小變動(dòng) 大變化 一根數(shù)軸定乾坤
——巧用數(shù)軸求億以內(nèi)非整萬數(shù)的近似數(shù)

胡亞萍

數(shù)軸的概念正式出現(xiàn)是在人教版七年級，但是在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)軸的影子時(shí)有出現(xiàn)。本節(jié)課中筆者提及的數(shù)軸不是嚴(yán)格意義上的數(shù)軸，它更多的是小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)軸的影子。

用四舍五入法求億以內(nèi)非整萬數(shù)的近似數(shù)，是人教版四年級上冊第一單元《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》中的內(nèi)容。教學(xué)用書中這樣寫道：教材先說明近似數(shù)的作用，再用擬人化的形式，通過太陽與地球的對話顯現(xiàn)常識(shí)，介紹如何用“四舍五入”法求出非整萬數(shù)的近似數(shù)，再改寫成用“萬”作單位的數(shù)。

在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)的錯(cuò)誤率居高不下。大多數(shù)教師都會(huì)按照教材呈現(xiàn)的流程進(jìn)行教學(xué)，但是效果并不理想。

于是我們思考：究竟是什么原因?qū)е逻@么高的錯(cuò)誤率？原因1：教材存在盲點(diǎn)，教材給出了求億以內(nèi)非整萬數(shù)的近似數(shù)，應(yīng)該運(yùn)用四舍五入法，并且也已經(jīng)說明是舍還是入要看省略尾數(shù)部分的最高位的數(shù)是小于5 還是等于大于5。但是為什么可以用四舍五入法，以及為什么保留到萬位只要看尾數(shù)部分的最高位，教材都沒有涉及，而這點(diǎn)恰恰是學(xué)生們需要探索與理解的。原因2：教學(xué)中教師也不深究為什么看尾數(shù)部分最高位的緣由。筆者尋訪了很多一線數(shù)學(xué)教師，他們大多說不出原因。教材中沒有提及，教師沒有細(xì)想，學(xué)生也只知其然而不知其所以然，于是它就像一個(gè)教學(xué)黑洞，誰都沒有觸及，但是誰都在背負(fù)著沒有觸及所帶來的結(jié)果。這種不理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就像是依葫蘆畫瓢，沒有生長點(diǎn)、沒有生命力。

針對此原因，筆者嘗試著改進(jìn)。大膽引入數(shù)軸，利用數(shù)軸的直觀、具體，用一根數(shù)軸貫穿一節(jié)課的始終，數(shù)形結(jié)合，引領(lǐng)學(xué)生尋根溯源。

一、借助數(shù)軸巧追問——學(xué)習(xí)四舍五入法

1.用一根數(shù)軸復(fù)習(xí)整萬數(shù)的改寫。

學(xué)習(xí)從一條射線開始。射線的端點(diǎn)用0 表示，射線可以向另一邊無限延伸，用一個(gè)箭頭表示。把端點(diǎn)到第一個(gè)點(diǎn)的距離看成是10000，那么端點(diǎn)到第二個(gè)點(diǎn)的距離就是20000，端點(diǎn)到第三個(gè)點(diǎn)的距離就是30000。其實(shí)這也就是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)軸的影子。之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了整萬數(shù)的改寫，所以10000 可以寫成1萬，20000 可以寫成2 萬，30000 可以寫成3 萬。

2.整體尾數(shù)觀察法求非整萬數(shù)的近似數(shù)。

在實(shí)際生活中，有的量很難或者沒有必要用準(zhǔn)確數(shù)表示，這時(shí)我們常常用近似數(shù)來表示。比如地球的直徑是12756 千米，那么地球的直徑大約是多少萬千米呢？

先請學(xué)生找到12756 在數(shù)軸上的大概位置，學(xué)生發(fā)現(xiàn)12756 比1 萬多，比2 萬小。

追問1：12756 是接近1 萬還是接近2 萬？

顯然，從數(shù)軸上看它更接近10000，所以12756≈1 萬。在這里我們把萬后面的尾數(shù)“2756”舍去，引出約等號(hào)，說明1 萬在這里是一個(gè)近似數(shù)。在這一環(huán)節(jié)中，利用數(shù)軸讓學(xué)生初步感知近似數(shù)。然后讓學(xué)生猜想18134 約等于幾萬？

追問2：我們什么時(shí)候把萬后面的尾數(shù)看成1萬，什么時(shí)候把萬后面的尾數(shù)省略？

結(jié)合數(shù)軸觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，它是以萬的一半——5000 為分界線的。尾數(shù)在1～4999 省略，尾數(shù)在5000～9999 算1 萬，教師指出只要尾數(shù)到分界線5000 就算1 萬。這樣，15000 就約等于2 萬。之后讓學(xué)生結(jié)合數(shù)軸用觀察尾數(shù)是否達(dá)到5000 的方法求出太陽直徑的近似數(shù)。

3.尾數(shù)是否到5000，只要看千位。

完成幾個(gè)小練習(xí)。80344999 約等于幾萬？萬后面的尾數(shù)是4999，比5000 小，應(yīng)該省略，所以80344999≈8034 萬。160850 約等于幾萬？萬后面的尾數(shù)是850，比5000 小，所以160850≈16 萬。

我們已經(jīng)知道，萬后面的尾數(shù)是省略還是算1萬，是看它的尾數(shù)有沒有到5000 決定的。

追問3：萬后面的尾數(shù)有沒有到5000，又是由哪個(gè)數(shù)位上的數(shù)決定的呢？

學(xué)生豁然開朗，其實(shí)就是由尾數(shù)部分的最高位——千位決定的。如果千位上的數(shù)小于5，說明萬后面的尾數(shù)不到5000，就舍去；如果千位上的數(shù)大于或等于5，說明萬后面的尾數(shù)大于或等于5000，就又多了1 萬，所以向萬位進(jìn)1。

借助直觀形象的數(shù)軸，通過教師的三次追問，層層遞進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生了解為什么可以用以及怎樣用四舍五入法求億以內(nèi)非整萬數(shù)的近似數(shù)。跟教材與一般教師上課不同的是，在本設(shè)計(jì)中，通過數(shù)形結(jié)合學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識(shí)到精確到萬位是以萬的一半——5000 為分界線的，而是否到達(dá)5000，其實(shí)是由千位決定的。筆者認(rèn)為這樣尋根問源的四舍五入法的教學(xué)才是有意義的。

二、借助數(shù)軸猜想驗(yàn)證——完善四舍五入法

經(jīng)過課堂上的幾個(gè)小練習(xí)之后，教師引領(lǐng)學(xué)生二次猜想，并用數(shù)軸進(jìn)行驗(yàn)證，完善對四舍五入法的認(rèn)知。

猜想1：一個(gè)數(shù)，四舍五入后是107 萬，這個(gè)數(shù)最大是幾，最小又是幾？請你先猜想一下，然后借助數(shù)軸驗(yàn)證你的猜想。

四舍五入后是107 萬，有兩種可能，一種是由舍得到，說明原來的數(shù)比107 萬大，另一種是由入得到，說明原來的數(shù)比107 萬小。那么大多少？又小多少呢？學(xué)生猜想之后，讓他們在數(shù)軸上標(biāo)一標(biāo)，驗(yàn)證自己的猜想是否正確。

猜想2：2002年，中國科技館總共接待觀眾1843527 人次。省略百位后面的尾數(shù)是多少？想一想省略百位后面的尾數(shù)，是以多少為界限呢？它只要看哪一位上的數(shù)，然后四舍五入就可以了？省略千位后面的尾數(shù)呢？

在猜想與驗(yàn)證中，學(xué)生明白其實(shí)它是以百的一半——50、千的一半——500 為界限的。所以只要看十位、看百位后四舍五入即可。

完善：通過兩次猜想，既是對四舍五入法的運(yùn)用，又是對四舍五入法認(rèn)知建構(gòu)的完善。由之前省略萬后面的尾數(shù)拓展到省略百后面、千后面的尾數(shù)，通過不完全歸納法演繹出四舍五入法的基本準(zhǔn)則：是舍還是入，要看省略尾數(shù)部分的最高位上的數(shù)是小于5 還是等于或大于5。

一根數(shù)軸的引入，這一小小的變動(dòng)，筆者認(rèn)為引來了三點(diǎn)大的變化：1.對知識(shí)的學(xué)習(xí)重在引領(lǐng)學(xué)生追根溯源。借助數(shù)軸，學(xué)生能直觀地感受到一個(gè)非整萬的數(shù)更接近哪個(gè)萬，教師由此展開追問，它是由哪個(gè)數(shù)為界限的，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)想象與數(shù)學(xué)猜測，第一次感受，原來萬后面的尾數(shù)應(yīng)該與萬的一半5000 進(jìn)行比較。到不到5000，決定它能不能算一萬。之后，又引領(lǐng)學(xué)生探尋，到不到5000 其實(shí)是由哪個(gè)數(shù)位決定的？經(jīng)過三次追問，多次尋根，學(xué)生豁然開朗，原來四舍五入法是這樣來的，也從知其然到知其所以然。2.對知識(shí)的學(xué)習(xí)注重舉一反三，重知識(shí)更重能力。在最后，筆者安排了兩次猜想，這是一種學(xué)習(xí)能力的提升，也是一種認(rèn)知的完善。因?yàn)槭歉膶懗捎萌f作單位，所以我只要看它是不是到5000，也就是看千位上是不是到5，現(xiàn)在是改寫成用百作單位，那我們應(yīng)該看百位后面的尾數(shù)是不是到了百的一半——50，也就是看十位上是不是到5。筆者以為，這是教師在有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，并且在層層遞進(jìn)的猜想中，四舍五入法的概念也更加完整、清晰。3.注重直觀教學(xué)在數(shù)學(xué)初步學(xué)習(xí)中的重要地位。四年級的學(xué)生處在直觀思維向抽象思維過渡的階段。所以，本節(jié)課充分利用了學(xué)生的這個(gè)認(rèn)知特點(diǎn)，以一根數(shù)軸貫穿整堂課，數(shù)形結(jié)合之后帶領(lǐng)學(xué)生向抽象思維過渡，真正讓學(xué)生既有直觀印象，又有抽象提升。