例談面面垂直的證明策略

廣東省英德中學(xué)(513000) 陳國(guó)宗

一、概述

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考的必考考點(diǎn)之一,問(wèn)題的考查形式分為位置關(guān)系的證明與相關(guān)量的計(jì)算,其中位置關(guān)系的證明會(huì)直接或間接地影響相關(guān)量的計(jì)算,尤其是面面垂直的證明,然而筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)面面垂直的證明得分率偏低,原因在于學(xué)生對(duì)面面垂直的證明理解不夠深刻,知其然而不知其所以然,缺乏具體的證明策略.為此,筆者對(duì)面面垂直的證明題型進(jìn)行歸納分類,結(jié)合具體實(shí)例揭示出證明面面垂直的本質(zhì)與細(xì)節(jié),培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、例題分析

類型一公共棱上存在(易作)垂線

例1(2017 全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ理科節(jié)選) 如圖1,四面體ABCD中,△ABC是 正 三角形,△ACD是直角三角形.∠ABD=∠CBD,AB=BD.

圖1

求證：平面ACD⊥平面ABC.

圖2

證明取AC中點(diǎn)為O,連接BO,DO,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以BO⊥AC.令|AB|=a,則|AB|=|AC|=|BD|=a.因?yàn)椤鰽CD是直角三角形,故所以|OD|2+|OB|2=|BD|2,由勾股定理的逆定理可得OB⊥OD.因?yàn)镺D ∩AC=O,所以O(shè)B⊥平面ACD,又OB ?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.

評(píng)注對(duì)于上述證明過(guò)程,筆者曾對(duì)學(xué)生提出一個(gè)問(wèn)題：你是如何想到去構(gòu)造輔助線OB,并證明OB⊥平面ACD的? 學(xué)生的回答大多是“直觀想象”又或者是“只可意會(huì)不可言傳”,當(dāng)然筆者并不否定學(xué)生直觀想象的能力,但擔(dān)憂在某些情況下可能無(wú)法直觀想象出來(lái).事實(shí)上,從逆推的思想出發(fā),假設(shè)平面ACD⊥平面ABC成立,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,其中一個(gè)平面內(nèi)垂直公共棱的直線垂直另外一個(gè)平面,這就是為什么要構(gòu)造輔助線OB,并證明OB⊥平面ACD的原因.其本質(zhì)為面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理之間的邏輯轉(zhuǎn)化.

類型二公共棱上無(wú)明顯的垂線

例2(2018年深圳一模理科節(jié)選) 已知三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,BB1=4 且A1C1⊥BB1,且∠A1B1B=45o.

圖3

求證：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1.

證明作A1D⊥BB1,垂足為D.已知底面ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形且∠A1B1B=45o,所以A1D=2,因 為A1C1⊥BB1且A1C1∩A1D=A1所以BB1⊥平面A1C1D,故∠B1DC1=90o.又B1A1=B1C1且BD1=BD1,所以△A1B1D∽=△C1B1D,故C1D=A1D=2,所以C1D2+A1D2=A1C21,從而C1D⊥A1D,又C1D ∩BB1=D,所以A1D⊥平面BCC1B1,且A1D ?平面ABB1A1,所以平面BCC1B1⊥平面ABB1A1..

圖4

評(píng)注本題的特點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共棱上沒(méi)有明顯的垂線,同時(shí)也成為了解題的難點(diǎn).此時(shí)可考慮在其中一個(gè)平面內(nèi)向公共棱作垂線且垂足的位置確定,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類型一,從而成功地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直的證明.

類型三公共棱上無(wú)法作出垂線

引理若α⊥β,n ?α,m ?β且n⊥m,則n⊥β或m⊥α.

證明①若n⊥β,則結(jié)論成立.

②若n不垂直β,如圖5所示設(shè)α ∩β=l,n ∩l=A,在平面α內(nèi)以A為垂足作AB⊥l.已知α⊥β,則AB⊥β,又m ?β故AB⊥m,又n⊥m,n ∩AB=A且n ?α,AB ?α,所以m⊥α.

圖5

評(píng)注該引理可理解為面面垂直性質(zhì)定理的推廣：如果兩個(gè)平面垂直,則這兩個(gè)平面內(nèi)互相垂直的兩條直線中至少有一條垂直另外一個(gè)平面.該引理為我們?cè)谧C明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直時(shí)提供了有力依據(jù).

例3在直棱柱ABC=A1B1C1中,AB=AC,BC=CC1,D,E分別是棱BC與CC1的中點(diǎn).求證：平面ABE⊥平面AB1D.

圖6

證明在直棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,AD ?平面ABC,所以B1B⊥AD,又AB=AC,D為棱BC中點(diǎn),BE ?平面BCC1B1,所以AD⊥BE,又BC=CC1,故四邊形BCC1B1為正方形.所以所以∠BB1D=∠EBC,故∠BB1D+∠B1BE=∠EBD+∠B1BE=90o,所以BE⊥B1D,又AD ∩B1D=D,故BE⊥平面AB1D且BE ?平面ABE.所以平面ABE⊥平面AB1D.

評(píng)注本題的難點(diǎn)在兩平面的公共棱上沒(méi)有明顯的垂線,且不容易在其中某個(gè)平面內(nèi)向公共棱作垂線.分析題目的已知條件,發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平面存在互相垂直的直線即AD⊥BE根據(jù)引理,結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及逆推的思想,實(shí)現(xiàn)將面面垂直的證明轉(zhuǎn)化為線面的證明即BE⊥平面AB1D.

三、鞏固練習(xí)

習(xí)題1 如圖6,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2 的正方形,E為CD的中點(diǎn),以AE為折痕把△ADE折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,且∠PAB=60o.求證：平面PEC⊥平面PAB.(提示：嘗試證明PE⊥平面PAB.)

圖7

習(xí)題2 設(shè)D是直角△ABC斜邊AC的中點(diǎn),AB=將△CBD沿著BD翻折,使得點(diǎn)C到達(dá)P點(diǎn)位置,且AP=求證：平面PBD⊥平面ABD.(提示：作BD中點(diǎn)O連接OP,嘗試證明OP⊥平面ABD.)

圖8

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文例題的分析,我們發(fā)現(xiàn)證明面面垂直的本質(zhì)實(shí)際上將其轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,然而我們教師在面面垂直證明的教學(xué)中不能只是簡(jiǎn)單抽象地概括為轉(zhuǎn)化兩個(gè)字,還應(yīng)充分揭示轉(zhuǎn)化的細(xì)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生在不同的情景中歸納出轉(zhuǎn)化的方式,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力,這樣我們的教學(xué)才能更進(jìn)一步地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).