以課堂模式改革　促數(shù)學課堂轉變

黃灝　何昌貴　何炳春

【摘 要】通過中小學數(shù)學課堂，我們要教、引導或傳遞什么？這是一個貌似極易回答的問題，因為放眼國內中小學數(shù)學課堂，充滿了數(shù)字、符號、公式和運算，以及題型分類、技巧總結等微觀戰(zhàn)術，但如果僅止步于此，筆者認為，那只能算是“教書”，并沒有“育人”，而后者更為重要，影響更加深遠。那么，數(shù)學課堂如何將教書、育人有機融合？為形象、準確地回答此問題，本文以《圓柱的體積》說課為例，從滲透數(shù)學文化、啟蒙思維方法、導入數(shù)學公式和引導深入思考幾個層面予以闡釋，探討數(shù)學課堂授之以“漁”的重要性、必要性和可循方法。

【關鍵詞】數(shù)學文化;思維方法;啟發(fā)思考

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0198-03

1? ?滲透數(shù)學文化：創(chuàng)新+思考

所謂“育人”，不能簡單地認為是通過政治課堂、思想教導就可以完成的，這是狹義層面的認知。廣義而言，文化傳遞、思維訓練和習慣培養(yǎng)等都屬于“育人”的范疇。毋庸置疑，各學科都承擔著“育人”的重要使命，數(shù)學課堂亦不例外。張奠宙先生指出：“數(shù)學文化必須走進課堂”。那么，什么是數(shù)學文化，學界尚無確切的定義，我們也沒有必要糾結其具體內涵，但可以從數(shù)學文化的導入方式、主要目的和重要意義等方面予以理解。

數(shù)學課堂的組成元素，并非只有數(shù)字、符號和公式，老師還可以挖掘、引入與本課堂相關的妙趣橫生的故事和血肉豐滿的人物，讓學生徜徉在數(shù)學歷史中，深切感受解決數(shù)學問題時歷經周折的艱辛、奇思妙想的樂趣和取得成果后的欣喜，深入體會數(shù)學學科的重要價值與永恒魅力，極大激發(fā)其學習數(shù)學的欲望和提升其學習數(shù)學的興趣，無形中牽引著學生探討數(shù)學問題的信心。

以《圓柱的體積》課堂為例，相對直接“和盤托出”圓柱的體積公式，在課堂開始時，用8-10分鐘時間導入如下有趣的故事，更能勾起學生的興趣。故事名為“面積也可以稱出來”：有一個縣為了搞農業(yè)規(guī)劃，需要準確地計算出全縣的土地面積。地圖上雖然有比例尺，但是縣的邊界是彎彎曲曲的，怎樣才能計算出這個縣的面積呢？有一位木工師傅想出了一個巧妙的方法。他把地圖貼在一塊厚薄均勻的木板上，沿著這個縣的邊界鋸下一塊來，仔細地稱出這塊本板地圖的重量。他再從同一塊本板上鋸下一平方米木板，也仔細地稱出它的重量。這樣，只要算出木板地圖的重量是一平方米木板的多少倍，就知道木板地圖的面積是多少平方米。再把這個數(shù)乘以地圖比例尺的平方，就是這個縣的面積。

這個“稱面積”的數(shù)學故事，與其說是在教授一種“稱”的方法，不如說是讓學生覺得“很有意思”，原來還可以如此腦洞大開，竟然還可以這般“神”操作，充分調動他們的學習興趣和打開他們的思維空間。

洛倫S﹒巴里特在《教育的現(xiàn)象學研究手冊》中說，“我們希望對學生認真負責的教師總是不斷地根據(jù)學生的興趣和需要來改變‘處理的方式”[1]，興趣是最好的老師、欲望是前行的動力，在巧妙“破冰”之后，用投影趁勢展現(xiàn)出本課教材情境圖“圓柱體”，拋出第一個核心問題：圓柱體積如何計算？與圓柱的哪些元素相關？這時，學生將更加愿意去思考，更加大膽地去猜想，無論猜想正確與否，被動接受與這種能動性、參與性所產生的效果不可同日而語。

但是，受應試教育的影響，當前大部分數(shù)學教學依然過分關注數(shù)學知識的積累和數(shù)學技巧的訓練，使數(shù)學逐漸喪失了原有的文化氣質、價值魅力，僅剩下大量赤裸的數(shù)字、冰冷的公式和學生愁眉苦臉的運算，這是數(shù)學教育的悲哀。在這種狹隘教育理念和短期成績導向下，從某種意義上來說，培養(yǎng)的是數(shù)學狀元、奧林匹克競賽冠軍，但不等于是數(shù)學大家，后者才是數(shù)學價值的彰顯者和創(chuàng)造者。為了還原數(shù)學本應有的文化溫度，掃除學生畏懼、厭倦數(shù)學的種種障礙，逐漸改變日前普遍注重短期成績的現(xiàn)象，筆者認為，老師應該懷揣一種傳承數(shù)學文化的情懷與堅持，積極挖掘“創(chuàng)新+思考”的數(shù)學文化魅力，并通過一方講臺持續(xù)傳播開去，從課堂文化層面，建立一種敢于打破常規(guī)思維、勇于大膽猜想的氛圍，讓數(shù)學的教與學的過程充滿奇思、樂趣和成就感。

2? ?啟蒙思維方法：類比、遷移、變形等

如果把一堂數(shù)學課比喻成一臺偵探話劇，通過滲透數(shù)學文化調動起學生的求知欲只是起到了“搭臺”和奏響樂器的作用，真正能夠讓學生深入其中去思考的最好方法，是老師預先設定好情景、道具和線索，讓他們可以自行選擇角色，借助已有的知識、方法和工具去探究答案，而不是坐在觀眾席上看著老師推導結果。因為“教育的目的不是讓人類贊美一個現(xiàn)成的立法，而是讓他們能夠欣賞它，改變它[2]?！倍靶蕾p它，改變它”的前提，必定是發(fā)現(xiàn)、探尋到其中的奧妙或謬誤之后才可能做出的行為?？傊?，填鴨式講授，僅能讓學生知其然;情景式探究，還可以讓他們知其所以然，且是刻骨銘心、難以忘卻的。

以《圓柱的體積》課堂為例，在8-10分鐘數(shù)學文化滲透之后，設計20-25分鐘的新知探究環(huán)節(jié)，讓學生們踏上一場猜想驗證之旅。操作如下：一是說明探究目的和注意事項;二是為學生提供圓柱（實心、空心各一個）、等分的圓柱、天平、長方體容器、水、幾個同樣大小圓柱形的橡皮泥、1立方厘米的小正方體（實心）、直尺等學習材料;三是把學生劃分成若干小組，4人/組，讓各組選擇需要的材料開始探究。

我們在巡視中發(fā)現(xiàn)：有的小組根據(jù)探究圓面積時想到的畫曲為直的方法直接選取等分的圓柱;有的小組根據(jù)探究長方體、正方體體積時所用的測量上升部分水的體積和溢出部分水的體積的方法;有的小組選擇了圓柱形的橡皮泥，再把橡皮泥捏成長方體，進而測量長方體的長、寬、高求出體積;還有一個小組特別有想法，從開課時“稱面積”的故事中得到啟發(fā)，選擇了天平和1立方厘米的小正方體，稱出了材料中實心圓柱的體積。最后，經各小組共同商議，匯報展示了如下三種方法：（1）求上升部分水的體積和溢出部分水的體積;（2）圓柱體轉化成長方體求體積。（3）稱出圓柱的體積。這時，老師再進一步引導學生總結歸納，自然而然地導入圓柱體積的計算公式=底面積乘以高（sh）。

有人可能會說，不管怎么教，結論都是一樣的，那么這一番“折騰”的意義何在？筆者認為，本課固然要教給學生圓柱體積的公式，但不是全部目的，訓練其探究過程中的思維方法同等重要。“思維懷著去發(fā)現(xiàn)新事物的愉快心情和勇氣走向世界，期待著天天都有新的發(fā)現(xiàn)”[3]，比如，學生借用橡皮泥將圓柱體“轉化”為長方體，用“等積變形”的原理，將已掌握的長方體體積的計算方法“遷移”到圓柱體體積計算中來。如此以來，不僅可以加深學生對圓柱體體積公式的理解與記憶，還可以從小培養(yǎng)他們解決數(shù)學“新問題”的思維習慣。

數(shù)學學科的發(fā)展，必然是通過解決“新問題”來推動的。讓我們做個極端的假設，假設學生記住了所有的數(shù)學公式，并歸納總結出了所有“老問題”的解決套路，那么在各種數(shù)學考試、競賽中都將所向披靡，但如果他們不具備解決“新問題”的思維習慣與能力，一旦拐到“老問題”“套路”之外的跑道上，在一個需要創(chuàng)造性解決問題的情況下，極有可能出現(xiàn)不知所措、舉步維艱的狀況。這是一種可怕的現(xiàn)象，足以讓數(shù)學學科停滯不前，以致于影響其他學科的發(fā)展。但是，目前很多數(shù)學課堂都在努力制造這種現(xiàn)象，教與學之間充斥的全是計算公式、解題技巧和考試秘籍，而忽略了數(shù)學思維方法的啟蒙教育。筆者認為，著眼于數(shù)學學科的未來建設及社會文明的長遠發(fā)展，這是值得深思并亟需做出方向性調整的，應逐步轉向學生數(shù)學思維的敏銳性、創(chuàng)造性和批判性的培養(yǎng)上來。

3? ?引導深入思考：多種應用，多維思考

引導學生推出圓柱體積的計算公式=底面積乘以高（sh）之后，對于學生來說，就又獲得了一種新的數(shù)學工具。在接下來的10分鐘里，我們設計了“小試牛刀”的鞏固練習環(huán)節(jié)，讓學生可以親自操刀去“解?！保w會運用這個新工具的方法和要領，才能真正將口訣轉化為應用，實現(xiàn)從理論到實踐的轉變。

在這個環(huán)節(jié)，我們設計了三道練習題和一個小視頻。三道練習題都是求圓柱的體積，難度逐漸遞進。第一道練習題屬于“書本型”的，給出圓柱底面積的半徑和圓柱的高，求圓柱體積;第二道練習題屬于“應用型”的，通過兩幅圖展示，分別求房子上圓柱形的柱子需要多少木材、圓柱形的杯子能裝多少水;第三道練習題則屬于“思考型”的，只給出圓柱的側面積和半徑R，求圓柱的體積，再次引發(fā)學生的深度思考，然后引導展示出圓柱體積=二分之一側面積×R。最后，利用2分鐘播放小視頻：阿基米德發(fā)現(xiàn)圓柱容球，給學生們留下進一步思考的空間。

為什么要引發(fā)學生的深入思考，而不是止步于圓柱體積公式的教導？筆者認為，如果說在學習過程中啟蒙學生思維方法，利用舊知轉化成新知、利用遷移規(guī)律把知識轉化成技能、利用極限思想進行推導等，是為了讓學生“學進去”，那么，這個環(huán)節(jié)則是讓學生“用出來”。這里的“用出來”，包含幾個層面，一是學會運用v=πr2h公式和給定的數(shù)值進行代入式計算，這是最基礎的應用;二是能夠利用圓柱體積公式解決水利、建筑等工程中的實際問題;三是將圓柱體積知識進行遷移，去思考所知數(shù)值不充分的圓柱體、不規(guī)則的圓柱體抑或圓錐等的體積計算辦法，養(yǎng)成延伸式思考的習慣，這才是將知識轉化為應用的正確解讀。

不難發(fā)現(xiàn)，這又循環(huán)到了用“已知”去探究“新知”的環(huán)節(jié)，同其他學科一樣，數(shù)學學習也應該是螺旋上升式的。然而，在應試教育理念作用下，很多學生所掌握的數(shù)學原理、方程式是背誦習得的，習得后就把它們安放在一排排的暗盒里，然后貼上標簽，需要用到哪個就去相應的盒子里抽取。于是，這些原理、公式之間，左右是割裂的、上下是斷層的。在這種情況下，即便它們的數(shù)量規(guī)模越來越大，卻并不能產生創(chuàng)造性的生命力。因此，筆者認為，老師應該引導學生深入思考、積極鉆研，逐步改變這種機械式的應用與輸出局面。

綜上所述，通過《圓柱的體積》說課，可知中小學數(shù)學課堂不僅要教會學生計算方法，還肩負著滲透數(shù)學文化、啟蒙數(shù)學思維方法和引導學生深入思考的使命，這些使命的意義和影響更加深遠，值得每位數(shù)學老師去思考和踐行。

附：《圓柱的體積》板書

【參考文獻】

[1][美]洛倫S﹒巴里特，托恩﹒比克曼.教育的現(xiàn)象學研究手冊[M].北京：教育科學出版社，2010.

[2]《關于國民教育的五篇論文》，第85、86、93頁。

[3][德]E卡﹒西爾.啟蒙哲學[M].濟南：山東人民出版社，2007.