩陣，α0、α1、α2、α3、α4為最小二乘回歸模型系數(shù)。

2.4 模型結(jié)果的分析

利用R中的quantreg包得到概率統(tǒng)計成績與其他4門數(shù)學(xué)類課程成績之間的分位回歸模型，利用R軟件中1 m函數(shù)得到最小二乘回歸模型，參數(shù)估計結(jié)果如表4所示。

表4 參數(shù)估計結(jié)果

注：*表示在顯著水平是10%的情況下，參數(shù)是顯著的。

5個回歸系數(shù)的顯著性檢驗結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出，該結(jié)果更為直觀，反映的信息也更多。系數(shù)的置信帶蘊藏著關(guān)于因變量條件分布的位置和尺度變化的信息。以高等數(shù)學(xué)上對應(yīng)的回歸系數(shù)α2τ為例，各分位點的系數(shù)估計值用黑點表示，而灰色帶表示其95%的置信帶。觀察其縱坐標(biāo)可以看出，系數(shù)估計的置信帶在小于85%分位點處都在0以上，所以其系數(shù)在小于85%分位點處均顯著。其他回歸參數(shù)的信息分析類似。

圖3 5個回歸系數(shù)的顯著性檢驗Fig.3 Significance test of five regression coefficients

由表4可以看出：(1)不論是低的分位數(shù)，還是高的分位數(shù)，高考數(shù)學(xué)成績對概率統(tǒng)計成績都沒有任何影響；(2)在較低的分位數(shù)5%和10%處，線性代數(shù)成績對概率統(tǒng)計成績的影響是負的，這是由于材料與工程學(xué)院學(xué)生在大學(xué)1年級同時學(xué)習(xí)線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)上有關(guān)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程負擔(dān)過大，影響高等數(shù)學(xué)上的成績，進而影響概率統(tǒng)計的成績呈現(xiàn)負增長趨勢。(3)在5%、10%、25%、50%、75%的分位回歸中，高等數(shù)學(xué)上的成績對概率統(tǒng)計成績的影響程度分別為0.759 5、0.545 4、0.546 6、0.666 2、0.393 8，都是顯著的，是主要影響因素，但對于概率統(tǒng)計成績特別好的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)上成績基本不影響概率統(tǒng)計成績，但是高等數(shù)學(xué)下的成績對其影響顯著，在其他條件不變，高等數(shù)學(xué)下成績增加單位1，概率統(tǒng)計成績增加0.357 9。(4)最小二乘回歸模型的估計與中位數(shù)回歸模型的估計有相同點是高等數(shù)學(xué)上對概率統(tǒng)計成績的影響都是正的，不同的是影響程度不同，分別為0.496 1和0.666 2。另外，在最小二乘回歸中，高等數(shù)學(xué)下成績顯著影響概率統(tǒng)計，其他條件不變的情況下，高等數(shù)學(xué)下成績提高1分，概率統(tǒng)計成績平均提高0.422 7。這些區(qū)別主要是由這些數(shù)據(jù)是尖峰厚尾的特點造成的。其模型檢驗結(jié)果如表5所示。

圖4 10%分位點和90%分位點之間的比較Fig.4 Comparison between 10% and 90% quantiles

從表5可以看出，似然比檢驗的P值比較小，每個分位回歸模型都是顯著的。但從擬合優(yōu)度可以看出，擬合效果一般。

表5 模型檢驗

下面檢驗分位回歸模型中斜率是否相等，F(xiàn)值為5.421 3，對應(yīng)的P值為1.341e-10，P值遠小于5%，故不同分位點下高考數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)上、高等數(shù)學(xué)下、線性代數(shù)對概率統(tǒng)計的影響機制不同。通過KhmaladzeTest檢驗，位置漂移模型T統(tǒng)計量值3.808 748大于位置尺度漂移模型的T統(tǒng)計量值3.095 953，可見相對而言，拒絕“位置漂移模型”的概率更大，故相對而言“位置尺度漂移模型”更加合適一些。

10%(差)和90%(好)的分位回歸估計的概率統(tǒng)計成績?nèi)鐖D4所示。從圖4(a)可以發(fā)現(xiàn)，對于學(xué)習(xí)成績差的學(xué)生而言，在不同分位點估計的概率統(tǒng)計成績差別都很大。而對于學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生而言，低于20%的分位數(shù)差別比較大，大于20%分位點的概率統(tǒng)計的成績差別不大。由圖4(b)可以看出學(xué)習(xí)差的學(xué)生和學(xué)習(xí)好的學(xué)生的概率統(tǒng)計成績的分布曲線。學(xué)習(xí)差的學(xué)生的概率統(tǒng)計成績集中于60～70，比較分散；而學(xué)習(xí)好的學(xué)生的概率統(tǒng)計成績集中于90附近，比較集中。

3 結(jié)論

高考數(shù)學(xué)成績對材料與工程學(xué)院學(xué)生的數(shù)學(xué)類課程成績影響不大，后繼數(shù)學(xué)類課程成績主要靠學(xué)習(xí)大學(xué)的數(shù)學(xué)課程的日積月累。

在5%和10%的分位回歸模型中，線性代數(shù)成績對概率統(tǒng)計成績的影響是負的。原因是線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課程內(nèi)容基本不相關(guān)；其次，材料與工程學(xué)院學(xué)生在1年級同時學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)，高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、任務(wù)繁重，對于較差學(xué)生而言，負擔(dān)過大，建議材料與工程學(xué)院學(xué)生在大學(xué)2年級時再開線性代數(shù)課程。

高等數(shù)學(xué)是概率統(tǒng)計課程的先修課，從分位回歸模型中也得到了有效驗證。高等數(shù)學(xué)成績每提高1分，不同分位點處的概率統(tǒng)計成績得到不同的提高，可以引導(dǎo)不同分位點處的學(xué)生及時調(diào)整學(xué)習(xí)進度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣，啟發(fā)教師進行針對性地教學(xué)改革，提升教學(xué)效果。該模型不僅可應(yīng)用于學(xué)生數(shù)學(xué)成績的預(yù)測，同時對學(xué)生規(guī)劃自己的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)輔導(dǎo)起到一定的參考作用。