一道教材習(xí)題的推廣和變式研究

周 斌

（浙江省岱山縣初級中學(xué)）

2018年4月，筆者參加了浙江省舟山市教育學(xué)院初中學(xué)科考試評價高級研討班，這次培訓(xùn)的主要任務(wù)是學(xué)習(xí)最新命題理論和技術(shù)，研討《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和教材試題研究，最后的作業(yè)是學(xué)員研制模擬試題.筆者的作業(yè)中，以教材中的一道反比例函數(shù)習(xí)題為題源，進(jìn)行設(shè)計(jì)問題，并對其做了一些推廣，得到培訓(xùn)教師和專家的好評.現(xiàn)談?wù)劸庮}的思考和推廣過程，以拋磚引玉，請教于同行.

一、問題緣起

浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第6章“目標(biāo)與評定”中有這樣一道題目：如圖1，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，AM⊥Ox于點(diǎn)M，若△AMO的面積為3，則k的值為_____.

圖1

圖2

進(jìn)一步思考：同一坐標(biāo)系下，推廣到兩個反比例函數(shù)應(yīng)該也具有類似性質(zhì)，即有以下推廣.

圖3

二、問題設(shè)計(jì)

基于以上思考，在圖3基本圖形的基礎(chǔ)上，運(yùn)用特殊化思想，選取k1=1，k2=2，結(jié)合三角形和四邊形等知識，形成函數(shù)與幾何的綜合題，再進(jìn)一步研究幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系.

題目如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)，A是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作x軸和y軸的垂線交于點(diǎn)M，N，交于點(diǎn)C，B，連接OA交BC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，回答下列問題.

圖4

①四邊形OBAC的面積為______；的值為_____；

②當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時，點(diǎn)A坐標(biāo)為________.

意圖解析：第①問第一個填空目的是考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，推廣到兩個反比例函數(shù)圖象上，這個問題是設(shè)問的基礎(chǔ)，四邊形OBAC的面積轉(zhuǎn)化為矩形ONAM減去△ONB和△OCM的面積，且始終為1，此問面向有一定基礎(chǔ)的學(xué)生.

第2個設(shè)問在這個圖形中進(jìn)一步研究線段的關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和對基本圖形的構(gòu)造能力.設(shè)，則.則AC=CM.同理，可得AB=BN.如圖5，延長BC交x軸于點(diǎn)E，易證△ABC≌△MEC.所以AB=ME，BC=EC.所以.

圖5

第②問的設(shè)置由動點(diǎn)A的位置變化影響△ABC的形狀，探索當(dāng)△ABC為特殊三角形時，求點(diǎn)A的坐標(biāo).因?yàn)椤螧AC為直角，故只需當(dāng)AB=AC時，△ABC是等腰直角三角形，即.解得.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

以上問題貫穿函數(shù)、三角形相似、坐標(biāo)、方程等核心知識.在能力要求上，運(yùn)用相似三角形，坐標(biāo)法表示相關(guān)線段的長度，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)思想，考查核心知識和技能，整體上自然和諧.

三、變式推廣

以上從反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線構(gòu)成的矩形面積不變性出發(fā)，推廣到兩個反比例函數(shù)應(yīng)該也具有類似的性質(zhì).下面我們繼續(xù)從一般化考慮，給出以下變式推廣.

四、反思

在這次培訓(xùn)中，浙江省嘉興市教研員時愛榮老師對試題編制的素材來源做了深刻的講解，其中一點(diǎn)“從教材中選取素材編題”，筆者深有感觸.教材是教師授課的依據(jù)，是學(xué)生獲得知識的主要來源.因此，根據(jù)教材內(nèi)容，將教材中的例題、習(xí)題“喬裝打扮”來敘述，是創(chuàng)作新題的重要方式之一.此題通過對教材習(xí)題的推廣、拓展和延伸，通過聯(lián)想，增加幾何圖形，改變設(shè)問方式，從運(yùn)動的觀點(diǎn)看問題，編制出題目.中考很多試題來源于教材.因此，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)重視對教材的開發(fā)，積極發(fā)揮教材的示范作用.

好的問題具有生長功能，教師可以對教材習(xí)題做更深入的研究，進(jìn)而揭示題目的本質(zhì).例如，在變式3中，筆者曾設(shè)想：把點(diǎn)P的位置特殊化，四邊形ABCD的形狀怎么變化？無獨(dú)有偶，這個想法與2018年浙江省金華卷、麗水卷中考試卷第23題的模型不謀而合.因此，筆者想說的是，對于一個問題，只要有心深入思考，總會有意想不到的收獲，研題永遠(yuǎn)在路上，需要的是教師勤奮的態(tài)度和持之以恒的決心.