以“角的平分線的性質(zhì)”一課為例談數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課

劉其武

（福建省廈門集美中學(xué)）

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的辦法是“做數(shù)學(xué)”.那么“做數(shù)學(xué)”的含義是什么？對很多人而言，“做數(shù)學(xué)”就是演練教材上一道又一道習(xí)題.但對熱愛數(shù)學(xué)的人而言，“做數(shù)學(xué)”則是探索數(shù)學(xué)現(xiàn)象、研究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的過程.數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課強調(diào)“做數(shù)學(xué)”，就是將抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為直觀的實踐，讓學(xué)生感受現(xiàn)象、領(lǐng)悟本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物的共性或規(guī)律，感悟知識的形成過程.

一、數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課的內(nèi)涵

什么叫創(chuàng)課？有研究指出，創(chuàng)課是一項包括創(chuàng)想法、創(chuàng)教材、創(chuàng)設(shè)計、創(chuàng)教學(xué)、創(chuàng)反思的綜合創(chuàng)新工程.如何進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課？筆者認(rèn)為，基于數(shù)學(xué)實驗的創(chuàng)課是針對特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，運用教育技術(shù)，借助實驗工具（如紙片、剪刀、計算器、計算機(jī)軟件等工具）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實驗，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、推理、論證等數(shù)學(xué)基本活動，以探索、理解、驗證數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題為主要目的數(shù)學(xué)課程.

數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課以教材為依據(jù)，緊密結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，鼓勵學(xué)生以類似科學(xué)實驗的方式親身經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程.通過還原知識的形成過程，借助教材中的問題情境，設(shè)計實驗教學(xué)過程，提出動手操作的要求，在實驗的基礎(chǔ)上再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理、論證.其基本步驟如下：（1）給出問題實例，提出問題；（2）完成數(shù)學(xué)實驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）描述實驗結(jié)果，給出猜想；（4）根據(jù)實驗現(xiàn)象，進(jìn)行猜想和論證.下面，筆者以“角的平分線的性質(zhì)”一課的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)實驗創(chuàng)課在教學(xué)中的應(yīng)用.

二、數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課教學(xué)案例

“角的平分線的性質(zhì)”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊的內(nèi)容，是全等三角形知識的運用和延續(xù).本節(jié)課重點探索角的平分線的作法及角的平分線的性質(zhì)，為今后證明兩條線段相等提供思路和方法.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

1.引導(dǎo)學(xué)生在“做”中感受現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問題

探究1：在紙上畫一個角，如何得到它的角平分線？

師生活動：學(xué)生可以用量角器量，也可以用折紙的方法得到.

追問：如果將紙換成木板、鋼板等不方便度量、沒辦法折的角，又該怎么辦？

創(chuàng)課設(shè)計1：感受現(xiàn)象.

師：同學(xué)們見過角平分儀嗎？生活中，工人師傅常常利用這種簡易的角平分儀來平分角.

追問：如圖1就是角平分儀，你能說說為什么角平分儀能平分角嗎？如何利用它平分一個角？角平分儀平分角的原理是什么？如何用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行證明.

圖1

【設(shè)計意圖】在探索角平分儀工作原理的過程中，讓學(xué)生體會判斷依據(jù)是三角形全等的判定方法，為下面用尺規(guī)作角平分線做鋪墊.

創(chuàng)課設(shè)計2：發(fā)現(xiàn)問題.

師：如果沒有平分角的儀器，如何找到角的平分線呢？我們用數(shù)學(xué)的作圖工具，能不能實現(xiàn)角平分儀的功能呢？請大家試著做一做，找到用尺規(guī)作出角平分線的方法，并說明作圖方法與角平分儀的關(guān)系.

追問：（1）此題中已知條件是什么？要求作的是什么？

（2）角平分儀的兩組邊相等，即AB=AD，BC=DC.怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程？

（3）根據(jù)角平分儀的制作原理，對作∠AOB的平分線有何啟發(fā)？

（4）你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？

學(xué)生小組交流后，教師請學(xué)生代表歸納角的平分線的作法，然后利用幾何畫板軟件動畫演示作圖過程，并強調(diào)尺規(guī)作圖的規(guī)范性.

數(shù)學(xué)表達(dá)：如圖2，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

圖2

作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA，OB于點M，N；

（2）分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C；

（3）作射線OC，射線OC即為所求（如圖3）.

圖3

【設(shè)計意圖】通過對角的平分線的作法與角平分儀工作原理的比較過程，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

2.引導(dǎo)學(xué)生在“悟”中揭示本質(zhì)，解決問題

探究2：利用尺規(guī)作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)？

師：如圖4，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取點P，過點P作OA和OB的垂線，分別記垂足為點D和點E，測量PD，PE的長度，并進(jìn)行比較，你能得到什么結(jié)論？

創(chuàng)課設(shè)計3：揭示本質(zhì).

師：如圖5，在角平分儀上的點C的位置系上兩根繩子，繩子的另外兩端分別系在AB，AD上.要使繩子用料最省，你認(rèn)為應(yīng)該將繩子的兩端分別系在AB，AD的什么位置？

圖4

圖5

教師借助幾何畫板軟件進(jìn)行動畫演示，驗證學(xué)生得到的猜想是否正確.

【設(shè)計意圖】以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生主動參與、親身體驗、自我領(lǐng)悟，從而產(chǎn)生對知識的深刻理解，對技能的深刻感受，對思想方法的切實領(lǐng)會，最終完成對教學(xué)目標(biāo)的頓悟與理解.

追問：（1）讓學(xué)生先觀察所系的兩根繩子的長度有什么關(guān)系？

（2）由此，你能得出什么結(jié)論？

（3）如果改變點C的位置，這個結(jié)論還成立嗎？同樣，如果改變∠BAD的大小呢？

【設(shè)計意圖】在對上述問題的探究過程中，讓學(xué)生體會到角平分線上的任意一點到角的兩邊距離都相等.

猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

追問：這個猜想如何證明？對于這種幾何文字命題，證明步驟是什么？

數(shù)學(xué)表達(dá)：①明確命題中的已知和求證；

②根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證.

已知：如圖4，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.求證：PD=PE.

③ 經(jīng)過分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

證明：因為PD⊥OA，PE⊥OB，

所以∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP.

所以△PDO≌△PEO.所以PD=PE.

追問：你能把角平分線的性質(zhì)用符號語言來表述嗎？

符號語言：因為點P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）

所以PD=PE.（角平分線上的點到角兩邊的距離相等.）

探究3：角平分線的性質(zhì)有什么作用？如何判斷和證明兩條線段相等？

創(chuàng)課設(shè)計4：解決問題.

師：如圖6，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB，交BC于點D，問能否在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長？若能，試作出點E，并給出證明；若不能，試說明理由.

【設(shè)計意圖】學(xué)生在對以上問題的探究過程中，充分體會角平分線性質(zhì)的作用，經(jīng)歷“實踐—猜想—證明—歸納”的過程，體會研究幾何問題的基本思路，學(xué)會文字語言與符號語言之間的互化和幾何問題的推理論證方法.

圖6

三、幾點思考

分析以上課例，實驗創(chuàng)課設(shè)計是根據(jù)教材的內(nèi)容，構(gòu)建讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生自己動手實驗操作，探索發(fā)現(xiàn)各種結(jié)論.在這一過程中把三角形全等作為知識的生長點，使學(xué)生從原有的知識中自然“生長”出新的知識——角的平分線的性質(zhì).這一知識的生長過程是一種主動的探索過程，不僅使新知識找到了牢固的附著點，而且使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在這一探索過程中得到發(fā)展，為學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的落地找到了途徑和方法.

1.數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課以實踐為依托，從現(xiàn)象到本質(zhì)

本課例中，探究角平分線的性質(zhì)就是通過數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課讓學(xué)生親身經(jīng)歷實驗過程，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想、合理猜想，在實驗中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.

（1）展開聯(lián)想.

通過設(shè)計“角平分儀系繩子”實驗，引導(dǎo)學(xué)生觀察實驗現(xiàn)象，在觀察中產(chǎn)生由此思彼的聯(lián)想，聯(lián)想“如果把繩子的兩端分別系在角平分儀邊上的什么位置，繩子的用料最省？”這些問題又不是憑空產(chǎn)生的，而是包含在知識形成過程的現(xiàn)象中.

（2）合理猜想.

科學(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)都是憑直覺做出猜想的，而后才去加以證明和驗證.在數(shù)學(xué)研究上，“先猜測后證明”是一種規(guī)律.上述課例中，通過“角平分儀系繩子”實驗使學(xué)生在展開聯(lián)想的過程中，通過合理猜想發(fā)現(xiàn)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這一結(jié)論.

2.數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課以問題為基點，從猜想到論證

本課例中，探究角的平分線的作法就是讓學(xué)生從現(xiàn)象中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生開展課堂討論，講述想法、鼓勵質(zhì)疑，讓學(xué)生敢說、敢問、敢爭辯，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（1）講述想法.

數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課注重讓學(xué)生講想法，使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是記住結(jié)論和模仿做題，而且要學(xué)習(xí)得到這些結(jié)論的途徑和方法.例如，在本課例探究角的平分線的作法中，教師讓學(xué)生在紙上畫一個角，然后講述平分一個角的方法和理由.

（2）鼓勵質(zhì)疑.

學(xué)起于思，思起于疑.數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課營造了課堂研討問題的氛圍，激勵學(xué)生積極、大膽地把自已異于其他學(xué)生、教師，甚至教材的想法和見解提出來，即使是淺顯的甚至是不正確的，只要敢于質(zhì)疑，都能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

總之，數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課是一種全新且非常有效的教學(xué)方式.本文主要通過一個教學(xué)案例介紹了這種教學(xué)方法的設(shè)計和應(yīng)用過程，并且對其設(shè)計過程進(jìn)行了簡要分析.期望數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)課能夠成為教師落實學(xué)科關(guān)鍵能力的扶梯和抓手，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展.