殘缺區(qū)間合作博弈及其在農地污染治理中的應用

崔春生， 林 健

(1.北京物資學院 北京市智能物流系統(tǒng)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 101149; 2.福建農林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002)

0 引言

合作博弈是局中人通過結盟合作以實現(xiàn)盡可能大收益的競爭模型。大到國家與國家、集體與集體，小到人與人之間，都存在在廣泛的競爭與合作現(xiàn)象。在潛在競爭的環(huán)境中尋求結盟合作的必要性日益凸顯，合作博弈正是在這樣的背景下日益發(fā)展起來。合作博弈的研究核心是局中人的收益分配問題，即合作博弈的解概念及其求解模型。Shapley[1]從局中人邊際收益的概率加權期望值角度，提出了合作博弈的Shapley值。自Shapley值提出以來，在社會生產(chǎn)、行業(yè)經(jīng)濟等各個領域得到了廣泛的應用[2～4]，已成為迄今為止最重要的合作博弈的解概念。

隨著人類社會的不斷發(fā)展，信息日益膨脹的同時其結構也在不斷變遷。由于受知識結構、社會背景、所處環(huán)境等因素的制約，聯(lián)盟的收益值經(jīng)常不能準確獲取，而往往以區(qū)間數(shù)的形式給出。特別是前期合作經(jīng)驗較少的聯(lián)盟，此類聯(lián)盟的收益信息很難預先準確評估，從而只能通過估算其收益的可能取值范圍，來給出合作博弈的區(qū)間聯(lián)盟值?；谏鲜霰尘凹皩嵺`的需要，學者們已針對具有區(qū)間收益值的合作博弈問題展開研究，并提出了一系列有效的解概念。于曉輝等[5]通過拓展經(jīng)典合作博弈的代數(shù)公理體系，將具有區(qū)間支付的合作博弈應用于供應鏈的協(xié)調利益分配。譚春橋等[6]基于解概念的嚴格公理體系，探討了區(qū)間合作博弈的理論框架，并研究了區(qū)間Shapley值的存在唯一性。Alparslan-Goek[7]等通過定義具有區(qū)間支付合作博弈的相關概念，構建了在有效性、可加性、啞元性等框架下的唯一Shapley值公式。Han[8]等基于區(qū)間摩爾差運算和完全序，給出了一類新穎的合作博弈的區(qū)間Shapley值，探討了該解存在的必要條件。通過引入系列類Shapley值的概念，進一步對相關結論進行了有效拓展。于曉輝[9]等結合區(qū)間數(shù)的運算性質，提出了具有唯一表達形式的區(qū)間合作博弈的區(qū)間Shapley值。

在合作博弈的應用過程中，由于合作博弈潛在的對抗性以及收益信息獲取的復雜性，經(jīng)常出現(xiàn)部分聯(lián)盟的收益值無法獲取的情形。針對這類信息殘缺的合作博弈問題，Letscher[10]給出了具有殘缺聯(lián)盟值的合作博弈框架，分析了該框架下合作博弈的解概念。Housman[11]針對一類特殊的收益值殘缺合作博弈問題，建立了殘缺合作博弈的加權Shapley值，分析了該加權Shapley值滿足的優(yōu)良性質，驗證了該值與傳統(tǒng)Shapley值間的兼容性。Willson[12]在線性性、單調性、對稱性等公理下，探討了聯(lián)盟收益值殘缺的合作博弈的一類Shapley值。Masuya等[13]在合作博弈超可加性的基礎上，定義了殘缺合作博弈的上、下完全合作博弈，并定義了相應的有效Shapley值計算方法。林健等[14]通過定義殘缺合作博弈的一致性，基于正、負理想分配，提出了一個滿足存在性與合理性的理想Shapley值公式。Lin等[15]綜合分析了互補聯(lián)盟之間的超出值關系，并由此定義了殘缺模糊合作博弈的最小二乘雙核仁，分析了該解概念滿足的公理性質。

本文首先給出了殘缺區(qū)間合作博弈的基本概念，通過收益值信息的超可加特征，建立了聯(lián)盟收益值的一致性檢驗模型。其次基于合作博弈的正、負理想分配，構造了收益分配與正、負理想分配之間的距離，并由此提出了殘缺區(qū)間合作博弈的區(qū)間Ideal-Shapley值，分析了該值滿足的合理性與存在性。最后將上述殘缺區(qū)間合作博弈模型應用于農地污染治理的節(jié)約成本分攤問題，以突顯本文方法的有效性與優(yōu)越性。

1 區(qū)間合作博弈的基本概念

設全體局中人的集合N={1,2,…,n}，N的冪集記為P(N)。?S∈P(N)，S稱為N上的一個聯(lián)盟。記R+={x|x≥0}，?a,b∈R+，若a≤b，則稱[a,b]為一個非負區(qū)間數(shù)。全體非負區(qū)間數(shù)的集合記為Ω+。

(1)k·[a1,b1]=[ka1,kb1],k>0；

其中運算“-H”稱為區(qū)間數(shù)的廣義Hukuhara差。

定義1.3[5]若對?S1,S2∈P(N),S1∩S2=?，均有

(1)

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

(2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

(3)

超可加性是局中人形成聯(lián)盟合作的基礎，也是聯(lián)盟維持穩(wěn)定性的有效保障。當局中人形成合作后，由超可加性知，局中人的整體收益總和增加了。從而，合理分配大聯(lián)盟的收益成為合作博弈研究的一個核心問題。

2 殘缺區(qū)間合作博弈及其一致性擴充

由上述定義易知，殘缺區(qū)間合作博弈中空聯(lián)盟、大聯(lián)盟以及單人聯(lián)盟的區(qū)間收益值是已知的，這將是后續(xù)進行殘缺區(qū)間收益值擴充的基礎。

從模型(M-1)的約束條件易知，?S∈Δ，指標集ε(S)不一定是唯一的。

為了獲取殘缺合作博弈中實數(shù)收益值的上、下可能邊界，Masuya[13]基于超可加性給出了上、下完全合作博弈的定義，巧妙地分析了殘缺合作博弈的潛在收益邊界。通過對殘缺實合作博弈元素擴充方法的區(qū)間拓展，可定義殘缺區(qū)間合作博弈的上、下完全合作博弈如下：

3 殘缺區(qū)間合作博弈的區(qū)間Ideal-Shapley值

模型(M-2)的前兩個約束刻畫了區(qū)間合作博弈中局中人的個體理性，第三和第四個約束反映了大聯(lián)盟的集體理性。第五和第六個約束條件是區(qū)間Shapley值的具體表達形式。第七和第八個約束條件是超可加合作博弈的必要特征，第九和第十個約束條件是上完全區(qū)間合作博弈和下完全區(qū)間合作博弈對殘缺元素的擴充限制。根據(jù)區(qū)間Shapley值的有效性和合理性，故可略去模型(M-2)的前四個約束條件。假設大聯(lián)盟對正、負理想偏差無額外的偏好，為了兼顧正、負理想偏差在最終分配確定時的作用，可將多目標優(yōu)化模型(M-2)轉化為相應的單目標優(yōu)化模型(M-3)如下：

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

S1,S2,S1∪S2∈P(N),S1∩S2=?

|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|>1

單目標優(yōu)化模型(M-3)中增加了約束條件|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|，確保了超可加約束中至少出現(xiàn)兩個未知收益值，有效避免了冗余約束重復出現(xiàn)的問題，可很大程度上降低計算的復雜性。

(4)

(5)

5 污染聯(lián)合治理應用

設某城郊農地周邊有三家化工廠(局中人1、2、3)，由于化工廢水、廢料等排放不當，現(xiàn)已導致工廠周邊的農地出現(xiàn)嚴重的污染。為了維護農地的可耕作性以及人們的食品安全，當?shù)卣熈钸@三家當事化工廠繳納相應的治污費用，在停止排污的同時對周邊農地進行污染聯(lián)合治理。由于當?shù)卣畤栏穸酱伲斒禄S也積極配合治污，經(jīng)專家組估算在污染治理結束后會比預期節(jié)約成本12至18萬元。由于各化工廠在治污人力、技術和維護等方面均存在優(yōu)劣差異，對節(jié)約成本的再分攤方案也應兼顧治污各方的公平和效率。由于各化工廠間合作經(jīng)驗較少，故各聯(lián)盟的節(jié)約成本值往往難以精確估計，更常見的是以區(qū)間估值范圍的形式給出，甚至會出現(xiàn)某些聯(lián)盟的節(jié)約成本值無法獲取的情形。下面采用區(qū)間Ideal-Shapley值，給出農地污染治理的節(jié)約成本分攤策略。

化工廠1與其余兩家化工廠有過頻繁的前期交流合作，故彼此較為熟悉。但化工廠2和化工廠3之前沒有合作過，導致聯(lián)盟{2,3}的節(jié)約成本值難于預估。已知各聯(lián)盟的節(jié)約成本值分別為：

假設大聯(lián)盟對風險保持中立，故可取參數(shù)λ=0.5。從而有

進一步，模型(M-3)可建立如下:

6 小結

隨著社會生產(chǎn)與行業(yè)經(jīng)濟的不斷發(fā)展，人類所處環(huán)境的復雜不確定性日益凸顯。由于受知識結構、行業(yè)背景、社會環(huán)境等因素的制約，聯(lián)盟的收益值往往無法準確獲取，甚至有時會出現(xiàn)部分收益值完全未知的情形。本文針對部分收益值殘缺的區(qū)間合作博弈問題，通過考察殘缺區(qū)間收益值的上、下可能邊界，構造相應的上、下完全區(qū)間合作博弈。基于超可加性驗證了殘缺區(qū)間合作博弈的一致性。定義了正、負理想分配，并由此構建區(qū)間Ideal-Shapley值的有效求解模型。結合農地污染治理的背景特點，將上述求解模型應用于節(jié)約成本的再次分攤問題，可為相關部門的實踐應用提供必要的理論依據(jù)與數(shù)據(jù)支持。