基于生活背景深入理解法則
——《乘除與加減混合運(yùn)算》教學(xué)思考與實(shí)踐

沈佳璐

一、緣起

2018年5月，浙江省功勛教師張?zhí)煨⒗蠋煄ьI(lǐng)新思維團(tuán)隊(duì)來(lái)到新灣小學(xué)，圍繞“拓展課程”建設(shè)開(kāi)展校本教研活動(dòng)。在這次活動(dòng)中，我第一次接觸到張老師編寫(xiě)的《新思維兒童數(shù)學(xué)》，單看其中的一個(gè)個(gè)題目，感覺(jué)與人教版的知識(shí)點(diǎn)差不多，但仔細(xì)分析題目的前后聯(lián)系、發(fā)展序列，則給學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)預(yù)留了很大的空間。因此，我嘗試將《新思維兒童數(shù)學(xué)》與人教版?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，特別開(kāi)設(shè)了《乘除與加減混合運(yùn)算》這一堂課，寫(xiě)下案例與大家分享。

二、內(nèi)容分析

1.比較四種教材。

●內(nèi)容安排

表1 四種教材的內(nèi)容安排

●學(xué)習(xí)起點(diǎn)

表2 四種教材的課時(shí)內(nèi)容、學(xué)生起點(diǎn)情況分析

3人教版二年級(jí)下冊(cè)12 7例1、例2、例3、練習(xí)十一、例4、練習(xí)十二、整理和復(fù)習(xí)、練習(xí)十三二年級(jí)上冊(cè)：100 以?xún)?nèi)加減法、表內(nèi)乘法（一）（二）二年級(jí)下冊(cè)：表內(nèi)除法（一）（二）4蘇教版三年級(jí)下冊(cè)10 5 例1、例2、例3、練習(xí)五、算“24 點(diǎn)”二年級(jí)上冊(cè)：100 以?xún)?nèi)加減法、表內(nèi)乘法（一）（二），表內(nèi)除法（一）（二）二年級(jí)下冊(cè)：有余數(shù)的除法、兩位數(shù)的加法和減法三年級(jí)上冊(cè)：兩位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)

2.為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減？

史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則》中提到“在混合運(yùn)算中，關(guān)于運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則：有括號(hào)，先計(jì)算括號(hào)中的算式；沒(méi)有括號(hào)，先計(jì)算乘除后計(jì)算加減。”“可是，為什么要有這樣的規(guī)定呢？”“為了訴說(shuō)規(guī)定存在的合理性，就必須回到現(xiàn)實(shí)世界?！薄八谢旌线\(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事。在混合運(yùn)算中，可能是大故事包含小故事，也可能是幾個(gè)故事并列。在原本的意義上，這些故事應(yīng)當(dāng)分別計(jì)算，即先計(jì)算每一個(gè)具體的故事，然后再計(jì)算整體的故事，統(tǒng)觀(guān)數(shù)學(xué)史，早期的數(shù)學(xué)都是這樣計(jì)算的。如果希望用一個(gè)式子表達(dá)這樣的故事，就形成了混合運(yùn)算：用括號(hào)表示大故事所包含的小故事，用加號(hào)表示并列的故事?！?/p>

3.關(guān)鍵問(wèn)題。

（1）知識(shí)背景。

學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元之前，已經(jīng)理解了加、減、乘、除的實(shí)際意義，有了運(yùn)用連加、連減、加減、乘加（僅限于先乘后加）混合運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但把加法和乘除混合在一起解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是第一次。另外學(xué)生可能會(huì)受到原有知識(shí)（連加、連減、加減、乘加混合）的干擾，仍然按照從左到右依次計(jì)算的思維習(xí)慣，而加減乘除的兩級(jí)混合運(yùn)算的計(jì)算順序?qū)W生并不是很清楚，也不甚理解，這是教學(xué)的難點(diǎn)。

（2）學(xué)生知其然但不知其所以然。

人教版主題圖的教學(xué)中，求樂(lè)園里的總?cè)藬?shù)時(shí)，學(xué)生傾向于先乘后加，呈現(xiàn)另一個(gè)算式7＋4×3，得出乘法與加法一起運(yùn)算時(shí)都要先算乘法。學(xué)生能“記住”先乘除后加減，但是并不清楚為什么要先算乘法再算加法。練習(xí)時(shí)，乘除與加減的混合運(yùn)算的錯(cuò)誤率往往比同級(jí)運(yùn)算和帶有括號(hào)的運(yùn)算更高。

基于對(duì)以上教材之間的對(duì)比和問(wèn)題的思考，我進(jìn)行了以下教學(xué)實(shí)踐。

三、教學(xué)過(guò)程

1.情境引入。

師：佩奇去文具店購(gòu)物，我們跟著她去看看吧！

【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)低段學(xué)生的年齡特點(diǎn)，從學(xué)生喜愛(ài)的動(dòng)畫(huà)人物引出，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地進(jìn)入主題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)思維的發(fā)展?！?/p>

2.學(xué)習(xí)不同類(lèi)型的混合運(yùn)算。

（1）教學(xué)乘加的運(yùn)算順序。

師：佩奇花了13 元錢(qián)，猜猜她買(mǎi)了什么？

出示：

算式：2×5＋3。

師：這個(gè)算式講了什么事呢？

生：2×5 是兩本書(shū)的錢(qián)，3 是一把剪刀的錢(qián)。

生：還可以買(mǎi)1 把剪刀和2 本書(shū)。算式：3＋2×5。

師：這個(gè)算式講了什么事？

生：3 是一把剪刀的錢(qián)，2×5 是兩本書(shū)的錢(qián)。

師：觀(guān)察這兩個(gè)算式，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式的答案都是13。

生：都是先算2×5，再算加3 的。

師：為什么兩個(gè)算式的答案一樣??？

生：因?yàn)橘I(mǎi)的東西一樣。

師：為什么都要先算乘法？能不能先算3＋2？

生：不能，先算3＋2，答案等于25，不對(duì)了。

師：他從答案的角度來(lái)考慮，如果先算加法就與佩奇實(shí)際花的錢(qián)不一樣了。想想3 指什么？2 指什么？

生：3 是一把剪刀的價(jià)格，2 是書(shū)的本數(shù)。

師：能直接相加嗎？為什么？

生：不能。它們說(shuō)的不是同一個(gè)事情。

師：你也能像佩奇這樣來(lái)買(mǎi)東西嗎？

出示：

師：你可以按照這樣的格式來(lái)說(shuō)——“我買(mǎi)的是____，我的算式是____，它先算____，再算____”。

【設(shè)計(jì)意圖：在解決某個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，理解運(yùn)算的意義，引發(fā)運(yùn)算的需要，討論運(yùn)算的結(jié)果。借助日常情境和圖示，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)算式進(jìn)行比較，一方面學(xué)生能從結(jié)果的角度觀(guān)察到運(yùn)算法則的規(guī)定可以保證結(jié)果的一致性；另一方面，學(xué)生在對(duì)運(yùn)算過(guò)程的情境意義的解釋中進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算符號(hào)對(duì)數(shù)量關(guān)系的表征和表達(dá)，理解規(guī)定運(yùn)算法則的必要性。在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，組織交流，使交流的重點(diǎn)更加突出，認(rèn)知層次更加深入。】

（2）教學(xué)減乘的運(yùn)算順序。

出示：20－2×7。

師：你知道這個(gè)算式說(shuō)的是哪幾件事嗎？

生：我有20 元，買(mǎi)了7 塊橡皮，每塊橡皮2 元，還剩多少錢(qián)？

【設(shè)計(jì)意圖：相對(duì)來(lái)說(shuō)，學(xué)生根據(jù)情境意義列寫(xiě)算式比較容易，而根據(jù)抽象算式構(gòu)想對(duì)應(yīng)情境會(huì)比較難，但可以在兩者之間靈活轉(zhuǎn)換才能表示學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系和符號(hào)意義的認(rèn)知達(dá)到了熟練的水平，所以特別創(chuàng)設(shè)這一任務(wù)，鍛煉學(xué)生的思維能力。】

（3）教學(xué)減除的運(yùn)算順序。

出示：1 把刻刀40 元，3 個(gè)訂書(shū)機(jī)27 元，1 把刻刀比1 個(gè)訂書(shū)機(jī)貴多少元？

師：要求“1 把刻刀比1 個(gè)訂書(shū)機(jī)貴多少元”，要先求什么？

生：要先求1 個(gè)訂書(shū)機(jī)的價(jià)格，算式27÷3＝9，再求1 把刻刀比1 個(gè)訂書(shū)機(jī)貴多少元，算式40－9＝31。

師：你能把兩個(gè)算式合并成一個(gè)綜合算式并計(jì)算嗎？

（4）得出結(jié)論。

觀(guān)察算式，得出結(jié)論：在一個(gè)算式里，既有加減法，又有乘除法，先算乘除，后算加減。

【設(shè)計(jì)意圖：水平遷移，從“和結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)向“差結(jié)構(gòu)”。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境信息列出算式，進(jìn)而結(jié)合實(shí)際情境意義理解并生成正確的計(jì)算順序。比較例題，歸納運(yùn)算順序：有乘除法又有加減法的時(shí)候應(yīng)先算乘除，后算加減?！?/p>

3.鞏固練習(xí)。

【設(shè)計(jì)意圖：鞏固先算乘除后算加減的運(yùn)算順序，把分步算式合并為綜合算式，突破計(jì)算中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，提高計(jì)算能力?！?/p>

4.回顧課堂，小結(jié)。

師：回顧剛才學(xué)的知識(shí)，你有什么想說(shuō)的嗎？

生：我學(xué)到了在一個(gè)算式里，既有加減法，又有乘除法，先算乘除，后算加減。

生：我學(xué)到了生活中的很多問(wèn)題可以列綜合算式來(lái)解答，每一步的計(jì)算都在解決一個(gè)問(wèn)題。

師：是的，今天這節(jié)課，我們就是學(xué)了乘除與加減混合運(yùn)算。你還有什么問(wèn)題嗎？

（揭示課題：乘除與加減混合運(yùn)算）

【設(shè)計(jì)意圖：回顧課堂可以幫助學(xué)生理清所學(xué)知識(shí)的層級(jí)結(jié)構(gòu)，提高認(rèn)知的系統(tǒng)性。最后點(diǎn)題，引出今天學(xué)習(xí)的主題，并引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑。學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。一節(jié)課的結(jié)束不僅體現(xiàn)在解決了一個(gè)問(wèn)題，有了一項(xiàng)收獲，也可能表現(xiàn)在發(fā)生了新的疑問(wèn)，試圖解決新的問(wèn)題，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)提供線(xiàn)索?！?/p>