一道2019年高考模擬試題的探究與推廣

北京首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 田朋朋

2019年北京市東城區(qū)高考文科第二次模擬考試壓軸題題目如下：

試題已知橢圓C:=1 (a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為A為橢圓C的左頂點(diǎn),P,Q為橢圓C上異于A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線AP,AQ與直線l:x=4分別交于M,N兩點(diǎn).

(1) 求橢圓C的方程；(2) 若△PAF與△PMF的面積之比為,求M的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)R,若P,F,Q三點(diǎn)共線,求證：∠MFR=∠FNR.

試題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中的幾何性質(zhì)等知識(shí).考查數(shù)形結(jié)合、方程、轉(zhuǎn)化與化規(guī)、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法以及運(yùn)算求解能力.尤其是第三問(wèn),不僅可以通過(guò)將題干中的三點(diǎn)共線條件轉(zhuǎn)化為斜率相等進(jìn)行求解,還可以通過(guò)計(jì)算兩向量數(shù)量積為零進(jìn)行證明.但這兩種方法計(jì)算量比較大,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.其實(shí)本試題有著射影幾何的命制背景,我們可以從射影幾何的角度來(lái)認(rèn)識(shí)本試題的結(jié)構(gòu),認(rèn)清其背后蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)背景.下面首先簡(jiǎn)單介紹一些射影幾何中與二次曲線相關(guān)的基本理論.

1.射影幾何中二次曲線的相關(guān)理論

定義[1]：如圖1,點(diǎn)P為不在二次曲線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交二次曲線于點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于點(diǎn)N,連接EG,FH交于點(diǎn)M,則MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.特別地,若P是二次曲線上的點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.同理直線PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線,直線PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線,MNP稱為自極三角形.

圖1

(2)當(dāng)點(diǎn)P為二次曲線外的點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作二次曲線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.則點(diǎn)P的極線為直線AB.

(3)當(dāng)點(diǎn)P為二次曲線內(nèi)的點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交二次曲線于點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于點(diǎn)N,連接EG,FH交于點(diǎn)M,則MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

在《高等幾何》[2]一書中有：點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于二次曲線C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的極線方程為

即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.

特別地：(1) 對(duì)于橢圓C:=1,與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為=1；

(2)對(duì)于雙曲線C:,與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為

(3)對(duì)于拋物線y2=2px與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y=p(x+x0).

事實(shí)上,圓錐曲線方程中,以x0x替換x2,以替換x,即可得到P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程.且可看出：圓錐曲線的焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為準(zhǔn)線.

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定理2[1]如果P點(diǎn)的極線通過(guò)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的極線也通過(guò)P點(diǎn).

2.解法探究與推廣

解析(1)(2) 略.

(3) 如圖2,橢圓C:的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x=4,點(diǎn)B為橢圓長(zhǎng)軸上的右頂點(diǎn).連接直線QB,則與直線l交于點(diǎn)M；連接直線PB,則與直線l交于點(diǎn)N,即△MFN為自極三角形.

此時(shí)設(shè)M(4,m),N(4,n),則點(diǎn)M(4,m)關(guān)于橢圓C的極線為直線NF,即NF方程為x+=1.又點(diǎn)N(4,n) 在直線NF上,因此有4+=1,即mn=-9.此時(shí)FR=3,即有MR·NR=FR2,即又因MR⊥x軸,所以有△MFR∽△FNR,因此∠MFR=∠FNR,證畢.

圖2

由此可見,該試題為射影幾何中的極點(diǎn)極線理論在圓錐曲線中的初等化表現(xiàn).當(dāng)改變?cè)囶}中點(diǎn)A的位置或者直線PQ的位置時(shí),其射影結(jié)構(gòu)本質(zhì)上不會(huì)發(fā)生改變,繼續(xù)運(yùn)用極點(diǎn)極線理論推理可得到如下推論.

推論1 已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過(guò)焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為橢圓C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交準(zhǔn)線l:x=于M,N兩點(diǎn),則

(1)M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值

圖3

(2)MF⊥NF.

證明如圖3,點(diǎn)F(c,0) 關(guān)于橢圓C:的極線為準(zhǔn)線連接直線AF交橢圓C于點(diǎn)B.連接直線QB,則與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M,連接直線PB,則與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)N,△MFN為自極三角形.此時(shí)設(shè)則點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的極線為直線NF,即NF方程為又點(diǎn)在直線NF上,因此有解得mn=此時(shí)因此有MR·NR=FR2,即又因MR⊥x軸,即△MFR∽△FNR,因此∠MFN=90o,即MF⊥NF,證畢.

推論2 已知雙曲線C:=1 (a＞0,b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過(guò)焦點(diǎn)F的直線交雙曲線C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為雙曲線C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),則

(1)M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值

(2)MF⊥NF.

推論3 已知拋物線C:y2-2px(p＞0)的右焦點(diǎn)為過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為拋物線C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),則

(1)M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值-p2.

(2)MF⊥NF.

推論4 已知橢圓C:過(guò)定點(diǎn)D(t,0)的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為橢圓C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交直線于M,N兩點(diǎn),則M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值

圖4

證明如圖4,點(diǎn)D(t,0) 關(guān)于橢圓C:=1 (a＞b＞0)的極線為直線連接直線AD交橢圓C于點(diǎn)B.連接直線QB,則交 準(zhǔn) 線l于 點(diǎn)M；連 接直線PB,則交直線l于點(diǎn)N,△MFN為自極三角形.此時(shí)設(shè)則點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的極線為直線NF,即NF方程為又點(diǎn)在直線NF上,因此有解得mn=證畢.

推論5 已知雙曲線過(guò)定點(diǎn)D(t,0)的直線交雙曲線C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為雙曲線C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交直線于M,N兩點(diǎn),則M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值

推論6 已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過(guò)定點(diǎn)D(t,0)的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A為拋物線C上任意一點(diǎn)(異于P,Q),直線AP,AQ分別交直線l:x=-t于M,N兩點(diǎn),則M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值-2pt.

推論2 和推論3 的證明可參考推論1 的證明過(guò)程,推論5 和推論6 的證明可參照推論4 的證明過(guò)程.