費(fèi)馬點(diǎn)模型的前世今生

黃祥唇

（福建省德化縣第六中學(xué)）

幾何最值是中考熱門的模型考點(diǎn)之一，它種類多，形式多樣.三角形費(fèi)馬點(diǎn)問題，正是這類問題中的一個.圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決“費(fèi)馬點(diǎn)問題”非常重要的一種工具，用“圖形的旋轉(zhuǎn)變換”的主要目的就是要改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)，將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，起到“畫龍點(diǎn)睛”的作用，從而達(dá)到解決問題的效果.教師講解一個問題時，盡量弄清楚問題的來龍去脈，才能讓學(xué)生“解一題，會一類，通一片”.

一、前世

費(fèi)馬點(diǎn)是一個很神奇的點(diǎn)，也是一個很有用的點(diǎn)，更是一個有趣的數(shù)學(xué)問題，非常值得我們關(guān)注，并深入地研究.為了能更好地理解與運(yùn)用它，我們先來了解一下它的幾個相關(guān)問題.

故事背景：皮耶·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）是17世紀(jì)的一個法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家.之所以稱其業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作.

費(fèi)馬點(diǎn)定義：指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn).它是皮耶·德·費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的，因而稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

費(fèi)馬點(diǎn)的結(jié)論：

（1）對于一個各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120°的點(diǎn).

托里拆利的解法中對這個點(diǎn)的描述是：對于每一個角都小于120°的△ABC的每一條邊為底邊，向外作等邊三角形，然后作這三個等邊三角形的外接圓.托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)就是所要求的點(diǎn).這個點(diǎn)因此也叫做托里拆利點(diǎn).如圖1，在△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，AP+BP+CP取得最小值.

圖1

（2）若三角形有一個內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn).

二、今生

費(fèi)馬點(diǎn)問題的主要解決方法是通過旋轉(zhuǎn)變換來改變線段的位置，從而達(dá)到優(yōu)化圖形的效果.但試卷上呈現(xiàn)出來的除了平鋪直敘的運(yùn)用外，還會運(yùn)用旋轉(zhuǎn)這一主要思想精髓來命題，將這類問題的相關(guān)信息融入到綜合題中，去考查學(xué)生的空間想象能力，以及實(shí)踐探究能力.這會讓很多學(xué)生對此類問題束手無策，甚至不敢觸碰.所以教師講解這類問題時，除了講清問題的來龍去脈，更要講清問題解決的主要精髓，并引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成對問題深入探究的習(xí)慣.

筆者對“費(fèi)馬點(diǎn)模型”深入研究發(fā)現(xiàn)，常有以下幾種情形可以用旋轉(zhuǎn)來解決：

①3條線段的系數(shù)都為1；

②1條線段的系數(shù)不為1；

③2條線段的系數(shù)不為1；

④3條線段的系數(shù)不為1.

下面就一道題目來剖析一下各種可能情形的解決策略.

例1如圖2，點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一動點(diǎn)，已知.求：

圖2

（1）求AD+BD+CD的最小值；

（9）求3AD+4BD+5CD的最小值.

第一種情況：三條線段的系數(shù)都為1的情形.

第（1）小題這種情況，是最直接的運(yùn)用，主要是用“費(fèi)馬點(diǎn)問題”的主要解題策略，即旋轉(zhuǎn)圖形，改變線段的位置，這也是要找相等線段常用的方法.如圖3，把△ACD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，此時有CD=DD′，AD=A′D′，BD保持不動，要想使得DA+DB+DC的值最小，只有A′D′，DD′，DB三條線段在同一條直線上，如圖4所示，求出線段A′B的長即為最小值.

求A′B的長度主要是抓住A′A=A′C，AB=BC，可以判斷此時A′B垂直平分AC于點(diǎn)H，進(jìn)一步可求得∠CBH=45°，∠CA′H=30°，接下來的計算也就順理成章了.根據(jù)條件可求得

圖3

圖4

這個問題還要想清楚：旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)方向是什么？理論上繞△ABC哪個頂點(diǎn)都可以，只要將要旋轉(zhuǎn)的△ACD向就近的邊AC外旋轉(zhuǎn)60°就可以了.但對于具體的題目還是要考慮到條件所給量，會帶來不一樣的運(yùn)算量.這種問題需要有較強(qiáng)的推理能力和運(yùn)算能力，這種題目也是訓(xùn)練運(yùn)算能力的好題目.

讀者也可以把其他頂點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，嘗試構(gòu)圖與計算，在此不再贅述.

第二種情況：1條線段的系數(shù)不為1.

第（2）（3）小題這種情形，與“阿氏圓問題”“胡不歸問題”一樣的地方是如何將帶有系數(shù)不為1的線段轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，所以可順著上面的思路，先改變線段的位置，再考慮系數(shù)問題.這里可以通過三角形位似，以及直角三角形的邊的比例關(guān)系來改變系數(shù)，這種情形的系數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)的是可以聯(lián)想到等腰直角三角形的三邊之比是，所以是旋轉(zhuǎn)90°；可以聯(lián)想到頂角為120°的等腰三角形的三邊之比是，所以是旋轉(zhuǎn)120°.然后再將三條線段共線（即兩點(diǎn)之間線段最短），就可以求出最小值了，如圖5、圖6所示.

圖5

圖6

至于計算，這種問題經(jīng)常是用一線三等角相似（全等）、三角函數(shù)、勾股定理等即可求解.

不為1的系數(shù)能加在其他線段上嗎？當(dāng)然可以，誰加系數(shù)就轉(zhuǎn)誰，不然會比較麻煩.

第三種情況：2條線段的系數(shù)不為1.

第（4）小題是雙系數(shù)，這類問題由于初中知識的限制，所給的系數(shù)是有一定關(guān)系的，不難發(fā)現(xiàn)它們滿足勾股關(guān)系BD的系數(shù)為1，不動.這樣只能旋轉(zhuǎn)△ADC，先來嘗試以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，并按上面問題處理的旋轉(zhuǎn)方式來旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到△A′CD′.再把A′D′以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，就得到A″D″=2AD，此時CD″=2CD.如圖7，當(dāng)時問題得解.不難發(fā)現(xiàn)此時∠DCD′=60°，∠D″DC=90°，所以是旋轉(zhuǎn)60°.這里△DCD″是直角三角形，主要是由“”的系數(shù)大小決定的.

圖7

還要注意的是，旋轉(zhuǎn)中心要定在哪個點(diǎn)？為什么旋轉(zhuǎn)角為60°呢？旋轉(zhuǎn)方向是什么？旋轉(zhuǎn)中心可以是點(diǎn)A嗎？當(dāng)然可以.但此時旋轉(zhuǎn)角大小就要改為90°，縮放比例就要改為倍.這個問題若是“悟”明白，這些問題也就清楚了！

圖8

圖9

圖10

對于這類問題，主要是考慮把哪條線段的系數(shù)作為縮放的比例，再由另一個不為1的系數(shù)來決定旋轉(zhuǎn)的角度（90°或60°或30°）. 若中間的線段（DD″）的系數(shù)是最大的，那就是旋轉(zhuǎn)90°，否則就是60°或30°.

第四種情況：3條線段的系數(shù)不為1.

第（7）～（9）小題是三系數(shù)，一般三個系數(shù)都滿足勾股關(guān)系，它可以通過提公因數(shù)的方法把三系數(shù)轉(zhuǎn)化為雙系數(shù)或單系數(shù)問題，然后按第（2）～（6）小題的方法來處理，要注意的是最后的結(jié)果需要乘所提取的系數(shù).

這樣的問題，其實(shí)只要系數(shù)是滿足任意一組勾股關(guān)系的都是可以的.解決時主要是看好旋轉(zhuǎn)中心，定好縮放比例.至于旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)90°比較多，有時也旋轉(zhuǎn)60°或30°或120°.

為什么要是勾股數(shù)呢？其實(shí)也是受初中知識的限制，初中沒有余弦定理，查表也無法計算對邊長.

“費(fèi)馬點(diǎn)模型”解題思路：旋轉(zhuǎn)、放縮、定線段、計算，即通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，根據(jù)條件中的系數(shù)定縮放比例，再確定要求的線段（三“折”轉(zhuǎn)一“直”），最后計算.旋轉(zhuǎn)的角度經(jīng)常是60°或90°或120°或30°.

三、來世

好問題的研究，不僅要研究它的解決策略，還要研究它解決問題的精髓是什么.費(fèi)馬點(diǎn)模型的精髓是旋轉(zhuǎn)變換，改變線段的位置，優(yōu)化圖形.所以我們要學(xué)會用旋轉(zhuǎn)來解決問題.在使用這一方法時需存在相等的線段，即當(dāng)題目出現(xiàn)等腰三角形（等邊三角形）、正方形條件時，可將圖形作旋轉(zhuǎn)變換，將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，使問題得以解決.

例2如圖11，設(shè)點(diǎn)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A，B的距離分別為3，2.求PC的最大值.

圖11

圖12

解：如圖12，連接PC，

將△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCP′.

則AP=CP′，BP=BP′.

根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，PC≤PP′+P′C（當(dāng)P，P′，C三點(diǎn)共線時取等號）.

故PC的最大值為PB+PA=2+3=5.

變式：如圖13，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°，AB=4，AD=3，求對角線AC的最大值.

圖13

【反思】這里主要是利用“費(fèi)馬點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)的解題思想，通過旋轉(zhuǎn)改變線段的位置，從而達(dá)到優(yōu)化圖形的目的.當(dāng)然這兩道題都還可以用其他的旋轉(zhuǎn)方法來解題.

教師對線段最值問題只研究到“將軍飲馬”問題這一層面是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.作為一線教師要讓學(xué)生在處理幾何問題時有模型意識，并且要讓學(xué)生學(xué)得“寬、深、透”，力爭讓學(xué)生達(dá)成數(shù)學(xué)玩轉(zhuǎn)模型、解題靠研究的境界.