2019年高考數(shù)學(xué)立體幾何專題解析

天津師范大學(xué)教育學(xué)部 (郵編：300387)

天津市第四十三中學(xué) 王利群 (郵編：300110)

1 引言

高中數(shù)學(xué)立體幾何內(nèi)容包括立體幾何初步、空間向量與立體幾何兩部分，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.總覽《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))和《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》(以下簡稱考試大綱)后發(fā)現(xiàn)，立體幾何專題內(nèi)容主線突出，以核心知識為重點、以基本圖形為載體、著重考查空間中點、線、面的位置關(guān)系的判斷和證明，以及空間角、幾何體的表面積和體積等幾何量的計算，突出體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)——直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象的考查[1].

對2019年13套高考數(shù)學(xué)試卷中立體幾何試題進(jìn)行全面分析和研究，力圖準(zhǔn)確把握其命題特點和趨勢，以期對高中的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)提供參考.

2 試題特點

2.1 題量、題型和分值相對穩(wěn)定

總覽13套試卷發(fā)現(xiàn)每套試題基本上以“一小題一大題”或“兩小題一大題”的形式出現(xiàn)，分值穩(wěn)定在17-22分之間，考查題型涉及選擇題、填空題和解答題.其中，解答題以常見的空間幾何體為載體，考查方式、方法相對固定，選擇題或填空題需要學(xué)生想象并構(gòu)建幾何圖形，考查畫圖能力，是對解答題的有效補充，使立體幾何問題呈現(xiàn)重點突出、考査全面、形式多樣、解法靈活等特點[2].值得一提的是，為了與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的要求相吻合，2019年高考命題大幅度減弱對三視圖這一題型的考查，除北京卷和浙江卷外，其余地區(qū)均未考查三視圖.

2.2 考查內(nèi)容集中，重點突出

高考立體幾何試題考查內(nèi)容集中，重點突出.考點多集中在空間幾何體體積、距離、空間角、點、線、面位置關(guān)系的證明以及運用向量法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系等方面.

從題型來看，錐體、柱體、球體等空間幾何體的體積、點到面的距離的計算是選擇和填空題考查的重點；解答題一般有兩至三問(天津卷和北京卷有三小問)，除上海卷外(線面夾角)，第一問均考查線面、面面平行或垂直的證明，通?？疾閷W(xué)生運用綜合幾何法解決問題的能力.理科第二問注重對空間角，如線面角、二面角的考查，尤其是二面角的正弦值和余弦值，旨在考查學(xué)生運用向量法解決立體幾何問題的能力，體會向量方法的作用；文科第二問一般求體積、面積和點到面的距離.此外，北京卷的第三問考查了探索性問題，探索使結(jié)論成立的條件，對學(xué)生空間想象能力和運用數(shù)學(xué)知識、方法，分析問題、解決問題的綜合數(shù)學(xué)能力要求較高.

2.3 文、理科試題一致性較強(qiáng)

2019年13套高考數(shù)學(xué)立體幾何試題中，除上海卷和浙江卷文、理不分科外，文、理科試題差異著重體現(xiàn)在解答題第二問上.對于文、理分科的試卷，除全國I卷之外，其他試卷中立體幾何文、理科選擇題與填空題均相同，個別試卷題號不同；除天津卷外，其他試卷的立體幾何試題解答題題目和第一問均相同，且江蘇卷文、理科解答題完全相同.這體現(xiàn)了新課改的理念，為逐步全面實施新課改，文、理不分科作鋪墊.

3 試題舉例分析

3.1 線、面平行或垂直關(guān)系

高考對點、線、面位置關(guān)系的考查重點是證明直線、平面平行或垂直關(guān)系，一般在解答題第一問中.解決這類問題的基本思想方法是轉(zhuǎn)化，即將三維空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為二維直線與直線的位置關(guān)系.解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線、平面平行或垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理.圖1是點、線、面位置關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖，顯示了空間直線、平面平行或垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.

圖1 點、線、面位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖

例1 (北京卷·理12)已知l、m是平面α外的兩條不同直線，給出以下三個論斷：①l⊥m；②m//α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：______．

解析三個命題中選出兩個作為條件共有3種選法，即此題可能的答案有3種.利用直線、平面平行的垂直的性質(zhì)定理和判定定理確定正確的組合.

若①②，則③.當(dāng)l⊥m，m//α?xí)r，直線l與平面α的位置關(guān)系不一定是l⊥α，還可能斜交或平行.故命題不成立.

若①③，則②.由l⊥m及直線m在平面α外可知，有且只有一個平面β經(jīng)過直線m且垂直于直線l，又因為l⊥α，所以α∥β，所以m//α.

若②③，則①.作經(jīng)過m的平面β，設(shè)β∩α=n.由m//α可知m//n.又因為l⊥α，所以l⊥n，所以l⊥m.命題成立.

評析本題主要考查點、直線、平面的位置關(guān)系，學(xué)生需要熟練掌握直線和平面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，從三種可能命題中找出正確的命題.

例2 (全國卷II·理7)設(shè)α、β為兩個平面，則α∥β的充要條件是( )

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

答案：B.

解析根據(jù)面面平行的判定定理(如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行)可知，A選項中的無數(shù)條直線可能不相交，所以A錯，而C、D選項中的兩個平面都可能相交，所以C、D錯，因此A、C、D選項都不是α∥β的充分條件，B選項是α∥β的充要條件.

評析本題以邏輯用語的形式考查面面平行的性質(zhì)定理和判定定理，需要學(xué)生熟練地掌握這些定理以及定理的逆定理.由于本題是一道選擇題，所以可通過舉反例快速解答.

3.2 空間幾何體

此類型題一般出現(xiàn)在選擇、填空題或文科解答題的第二問中，多考查內(nèi)切、外接組合體的表面積和體積.這些組合體多是由圖2中基本圖形組合而成，例如棱錐的內(nèi)切球、內(nèi)切圓柱、棱錐或棱柱的外接球等.解題關(guān)鍵是要正確畫出相應(yīng)的幾何圖形，厘清各幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常將圖形放在長方體、正方體或球中，利用其特性解題，主要考查學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

圖2 空間幾何體知識結(jié)構(gòu)圖

例3 (全國I卷·理12)已知正三棱椎P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( )

圖3

圖4

解析方法1：先根據(jù)正三棱錐性質(zhì)和已知條件證明正三棱錐三條棱兩兩垂直且相等(如圖3)，將其視為正方體的一角，在正方體中再根據(jù)勾股定理求出球的半徑，最后根據(jù)球的體積公式求出結(jié)果(如圖4).

方法2：利用余弦定理求出三條側(cè)棱的長，由已知可得三條側(cè)棱兩兩垂直且相等，故球是以三條側(cè)棱為棱的正方體的外接球，所以正方體的體對角線即為球的直徑，根據(jù)球體積公式求出結(jié)果.

方法一：因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，所以PB⊥AC，PC⊥AB.

又因為E、F分別是PA、AB的中點，所以EF//PB.

因為∠CEF=90°，所以PB⊥EC，又AC、EC?平面PAC，AC∩EC=C

所以PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.

又因為PB∩AB=B，PB、AB?平面PAB，所以PC⊥平面PAB.

所以PC⊥PA.

又因為PA=PB=PC，所以PA、PB、PC兩兩互相垂直且相等，可視為正方體一角.

方法二：如圖3，設(shè)∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，

以下解法同方法一.

評析本題是選擇壓軸題，主要考查學(xué)生空間想象能力和運算能力.學(xué)生可以利用綜合幾何法或余弦定理進(jìn)行求解.解決此類題目主要有兩種方法：一是將其放在長方體或正方體中，根據(jù)體對角線即為球的直徑求解；二是確定球心的位置，根據(jù)球的性質(zhì)求解.兩種方法都需要準(zhǔn)確理解空間幾何體的定義，切實把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)已知條件，構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中求解.

3.3 空間角和距離

空間角問題主要包括異面直線所成角、線面所成角和二面角三種(結(jié)構(gòu)較明確，不再附加結(jié)構(gòu)圖)，多出現(xiàn)在填空題和解答題中，學(xué)生可以選擇向量法或綜合幾何法，利用化歸思想將空間角轉(zhuǎn)化為線線角求解.有關(guān)距離的計算多是求點到平面的距離，一般出現(xiàn)在理科選擇或填空題，文科的解答題中.

例4 (浙江卷·8)設(shè)三棱錐V-ABC底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點)，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A.β<γ，α<γB.β<α，β<γ

C.β<α，γ<αD.α<β，γ<β

答案：B.

圖5

解析先要根據(jù)已知條件畫出正三棱錐，再根據(jù)定義確定異面直線成角、線面成角、二面角的平面角(如圖5)，最后根據(jù)空間幾何體的性質(zhì)、定理表示出各個角的正弦值，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)比較角的大小.

過點P作PD//AC交VC于D，則α=∠BPD.連接BD，因為三棱錐底面為正三角形，VA=VB=VC，所以V-ABC為正三棱錐，所以BD=PB.取PD的中點E，連接BE，過點E作EH⊥平面ABC于點H，連接BH.

過點P作PF⊥平面ABC于點F，連接BF，則β=∠PBF；

作PG⊥AC于點G，連接GF，則γ=∠PGF.

又因為PD//AC，E在PD上，EH⊥平面ABC于點H，PF⊥平面ABC于點F，

則sinα>sinβ.

所以α>β.

由對稱性BP=CP，而CP>PG，

則α>β，γ>β.

評析這道題囊括了三種類型的空間角.解決此類問題難點有兩個：一是準(zhǔn)確地尋找空間角；二是構(gòu)建空間角之間的關(guān)系.因此，學(xué)生首先要熟練掌握空間角的定義，根據(jù)已知作出線線角、線面角和二面角的平面角，然后構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義，用三邊表示各個角的函數(shù)值，最后利用邊的大小關(guān)系以及三角函數(shù)的性質(zhì)確定角的大小關(guān)系.上述解題方法為通性通法，但比較費時，考慮到本題題型和題中幾何體(正三棱錐)的特殊性，學(xué)生可選擇其他方法和策略解題.例如利用極限思想，將P點無限逼近V點，再利用正三棱錐及三角函數(shù)的性質(zhì)解題或或者采用特殊化的方法，如取棱VA的中點為P，通過具體計算確定選項.

3.4 立體幾何中的向量方法

空間向量能夠表示點、直線、平面等元素，建立空間向量和空間圖形之間的聯(lián)系可以將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，利用空間向量的運算加以解決.如圖6所示，空間向量語言可以表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角、距離以及垂直與平行關(guān)系，因此可以利用向量方法證明直線、平面間垂直與平行的關(guān)系，解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題以及簡單夾角問題.

圖6 空間向量與立體幾何結(jié)構(gòu)圖

圖7

圖8

圖9

例5 (全國卷III·理19)圖7是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC，組成的一個平面圖形，其中，AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖8.

(1)證明圖8中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求圖8中二面角B-CG-AD的大小.

解析(1)由兩條平行線確定一個平面，證明四點共面；由已知平面中的垂直關(guān)系證明面面垂直.(2)建立直角坐標(biāo)系(如圖9)，利用向量法求出兩平面法向量夾角的余弦值，進(jìn)而求出二面角的大小.

(1)由題意得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG，即AD，CG確定一個平面，所以A，C，G，D四點共面.

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，所以AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)作EH⊥BC垂足為H.

因為EH?平面BCGE，平面ABC⊥平面BCGE，所以EH⊥平面ABC.

評析本題將平面圖形翻折問題和立體幾何相聯(lián)系，有別于常規(guī)題目呈現(xiàn)方式，學(xué)生要知道平面圖形翻折后各構(gòu)成元素變與不變的關(guān)系，利用“不變性”解題. 解題方法和程序與常規(guī)題目并無差別：利用面面垂直性質(zhì)證明兩平面垂直，運用向量法求出二面角的余弦值，進(jìn)而求出二面角大小.

4 啟示

4.1 重視基本圖形，提煉本質(zhì)特征，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小和位置關(guān)系.對于學(xué)生來說，空間幾何圖形復(fù)雜、要素較多，難以發(fā)現(xiàn)它們之間的相互聯(lián)系.因此，要以基本立體圖形，比如長方體為載體，幫助學(xué)生認(rèn)識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系，抽象出定義，并通過直觀感知，歸納空間中直線與平面平行或垂直的性質(zhì)定理和判定定理[3].在教學(xué)過程中，可以充分利用實物、計算機(jī)軟件等讓學(xué)生觀察基本立體圖形，利用的生動性與形象性來直觀清晰地描述與分析數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化.[4]以此建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，感知、領(lǐng)悟各種空間幾何體的關(guān)系，提煉其本質(zhì)特征，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，發(fā)展直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.2 突出內(nèi)容主線，聚焦重點題型，把握內(nèi)在邏輯聯(lián)系

高考立體幾何試題內(nèi)容聚焦，重點突出.主要考點包括：直線、平面平行或垂直的證明；空間幾何體表面積、體積、空間角、距離的度量計算；空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等.教學(xué)應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則構(gòu)建立體幾何的研究路徑.(1)從對空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識空間圖形的結(jié)構(gòu)特征、平面表示，掌握其面積和體積的計算；(2)在此基礎(chǔ)上，抽象出構(gòu)成空間圖形的基本元素——點、直線、平面，借助長方體直觀感知其位置關(guān)系；(3)重點研究直線、平面的特殊位置關(guān)系——平行和垂直的判定和性質(zhì)[5]；(4)運用空間向量研究空間基本圖形的事物位置關(guān)系和度量關(guān)系(空間角)，體會向量法和綜合幾何法的共性和差異，感悟空間向量在處理立體幾何中的工具作用.在日常教學(xué)中，教師要從整體上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，突出內(nèi)容主線，既要注重概念學(xué)習(xí)，又要注重學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系，凸顯知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系，學(xué)生只有真正理解這些內(nèi)容之間聯(lián)系，才能更有序更有邏輯地去研究新內(nèi)容，達(dá)到本質(zhì)認(rèn)識[6].

4.3 凸顯思想方法，總結(jié)通性通法，提升問題解決能力

學(xué)習(xí)立體幾何的基本方法是直觀感知(識圖)——操作認(rèn)識(畫圖)——度量計算(算圖)——思辨論證(證圖)[5].解題時，往往依據(jù)四個基本事實，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題進(jìn)行求解.因此，立體幾何問題重點考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.向量方法和綜合幾何法是研究空間幾何問題的兩種方法.向量方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過向量運算研究空間幾何體的位置關(guān)系(平行、垂直)和度量關(guān)系(空間角、距離)；綜合幾何法根據(jù)基本事實、判定定理和性質(zhì)定理研究空間幾何問題.教學(xué)中要根據(jù)題目類型總結(jié)解題的通性通法，讓學(xué)生在練習(xí)中不斷摸索解題方法和規(guī)律，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并以此不斷促進(jìn)對知識方法的理解，對核心內(nèi)容的掌握，提升學(xué)生解決實際問題的能力.同時，要滲透探究創(chuàng)新性題目，達(dá)到對知識的靈活運用.

4.4 注重解題規(guī)范，正視語言表述，提高邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性

對空間幾何體性質(zhì)的刻畫有圖形語言、文字語言和符號語言三種類型.圖形是從實物和模型第一次抽象的產(chǎn)物，也是形象、直觀的語言；文字是對圖形的描述、解釋與討論；符號則是對文字語言的簡化[5].在描述立體幾何的定義、定理、性質(zhì)時，開始借助集合語言描述幾何對象之間的關(guān)系，學(xué)生比較陌生[5].教材分析者親歷把教材內(nèi)容從靜態(tài)形式激活到動態(tài)形式，再沉淀為靜態(tài)形式的過程，實現(xiàn)教材話語體系向教師話語體系轉(zhuǎn)化，以及教師話語體系向?qū)W生話語體系轉(zhuǎn)化的遞進(jìn)順序[7].教學(xué)中要通過對圖形的觀察和操作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路[3]，熟練地掌握三種語言的相互轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生有邏輯地思考和表達(dá).同時，要注重解題書寫的規(guī)范性，給予示范引領(lǐng)，提高邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).