溝渠·線段圖·數(shù)感
——以圖為媒，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

石 榮

冬日的田野一片寂寥，偶有紫色的草籽點(diǎn)綴其中，一條用以灌溉的溝渠穿越而來，直至中部的河堰。兒時(shí)和小伙伴們在這里嬉戲打鬧，經(jīng)過溝渠之時(shí)，他們都能一躍而過，個(gè)小的我卻只能尋個(gè)稍窄的地方慢慢探身跨過去。那時(shí)的我不明白，小伙伴們怎能毫不猶豫地就跳過去了，而我會(huì)知道自己跳不過去，好像有一股神秘的力量在操縱著這件事?，F(xiàn)在想來，這股神秘的力量應(yīng)該就是潛伏在人身上的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)——數(shù)感。數(shù)感平時(shí)是看不見摸不著的，而在主人需要的時(shí)候它就會(huì)及時(shí)出現(xiàn)。如果溝渠的寬度用線段一來表示，雙腿跨過的距離用線段二來表示，那么只要線段一的長度不超過線段二的長度，就能安全跨過溝渠。二者的長短不需要拿尺子測量，孩子們自身就有這個(gè)能力估計(jì)兩者之間的長短關(guān)系。這使我想起三年級上學(xué)期（人教版三上）在教學(xué)歸總問題時(shí)課堂上畫線段圖的情景。

例題：媽媽的錢買6 元一個(gè)的碗，正好可以買6個(gè)。用這些錢買9 元一個(gè)的碗，可以買幾個(gè)？

讀題后，為了讓學(xué)生更透徹地理解題意，我讓他們在作業(yè)本上畫線段圖。在巡視的過程中，我發(fā)現(xiàn)對于“6 元一個(gè)的碗正好可以買6 個(gè)”這個(gè)條件，學(xué)生都能正確地用線段圖表示出來，而怎么表示“9 元一個(gè)的碗”卻是有些圖不達(dá)意。因而在示范畫圖時(shí)，畫好6 個(gè)6 元一個(gè)的碗后，我問學(xué)生：9 元大概要畫多長呢？大多數(shù)學(xué)生是很茫然的，其中一名學(xué)生卻是高高地舉起了手，他說：先畫和6 元的線段一樣長的線段，9 元比6 元多3 元，3 元是6 元的一半，所以還要再多畫6 元的一半。他的表述清楚，我欣喜地發(fā)現(xiàn)這個(gè)學(xué)生的數(shù)感是強(qiáng)烈的，而且他能借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來表述他所理解的數(shù)學(xué)信息。同時(shí)，我意識到線段圖形象直觀，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的一個(gè)很好的媒介。于是，在教學(xué)中我以線段圖為切入口，有意識地讓學(xué)生更多地畫線段圖，以達(dá)到提高學(xué)生數(shù)感的目的（以人教版三上數(shù)學(xué)教材為例）。

一、利用線段圖理解概念，在概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的過程，實(shí)際上就是掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實(shí)證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高解題技能。因而數(shù)感的培養(yǎng)應(yīng)滲透于概念教學(xué)?！氨丁笔侨辖滩闹幸粋€(gè)很重要的概念，與乘法、除法、分?jǐn)?shù)、比等概念在本質(zhì)上有著內(nèi)在的聯(lián)系，在教材的編排體系中起著承前啟后的作用。在教學(xué)《倍的認(rèn)識》這一課時(shí)，設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖1 是實(shí)物圖，在初步接觸倍的概念后，教師貼一個(gè)藍(lán)臉，學(xué)生貼出它的三倍；教師貼兩個(gè)藍(lán)臉，學(xué)生還是貼出它們的三倍。學(xué)生在這個(gè)練習(xí)中進(jìn)一步理解倍的意義，同時(shí)初步體會(huì)“比較量數(shù)量增加，比較量中的每一份都增加相同的數(shù)量，那么比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間的倍數(shù)關(guān)系是不變的”。在此基礎(chǔ)上，實(shí)物圖變化為圖2 的橢圓形圖，接著抽象成圖3，進(jìn)而變化成更為抽象的圖4——線段圖。在這個(gè)過程中學(xué)生體會(huì)“圖形變而倍數(shù)關(guān)系不變”，思維經(jīng)歷由形象到抽象的變化。利用線段圖進(jìn)行比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的計(jì)算，在用數(shù)字計(jì)算的基礎(chǔ)上用字母來表示：如果標(biāo)準(zhǔn)量用x 來表示，那么比較量就用3x 表示，滲透符號思想。在多次的數(shù)量計(jì)算中感受數(shù)的變化，比較數(shù)的大小，感悟數(shù)量之間的倍比關(guān)系，以達(dá)到培養(yǎng)數(shù)感的目的。

二、利用線段圖比較大小，在比較中增強(qiáng)數(shù)感

在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，不僅是理解數(shù)的需要，同時(shí)也會(huì)加深學(xué)生對數(shù)的實(shí)際意義的理解，使數(shù)感得到發(fā)展。分?jǐn)?shù)是人教版三年級上冊教材的又一重要數(shù)學(xué)概念，與學(xué)生已有的整數(shù)概念是完全不同的。不足一個(gè)的物體的數(shù)量怎么表示在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中是缺失的，特別是對這些數(shù)的大小的概念更是模糊不清，學(xué)生很容易根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)判定小于。教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)的大小比較時(shí)，往往會(huì)借助各種圖形來輔助。而筆者最喜歡用線段圖，因?yàn)榫€段圖能清楚地表示數(shù)量的大小、表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，是解決數(shù)學(xué)問題最重要的輔助手段之一，并且線段圖簡單易畫，可以節(jié)省時(shí)間，提高效率。

圖5

兩條同樣長的線段（單位“1”），一條平均分成2份，一條平均分成3 份，其中的1 份哪個(gè)長？當(dāng)然是平均分的份數(shù)越少，1 份就越長，如圖5。用線段圖表示，它們的大小關(guān)系會(huì)一目了然。

圖6

這道題對于剛剛接觸分?jǐn)?shù)的三年級的學(xué)生來說，理解起來是有一定難度的。那么線段圖在這里絕對有四兩撥千斤的作用。筆者先引導(dǎo)學(xué)生畫出一條線段表示小紅錢數(shù)的，接著畫出同樣長的線段表示小明錢數(shù)的（因?yàn)橥槐緯膬r(jià)錢是同樣多的）。再通過理解和的意義補(bǔ)充畫出小紅的總錢數(shù)和小明的總錢數(shù)，如圖6，誰的錢多一看一比就出來了。

在教學(xué)中要求學(xué)生多畫線段圖，養(yǎng)成畫圖的良好的解題習(xí)慣，借助線段圖通過觀察比較增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)、數(shù)量的敏感度，培養(yǎng)對數(shù)的感覺，豐富對數(shù)的感悟，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的目的。

三、利用線段圖厘清數(shù)量關(guān)系，在清晰數(shù)量關(guān)系中提升數(shù)感

線段圖能使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。用線段圖把問題中的各個(gè)數(shù)量及其相互關(guān)系表示出來，數(shù)形結(jié)合使問題的內(nèi)容具體化、形象化，能幫助學(xué)生理解題意，搞清數(shù)量之間的關(guān)系，尋找出解題的方法。

如，小猴和媽媽上山摘桃，小猴摘了4 個(gè)，媽媽拿一個(gè)桃子給小猴后，剛好是小猴的3 倍，猴媽媽一共摘了多少個(gè)桃？

剛剛學(xué)習(xí)了倍的知識的學(xué)生，對于題中的數(shù)量關(guān)系一時(shí)是弄不清楚的。于是我指導(dǎo)學(xué)生畫了下面的線段圖：

圖7

在反復(fù)讀題理解題意的基礎(chǔ)上一步一步引導(dǎo)學(xué)生畫圖，搞清楚每一個(gè)信息用圖怎么表示，特別是“3倍”的含義：誰是誰的3 倍，標(biāo)準(zhǔn)量是什么。通過圖讓學(xué)生理解了猴媽媽拿了一個(gè)桃給小猴，桃的數(shù)量減少了一個(gè)，而小猴增加了一個(gè)桃，桃的數(shù)量變成了5個(gè)，“3 倍”指的是“猴媽媽拿走了一個(gè)桃后桃子的數(shù)量是小猴增加了一個(gè)桃后桃子的數(shù)量的3 倍，也就是5 個(gè)桃的3 倍，標(biāo)準(zhǔn)量是5 個(gè)桃。厘清了這個(gè)數(shù)量關(guān)系，此題就迎刃而解了。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體形象為主，通過長期的訓(xùn)練讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，有利于學(xué)生的思維從形象思維向抽象思維過渡。要讓學(xué)生在常態(tài)的長期的畫圖訓(xùn)練中經(jīng)歷運(yùn)用符號和圖示描述現(xiàn)實(shí)問題的過程，以此建立符號感，發(fā)展抽象思維，以達(dá)到提升數(shù)感的目的。

總之，以線段圖為媒，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，是解決問題的重要策略，也是培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)感的強(qiáng)有力的手段。