可視，可操作，可推理 讓學(xué)生體驗研究性學(xué)習(xí)
——《梯形的面積公式推導(dǎo)》教學(xué)實踐探索

俞旭華 韓偉珍

梯形的面積公式推導(dǎo)是平面規(guī)則圖形面積計算系列中，最后一種直邊圖形的面積公式推導(dǎo)。比較人教版、浙教版、青教版、西師大版、北師大版、蘇教版等六個版本教材發(fā)現(xiàn)，所有教材都較為重視用多種方法推導(dǎo)梯形的面積計算公式，每個教材都基本提供三種教學(xué)思路。

綜合各個版本的教材，我們進行梳理發(fā)現(xiàn)，梯形面積公式的推導(dǎo)方法大致有以下九種。

六個版本的教材中，有四個版本未提供數(shù)據(jù)，只有圖片顯示切割轉(zhuǎn)化方法，沒有梯形面積公式的推導(dǎo)過程；其余兩個版本提供了梯形的數(shù)據(jù)，并有梯形面積公式的推導(dǎo)過程。

根據(jù)梯形面積公式推導(dǎo)的呈現(xiàn)方式，我們把學(xué)生的探究水平分成三個層次：

images/BZ_29_237_2449_363_2539.png平類別 達到的要求直觀的探究水平 通過割、補、割補把梯形轉(zhuǎn)化成已知圖形，轉(zhuǎn)化過程只要能畫出直觀圖形即可。具體的探究水平 不僅會轉(zhuǎn)化圖形，而且通過測量或?qū)ふ液线m的數(shù)據(jù)，還能計算出梯形的面積。形式化的探究水平 不僅能夠畫出轉(zhuǎn)化的圖形，還能計算出面積，最后推導(dǎo)出梯形的面積計算公式。

然而在教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，一般梯形面積公式的推導(dǎo)都要教師予以暗示和啟發(fā)：先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)推導(dǎo)三角形面積的轉(zhuǎn)化方式，或者把平行四邊形分割成兩個完全一樣的梯形，用這樣的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，由此推導(dǎo)梯形的面積公式。為什么要做這些鋪墊和復(fù)習(xí)呢？因為很多情況下，能“獨立自主”探究梯形面積公式的學(xué)生人數(shù)極少，所謂的探究，更多的是學(xué)生在教師的“指令”下機械性地“操作”。于是，我們進行思考：提供怎樣的學(xué)習(xí)材料更有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)梯形的面積公式？如果提供了合適的材料，那在九種推導(dǎo)方法里，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)哪幾種？哪種方法出現(xiàn)的頻率比較高？自主探究后，怎樣進行反饋交流？

我們發(fā)現(xiàn)，以上六種版本中沒有利用網(wǎng)格幫助學(xué)生推導(dǎo)梯形面積公式的方法。事實上，運用網(wǎng)格可以讓圖形的數(shù)據(jù)更明顯，研究更可視化，因為推導(dǎo)平行四邊形面積時，網(wǎng)格雖然僅用于數(shù)格子法，但不可否認，有了網(wǎng)格線做平行四邊形的背景，學(xué)生對沿高剪下一個三角形補到平行四邊形的另一端形成長方形，有更精準的認識。所以我們進行假設(shè)，在推導(dǎo)梯形的面積公式時，如果提供網(wǎng)格背景材料，可能會讓學(xué)生的探究和發(fā)現(xiàn)更加主動、深刻，且推導(dǎo)梯形面積公式的方法更豐富，為此我們做了前測調(diào)查分析和報告。

研究主題：學(xué)生推導(dǎo)面積計算公式時需要用網(wǎng)格嗎？——網(wǎng)格對學(xué)生推導(dǎo)梯形面積公式作用的調(diào)查計劃與分析

一、調(diào)查目的

學(xué)生學(xué)習(xí)梯形面積公式前的認知起點調(diào)查與分析，主要調(diào)查學(xué)生在獨立思考推導(dǎo)梯形的面積公式時有哪些不同的方法。

二、調(diào)查假設(shè)

提供網(wǎng)格背景對學(xué)生推導(dǎo)梯形面積公式的方法多樣化和深刻性方面具有較大的影響。

三、變量控制

同年級平行班調(diào)查，（盡量控制平行班之間認知差異較小、教學(xué)進度一樣）學(xué)生獨立做題，控制時間為10 分鐘，測查教師不干預(yù)學(xué)生思考。

四、變量差異

調(diào)查三個班的變量差異。

班1：只提供梯形圖。

班2：提供網(wǎng)格背景的梯形圖，且梯形的上底、下底、高的端點正好在格點上。

班3：提供網(wǎng)格背景的梯形圖，且梯形的上底、下底、高和中位線的端點都在格點上。

五、調(diào)查樣本選擇

在筆者所在學(xué)校選擇了五年級三個班的學(xué)生。（未對這三個班的學(xué)生教學(xué)過梯形的面積計算公式，但他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形等面積計算公式的推導(dǎo)）

六、調(diào)查結(jié)果初步分析

研究要求：請你算出這個梯形的面積。

研究結(jié)果統(tǒng)計表

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 3 0 3 3 0其他 0 1 1 0 1 1 1 1 1合計 11 11 1 18 19 10 23 21 15images/BZ_30_1299_385_1431_454.pngimages/BZ_30_1295_308_1440_373.png

1.只提供梯形圖。（班1：34 人）

學(xué)生自己尋找數(shù)據(jù)或轉(zhuǎn)化成其他圖形后，算出梯形面積的學(xué)生占測試總數(shù)的32%，有68%的學(xué)生完全錯誤，其中有近10%的學(xué)生完全空白。在計算出梯形面積的學(xué)生中，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形的有3 人，分割成兩個三角形的有2 人，分割成兩個三角形和一個長方形的有2 人，補成平行四邊形的有3 人。

2.提供網(wǎng)格背景的梯形圖。（班2：36 人）

能正確算出梯形面積的學(xué)生占測試總數(shù)的53%，有28%的學(xué)生對梯形的面積公式進行了猜測，且推理正確。在計算出梯形面積的學(xué)生中，九種圖形轉(zhuǎn)化方法出現(xiàn)了七種，其中倍拼法、分割成兩個三角形、分割成一個平行四邊形和一個三角形的方法，學(xué)生能在格點背景圖的幫助下算出面積后，更順暢地推測出面積計算公式。

3.提供網(wǎng)格背景的梯形圖。（班3：32 人）

能正確算出梯形面積的學(xué)生占測試總數(shù)的66%，有47%的學(xué)生對梯形的面積公式進行了猜測，而且推理正確。在出現(xiàn)的所有方法中，圖形轉(zhuǎn)化頻率最高的方法是分割成兩個三角形和一個長方形。在算出梯形面積的學(xué)生中，九種圖形轉(zhuǎn)化方法出現(xiàn)了八種，公式推導(dǎo)最順暢的方法是倍拼法、分割成兩個三角形和沿中位線對折剪開把兩個梯形拼成平行四邊形這三種。

綜上所述，根據(jù)前測調(diào)查，學(xué)生對于梯形面積計算公式的推導(dǎo)，利用網(wǎng)格做背景，且上底、下底、高和中位線的端點都在格點上，更具可視性，學(xué)生更易操作、更能理解、推理、推導(dǎo)出梯形的面積公式，并能進行多樣化理解，使思維更加具有靈活性和深刻性。

【教學(xué)過程】

一、拋出問題，引導(dǎo)轉(zhuǎn)化

師：這個梯形的面積指哪部分？

師：你有辦法算出這個梯形有多大嗎？（學(xué)生口答分成兩個三角形或分成平行四邊形和三角形等）

師：是的，變成三角形、變成平行四邊形就好算了，因為這幾種圖形我們已經(jīng)會算了，這種方法極好，我們稱之為“轉(zhuǎn)化”。（板書“轉(zhuǎn)化”）

師：剛才已經(jīng)有同學(xué)說到把梯形分成兩個三角形，這樣的轉(zhuǎn)化方法可以簡稱“分”；（板書“分”）像推導(dǎo)三角形面積的時候，我們把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，這樣的轉(zhuǎn)化方法叫“合”，（板書“合”）在推導(dǎo)平行四邊形面積的時候，用到“移”和“補”。（板書“移”“補”）

師：這節(jié)課，我們就要運用以前學(xué)過的知識，通過“分”“合”“移”“補”，把梯形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形，算出它的面積，并探索梯形的面積計算公式。

【設(shè)計意圖：化歸思想是教學(xué)平面圖形面積系列的方法基礎(chǔ)，從教材編者的角度看，化歸思想在平行四邊形面積推導(dǎo)時是“有指導(dǎo)的探究”，在三角形面積推導(dǎo)階段是“有指導(dǎo)的應(yīng)用”，在梯形面積推導(dǎo)階段應(yīng)該是“自主應(yīng)用”化歸思想，所以設(shè)計中，以解決問題導(dǎo)入，讓學(xué)生在方法的探索中，從無意識走向有意識，對化歸思想方法有更明確的認識，才有自主應(yīng)用?！?/p>

二、分合移補，自主建構(gòu)

1.學(xué)生使用《探究作業(yè)單》完成探究任務(wù)。（提供帶網(wǎng)格的梯形圖，且相應(yīng)邊的端點在格點上）

任務(wù)一：算出梯形的面積。

任務(wù)二：對比新圖形與梯形的面積關(guān)系以及新圖形的邊與梯形邊的對應(yīng)和關(guān)系。

任務(wù)三：根據(jù)計算梯形面積的算式，猜測梯形面積的公式。

（學(xué)生探究，教師進行指導(dǎo)，特別關(guān)注學(xué)困生，及時給予指導(dǎo)。教師在巡視中，也要關(guān)注學(xué)生自主探究時出現(xiàn)頻率更高的方法）

2.反饋交流。

（1）四人小組交流。

師：說一說，你是怎么算出梯形的面積的？說一說，梯形與新圖形的面積以及邊的對應(yīng)關(guān)系。說一說，梯形的面積公式可能會是怎樣的？為什么？

師：相互交流后，把你們認為最好的轉(zhuǎn)化方法，畫在大圖上，準備全班交流。

（2）全班交流。

師：每個小組把你們認為最合適的方法轉(zhuǎn)化圖貼在大屏幕上，請小組派兩人合作匯報和板書。如果有方法類似的小組，請聽后進行補充。

課堂中形成有側(cè)重的幾種梯形面積公式的推導(dǎo)：

●推導(dǎo)一：梯形的面積=平行四邊形的面積

（2+8）×（4÷2）=20cm2

面積=（上底+下底）×（高÷2）

●推導(dǎo)二：梯形的面積=平行四邊形的面積

（2+8）÷2×4=20cm2

取長補短，平行四邊形的底是梯形

上底下底和的一半

面積=（上底+下底）÷2×高

●推導(dǎo)三：梯形的面積=平行四邊形面積的一半

（2+8）×4÷2=20cm2

面積=（上底+下底）×高÷2

●推導(dǎo)四：梯形的面積=兩個三角形的面積之和

2×4÷2+8×4÷2=20cm2

面積=上底×高÷2+下底×高÷2

推導(dǎo)一

推導(dǎo)二

推導(dǎo)三

推導(dǎo)四

（3）舉一反三，代數(shù)思維。

生：同一個梯形，我們用不同的轉(zhuǎn)化方式推導(dǎo)出了這么多的公式，那么梯形的面積公式到底是什么呢？它們之間有什么聯(lián)系呢？

師：其實這幾個面積公式是一樣的，我們通過整理可以發(fā)現(xiàn)，它們都可以變成“（上底+下底）×高÷2”的形式。用字母表示是S=（a+b）×h÷2。

（4）課件呈現(xiàn)所有的轉(zhuǎn)化方法。

師：（課件呈現(xiàn)所有的轉(zhuǎn)化方法）如果把這九種轉(zhuǎn)化方法按照分、合、移、補分類，各是哪幾種？

（3、5、6 為分，2 為合，9 為補，1、4、7、8 為移。課件歸并展示分類）

【設(shè)計意圖：這節(jié)課，我們希望學(xué)生經(jīng)歷用分、合、移、補等方法探索梯形面積計算方法的過程，培養(yǎng)空間觀念；經(jīng)歷方法的交流詮釋、轉(zhuǎn)化溝通、抽象概括過程，掌握梯形的面積計算公式，培養(yǎng)代數(shù)思維能力。因而課堂重點在開放探究和歸納溝通，所以這兩個環(huán)節(jié)應(yīng)給予學(xué)生充分的時間思考、計算、交流、溝通。特別在反饋階段，由于涉及方法太多，切忌平均使用力量，所以在開放探究和小組交流的基礎(chǔ)上溝通歸納，對各類方法有所側(cè)重，而學(xué)生最容易想到的分的方法，可以作為計算組合圖形面積的思路?！?/p>

采用帶網(wǎng)格的梯形進行教學(xué)，杜絕了教師指引下的“操作木偶”，讓學(xué)生帶著想解決的問題對梯形進行“分”“合”“移”“補”，轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，自主性強。轉(zhuǎn)化后的圖形與原梯形面積、對應(yīng)邊之間的關(guān)系一目了然，使研究具有可視性。由于研究材料的更新，促使圖形轉(zhuǎn)化的難度降低，學(xué)生不但輕松理解轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)越性，而且使研究更加深入，對梯形面積公式的歸納、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)更充裕?？梢?、可操作、可推理，學(xué)生經(jīng)歷了把新圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形、從具體數(shù)據(jù)計算到推導(dǎo)梯形面積公式，最后代數(shù)化思維得到梯形面積字母公式，這樣的過程讓學(xué)習(xí)真實發(fā)生，讓學(xué)生體驗探究性學(xué)習(xí)的樂趣，這正是本課研究價值所在。