初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實踐研究

安徽省合肥市教育局教科院 (郵編：230031)

1 深度學(xué)習(xí)的提出

深度學(xué)習(xí)的概念源于對人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究，是指一種主動的、批判性的、建構(gòu)的和面向問題解決的學(xué)習(xí)方式，也是實現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)的有效方式.深度學(xué)習(xí)在教育上的意義是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.判斷深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生的五個標(biāo)準(zhǔn)為：第一，聯(lián)想與結(jié)構(gòu)：經(jīng)驗與知識的相互轉(zhuǎn)化；第二，活動與體驗：學(xué)生的學(xué)習(xí)機制；第三，本質(zhì)與變式：對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行深度加工；第四，遷移與應(yīng)用：在教學(xué)活動中模擬社會實踐；第五，價值與評價：“人”的成長的隱形因素.深度學(xué)習(xí)發(fā)生的條件為：第一,學(xué)生思考和操作的學(xué)習(xí)對象，必是經(jīng)過教師精心設(shè)計，具有教學(xué)意圖的結(jié)構(gòu)化的教學(xué)材料；第二，教學(xué)過程必須有預(yù)先設(shè)計的方案，要在有限的時空下，有計劃、有序地實現(xiàn)豐富而復(fù)雜的教學(xué)目的；第三，要有平等、寬松、合作、安全的互動氛圍[1].

2 深度學(xué)習(xí)的實踐

何謂深度，從工作、認(rèn)識的角度認(rèn)為是觸及事物本質(zhì)的程度[2].

深度學(xué)習(xí)體現(xiàn)在深度二字上.數(shù)學(xué)教學(xué)若能引導(dǎo)學(xué)生用內(nèi)心創(chuàng)造和體驗的方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué);鼓勵學(xué)生尋求解法，而不是記住步驟；探索模式，而不是模仿題型；形成猜想，而不是僅僅做練習(xí)題；幫助和鼓勵學(xué)生按自己的想法和語言重建所學(xué)的東西；鼓勵學(xué)生用學(xué)到的知識去修正和改造原有的觀念和想法[3].首先我們在教學(xué)實踐中采用任務(wù)具體化、推理分步化、應(yīng)用具體化，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)積極參與，獲得成功的體驗[4].其次又圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)初中生深度學(xué)習(xí)進(jìn)行實踐研究.

2.1 概念深剖

數(shù)學(xué)中的概念是數(shù)學(xué)的基石.數(shù)學(xué)大廈是由數(shù)學(xué)中的概念、定義、定理、公理建立的.數(shù)學(xué)中的概念是前人日積月累形成的，是前人智慧的結(jié)晶.數(shù)學(xué)概念具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生在理解上有一定困難.深度學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)，應(yīng)在概念同化的基礎(chǔ)上，達(dá)到概念的順應(yīng).

案例1 如在上?？萍汲霭嫔绯霭娴男聲r代數(shù)學(xué)編寫組編著的教育部審定(2012)義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊第88-89頁的分式及其基本性質(zhì)第1課時的教學(xué)過程中是這樣設(shè)計的：

問題1 (1)一塊長方形木板的面積為10m2,寬為3m，則長為______m；

(2)一塊長方形木板的面積為10m2,寬為am，則長為______m；

(3)一個長方形的面積為Sm2，如果它的長為am，那么它的寬為______m.

問題2 (1)有兩塊稻田，第一塊是4公頃，每公頃收水稻10500kg；第二塊是3公頃，每公頃收水稻9000kg，這兩塊稻田平均每公頃收水稻______kg.

(2)如果第一塊是m公頃，每公頃收水稻akg；第二塊那是n公頃 ，每公頃收水稻bkg，則這兩塊稻田平均每公頃收水稻______kg.

類比分?jǐn)?shù)的除法算式，引出分式的概念.

下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？

在下列所給的整式中選兩個，你能組合出幾個不同的分式？請都寫出來.

x-2，4，2x-3，x+4.

此環(huán)節(jié)學(xué)生共寫出：

2.2 探索領(lǐng)悟

探索的釋義是多方尋求答案，解決疑問[5].

2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程理念要求：課程內(nèi)容的選擇要有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索；學(xué)生學(xué)習(xí)除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.教師教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.要有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去.這說明數(shù)學(xué)中的探索活動對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、領(lǐng)悟有舉足輕重的價值.如

案例2 定理n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°(n為不小于3的整數(shù)).

探索1 由三角形出發(fā)，到四邊形時從一個頂點出發(fā)可以分割成(n-2)個三角形，利用三角形內(nèi)角和為已知，把未知轉(zhuǎn)化為已知.如圖1.

圖1

探索2 由四邊形的內(nèi)部任取一點出發(fā)與各頂點連接可以得到四個三角形，內(nèi)角和為4×180°，減去一個360°，所以四邊形的內(nèi)角和為(4-2)·180°，類推，過n邊形的內(nèi)部一點與各頂點連接所得到的n個三角形的內(nèi)角和為(n-2)·180°.

探索3 由四邊形的某一邊上任取一點出發(fā)與不相鄰的頂點連接可以得到三個三角形，內(nèi)角和為3×180°，減去一個180°，所以四邊形的內(nèi)角和為2·180°=(4-2)·180°，類推，過n邊形的內(nèi)部一點與不相鄰頂點連接所得到的n-2個三角形的內(nèi)角和為(n-2)·180°.

探索4 由四邊形的外部任取一點出發(fā)與各頂點連接可以得到三個三角形，內(nèi)角和為3×180°，減去一個由該點和所對邊組成的三角形的內(nèi)角和為180°，所以四邊形的內(nèi)角和為2×360°，所以四邊形的內(nèi)角和為(4-2)·180°，類推，過n邊形的外部一點與各頂點連接所得到的n個三角形的內(nèi)角和為(n-2)·180°.

從而讓學(xué)生在探索中領(lǐng)悟解決疑問的思想是未知轉(zhuǎn)化為已知.

2.3 思維遞進(jìn)

圖2

深度學(xué)習(xí)是階梯式的學(xué)習(xí)，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)計由淺入深、由表及里的解題過程，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維不斷深入.如在平行線判定方法的應(yīng)用教學(xué)時，教師設(shè)計如下系列問題：

問題1 如圖2所示,已知直線a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，則a與c平行嗎?為什么?

利用平行線判定方法可得.

圖3

問題2 如圖3，如果∠1=∠A，∠2=∠B，那么直線EF∥DC嗎？為什么？

利用平行線判定方法和平行的傳遞性可得.

圖4

問題3 如圖4，∠C=∠1，∠2與∠D互余，BE⊥DF，垂足為G．求證：AB∥CD．

利用平行線判定方法、余角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理可得.

圖5

問題4 如圖5，已知∠BEH+∠AEF=90°，EH⊥HG，∠ABH+∠HBC=∠AEF，求證：HG∥BC.

利用平行線判定方法和垂直定義可得.

該系列問題由淺入深、由表及里，思維不斷深入.

2.4 運算熟練

深度學(xué)習(xí)是主動式的學(xué)習(xí)，教師要不失時機地給學(xué)生提供主動學(xué)習(xí)的機會.而設(shè)計不同形式的運算，能激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的心向.如在滬科版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第119頁的任意一個銳角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值的教學(xué)中，教者采用頭腦風(fēng)暴的形式完成如下填空：

sin45°=.

sin30°-cos60°=.

sin45°-cos45°=.

這幾個式子的運算，不僅有對30°,45°,60°特殊三角函數(shù)值的回憶，也有逆向思維的訓(xùn)練.

接著思考：30°,45°,60°這三個角的正(余)弦值和它們余角的余(正)弦值有什么關(guān)系？從特殊到一般 歸納出“任意一個銳角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.”即是sinA=cosB=cos(90°-∠A)，cosA=sinB=sin(90°-∠A).

給出結(jié)論的直接應(yīng)用：已知sin22°=0.3746,cos22°=0.9272，求68°的正弦、余弦的值.

(1)求cosB的值；

(2)求sinB、tanB的值.

思考sinα、cosα、tinα之間有何關(guān)系？sinα、cosα之間有何關(guān)系？

教者在結(jié)論基本鞏固的基礎(chǔ)上，安排如下當(dāng)堂練習(xí)：

圖6

5.如圖6，已知兩點A(2,0),B(0,4)，且∠1=∠2，則sinα=.

練習(xí)1是直接利用結(jié)論解決；練習(xí)2運用整體思想和結(jié)論解決；練習(xí)3利用三角形內(nèi)角和定理和結(jié)論解決；練習(xí)4利用結(jié)論解決.

練習(xí)5的解法二因為A(2,0),B(0,4)，

又△AOC為直角三角形，OC2+OA2=AC2，兩式聯(lián)立解得

本部分雖然以運算為主，但滲透方程、整體、特殊到一般的思想和發(fā)散性思維的培養(yǎng).

2.5 問題變式

圖7

深度學(xué)習(xí)是理解性學(xué)習(xí)，教師要對問題進(jìn)行深層次加工，引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗與深入的思考，達(dá)成對問題的理解.對問題的變式就是深層次的加工，對問題變式的求解過程可以加深對問題的理解.如三角形的復(fù)習(xí)課安排如下問題：

案例3 已知：如圖7，△ABC中，AB=AC,∠A=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD，垂足為E，求證：BD=2CE.

略證延長CE,BA相交于F，可證△CAF?△BAD，

BD=CF，∠BCF=∠BFC=67.5°，△BCF是等腰三角形，BE⊥CE，E為CF的中點，所以BD=2CE.

變式一已知：如圖7，△ABC中，AB=AC,∠A=90°,D是AC上一點，CE⊥BD，垂足為E，BD=2CE，求證：BD平分∠ABC.

略證延長CE,BA相交于F，∠BDA=∠CDE，∠DCE+∠CDE=90°,∠DCE+∠CFA=90°，可證△CAF?△BAD，BD=CF，

CF=2CE，E是CF的中點，BE⊥CE，BD平分∠ABC.

變式二 已知：如圖7，△ABC中，∠A=90°,D是AC上一點，CE⊥BD，垂足為EBD=2CE，BD平分∠ABC,求證：AB=AC.

略證延長EF=CE與BA相交于F，因為BD平分∠ABC，所以BC=BF，

∠BCF=∠BFC，∠BFC+∠FBE=90°，又∠ADB+∠FBE=90°，∠BFC=∠ADB，∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠ADB，∠ECD=∠ABE，可證△CAF?△BAD，可得AB=AC.

變式三已知：如圖7，△ABC中，AB=AC，D是AC上一點，CE⊥BD，垂足為E，BD=2CE，BD平分∠ABC,求證：∠A=90°.

略證延長EF=CE與BA相交于F，因為BD平分∠ABC，所以BC=BF，

∠BCF=∠BFC，∠BFC+∠FBE=90°，∠ACB+∠ECD+∠EBC=90°，

∠EDC=∠ACD+∠EBC，又∠EDC+∠ECD=90°，∠ECD=∠EBC，AB=AC，可證△CAF?△BAD，可得∠FAC=∠BAC,可得∠A=90°.

圖8

變式五已知：如圖8，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD，垂足為E， 且BD=2CE，連接AE，猜想BE,CE,AE之間的關(guān)系并證明.

略解延長CE,BA相交于F，由已知可證∠A=90°，設(shè)AE=x,CE=y,BD=2y，

將一題演變成多題，而題目實質(zhì)不變，讓學(xué)生解答這樣的題目，能隨時根據(jù)變化的情況思考，從中找出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，以及特殊與一般的關(guān)系，達(dá)到對問題的加深理解.

3 幾點建議

3.1 處理好深度學(xué)習(xí)與行為主義，認(rèn)知主義，人本主義，建構(gòu)主義[6]的關(guān)系

深度學(xué)習(xí)源于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究，按其釋義和在教育上的釋義，似乎涵蓋了上述四種學(xué)習(xí)的理論，是否可以說深度學(xué)習(xí)是上述四種學(xué)習(xí)的上位學(xué)習(xí)？實質(zhì)上，行為主義的數(shù)學(xué)教學(xué)強調(diào)教師是知識的傳授者，學(xué)生是知識的接受者；教學(xué)內(nèi)容要化整為零；教學(xué)目標(biāo)細(xì)化.認(rèn)知主義的數(shù)學(xué)教學(xué)強調(diào)教師與學(xué)生是教學(xué)的雙主體；根據(jù)學(xué)生信息加工過程來考察教學(xué)活動；強調(diào)在教學(xué)中發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知和元認(rèn)知能力；提倡“問題解決”.人本主義的數(shù)學(xué)教學(xué)注重情感教育；構(gòu)建真實的問題情境，提倡從做中學(xué)，鼓勵學(xué)生自由探索；提倡課堂的創(chuàng)造活動；合作學(xué)習(xí).建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生通過高級思維活動來學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者要不斷思考和對各種信息進(jìn)行加工轉(zhuǎn)換，基于新經(jīng)驗與舊經(jīng)驗進(jìn)行綜合概括去建構(gòu)知識.總的來說是教師為主導(dǎo)的教向?qū)W生為主體的學(xué)的轉(zhuǎn)變.深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)就是要求教師給學(xué)生提供主動的、批判性的、建構(gòu)的和面向問題解決的學(xué)習(xí)素材，實現(xiàn)有意義學(xué)習(xí).

3.2 處理好深度學(xué)習(xí)與面向全體的關(guān)系

初中教育屬于義務(wù)教育，小學(xué)是就近、劃片、免試升入初中.學(xué)生存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差距是必然的.在這樣的班級上，課堂教學(xué)中如何使學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)呢？筆者認(rèn)為，在創(chuàng)設(shè)情境時盡量聯(lián)系生活實際，在探索問題時盡量設(shè)置臺階，在安排運算時盡量由淺入深，在進(jìn)行問題變式時盡量面向全體，在進(jìn)行思維訓(xùn)練時盡量在最近發(fā)展區(qū)內(nèi).

3.3 處理好深度學(xué)習(xí)與教師理解的關(guān)系

深度學(xué)習(xí)并不能自然發(fā)生，它需要促發(fā)條件.其中，先決條件是教師的自覺引導(dǎo).深度學(xué)習(xí)中學(xué)生思考和操作的學(xué)習(xí)對象，必是經(jīng)過教師精心設(shè)計、具有教學(xué)意圖的結(jié)構(gòu)化的教學(xué)材料；教學(xué)過程必須有預(yù)先設(shè)計的方案，要在有限的時空下，有計劃、有序地實現(xiàn)豐富而復(fù)雜的教學(xué)目的.因此，教學(xué)中教師必須理解深度學(xué)習(xí)發(fā)生的標(biāo)準(zhǔn)和條件，深刻理解教材中實施深度學(xué)習(xí)的素材，設(shè)計好進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的方案，有條不紊地組織學(xué)生探索新知識的活動.

總之，教師對教學(xué)內(nèi)容的深度理解、學(xué)生認(rèn)知情況的深度分析是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的出發(fā)點，恰當(dāng)且有深度的學(xué)習(xí)目標(biāo)是導(dǎo)航，好的引導(dǎo)問題、有吸引力的學(xué)習(xí)活動是深度學(xué)習(xí)的核心和關(guān)鍵，精準(zhǔn)、及時的評估是深度學(xué)習(xí)的保障.

本文特別致謝合肥市第六十八中學(xué)數(shù)學(xué)組孫自海、韓芬芬、錢雪、楊菊、王春苗老師提供的教學(xué)實例.