基于事件觸發(fā)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器穩(wěn)定性分析

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

在現(xiàn)代先進控制領(lǐng)域中，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)越性，使其在信號處理、關(guān)聯(lián)記憶、模式識別等許多領(lǐng)域中被廣泛地應(yīng)用[1-2]，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行系統(tǒng)狀態(tài)估計[3-5]以及圖像識別和分類[6-7]。在文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]中通過高靈敏傳感器采集被控系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，然后傳給基于TLFCFFNN(Three-Layer Fully Connected Feed-Forward Neural-Network)控制器，最后通過零階保持器(ZOH)來控制連續(xù)時間被控系統(tǒng)。

由于采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的分析是困難而且復(fù)雜的，許多重要的方法已被提出[10-11]。但輸入延遲法是用的較多的方法[12-13]。通過輸入延遲方法，系統(tǒng)可以被認(rèn)為是一個由ZOH產(chǎn)生的具有時變延遲的連續(xù)時間系統(tǒng)，然后，LMI(Linear Matrix Inequality)方面的穩(wěn)定條件將由LKF(Lyapunov-Krasovskii Functional)泛函方法建立。在文獻(xiàn)[14]中提出了一種基于TLFCFFNN為基礎(chǔ)的控制器，它由采樣器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器和零階保持器組成，用于控制連續(xù)時間的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，充分考慮了時滯的影響。上述文獻(xiàn)都是采用基于時間觸發(fā)的方式來研究連續(xù)系統(tǒng)的信息傳輸,這些都會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)信息的冗余,造成寬帶資源的浪費，同時增加網(wǎng)絡(luò)負(fù)載的壓力。事件觸發(fā)機制只有在系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)滿足所給的觸發(fā)條件時才通過網(wǎng)絡(luò)進行數(shù)據(jù)的傳輸,可以減少網(wǎng)絡(luò)通信帶寬的資源占用，文獻(xiàn)[15]中作者詳細(xì)討論了基于事件觸發(fā)機制下非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，以及在存在量化誤差下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，但是文獻(xiàn)中并未對控制器做深入研究。

針對非線性系統(tǒng)，本文提出了一種基于事件觸發(fā)的四層完全連接前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Four-Layer Fully Connected Feed-Forward Neural Network,FLFCFFNN)采樣數(shù)據(jù)控制器，在采樣反饋控制的前提下，引入了事件觸發(fā)機制，改變信號的實時傳輸，減少寬帶占用。同時采用遺傳算法(Genetic algorithm，GA)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，降低了控制器的誤差，采用分段L-K函數(shù)，充分考慮了由不同時滯帶來的影響，降低了所設(shè)計控制器的保守性。

1 問題描述以及系統(tǒng)建模

1.1 系統(tǒng)模型

考慮如下連續(xù)時間非線性系統(tǒng)模型：

(1)

式中，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rn為控制輸入；Ai∈Rn×n和Bi∈Rn×n為已知的實數(shù)矩陣；p為一個非零的正整數(shù)，其中ωi(x(t))的形式如下：

(2)

1.2 事件觸發(fā)機制設(shè)計

基于事件觸發(fā)的數(shù)據(jù)采樣FLFCFFNN控制系統(tǒng)的模型如圖1所示。

圖1中，高靈敏度傳感器實時監(jiān)控被控對象，經(jīng)傳感器輸出的信號經(jīng)采樣器輸入事件檢測器，只有滿足事件觸發(fā)規(guī)則要求時，才將采樣所得的離散信號x(tk)傳送給基于FLFCFFNN的控制器，經(jīng)控制器響應(yīng)后，輸出控制信號，之后經(jīng)過ZOH轉(zhuǎn)為連續(xù)信號，反饋給被控對象，使得被控對象處于實時穩(wěn)定狀態(tài)。

圖1 基于事件觸發(fā)的FLFCFFNN控制系統(tǒng)

首先，將定義如下事件觸發(fā)規(guī)則，來確定是否需要傳送采樣信號：

‖x(tk+rh)-x(tk)‖≥δ‖x(tkh)‖+δ0
r=1，2

(3)

式中，觸發(fā)參數(shù)δ、δ0∈[0,1)；h為采樣周期。

采用文獻(xiàn)[12]中的輸入延遲法分析采樣時滯，得

(4)

式中，xk(t)為上一次事件觸發(fā)與當(dāng)前采樣值的差值，通過觸發(fā)規(guī)則得到，當(dāng)t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)，下式成立：

(5)

1.3 基于數(shù)據(jù)采樣的FLFCFFNN控制器設(shè)計

集中考慮隱層，則FLFCFFNN控制器如下：

(6)

式中，mj,i為第j個隱層節(jié)點和第i個輸入層節(jié)點的連接權(quán)重；gl,j為第l個輸出層節(jié)點和第j個隱層節(jié)點的連接權(quán)重；bj為第j個隱層節(jié)點的偏置；tf(·)為激活函數(shù);nh為隱層的節(jié)點個數(shù)，如圖2所示。

圖2 FLFCFFNN模型

將式(6)帶入式(1)，當(dāng)t∈[tk,tk+1)，得到閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

(7)

同時，由式(4)可得到基于事件觸發(fā)機制的FLFCFFNN控制器如下：

(8)

同時由式(7)和式(8)得：

(9)

為使所設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器最優(yōu)，定義如下代價函數(shù)：

(10)

2 穩(wěn)定性分析

下面主要分析基于事件觸發(fā)的FLFCFFNN控制器穩(wěn)定性，同時給出了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，基于穩(wěn)定性條件構(gòu)造了新的分段Lyapunov函數(shù)，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1：對所給的標(biāo)量h>0,δi>0(i=1,2,…,n)和矩陣Gj(j=1,2,…,nh)，如果存在合適維數(shù)的正定對稱矩陣P>0,Q>0,R>0,Z>0,W>0滿足如下線性矩陣不等式：

(11)

其中,

Ξ1ij=J1+PAi+(PAi)T+Q,Ξ2ij=J2Gj+PBiGj,
Ξ3ij=-J2Gj-PBiGj,Ξ4ij=Ξ7ij=J2Gj,
Ξ5ij=GjJ3Gj-δ2,Ξ6ij=Ξ8ij=-GjJ3Gj,Ξ9ij=1+GjJ3Gj

則基于FLFCFFNN控制的事件觸發(fā)閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，同時代價函數(shù)滿足：

J≤xT(t0)Px(t0)

(12)

(13)

令ν(t)=x(tk-τM)-x(t-τM)

當(dāng)[x(s)-x(tk-τM)]s=tk-τM=0，V5(t)≥0，從而得到V(t)>0。

當(dāng)t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)時，對所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)沿狀態(tài)軌跡(9)對求t導(dǎo)得：

(14)

針對式(14)當(dāng)中的積分項

令

由文獻(xiàn)[16]中得：

(16)

將式(15)與式(16)帶入式(14)得：

τ(t)y1(t)TRy1(t)+xT(t)Qx(t)-

(17)

將式(9)帶入式(10)中可得到式(18)：

2xT(t)J2Gjx(tk)+xT(tk)GjJ3Gjx(tk)]

(18)

同時由式(5)得：

(19)

通過式(17)～式(19)，當(dāng)t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)時，得式(20)：

(20)

同時式(12)滿足：

(21)

當(dāng)t→∞時，得到式(12)，證畢。

3 數(shù)值例子仿真

選取如下倒立擺系統(tǒng)：

(22)

式中，x(t)為小車的位移；θ(t)為小車的擺角位移；M=1 kg為小車的質(zhì)量；m=0.2 kg為擺的質(zhì)量；l=0.5 m為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的距離；b=0.1為小車的摩擦系數(shù)；g=9.8 m/s2為重力加速度。

由式(22)，令u(t)=F,同時對θ角做近似處理后得到如下倒立擺的空間狀態(tài)方程式(23):

(23)

考慮式(1)給出的非線性模型，取i=1，令

帶入所選數(shù)據(jù)得：

(24)

采用式(8)的FLFCFFNN控制器，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用雙隱層結(jié)構(gòu)，分別4個和16個神經(jīng)元，連接權(quán)重和閾值通過GA算法優(yōu)化。

采用如式(5)的事件觸發(fā)機制，取觸發(fā)參數(shù)δ=0.1，δ0=0.001，采樣周期h=0.05 s,倒立擺的初始狀態(tài)取x0=[0.05 0 0.06 0]T，進行數(shù)值仿真，圖3為系統(tǒng)的狀態(tài)圖，圖4為控制器的狀態(tài)響應(yīng)圖，圖5為基于事件觸發(fā)機制的傳輸間隔圖，表1中數(shù)據(jù)分別為文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[17]以及本文所采用的方法的采樣間隔對比。

圖3 系統(tǒng)方程的狀態(tài)響應(yīng)

不同方法文獻(xiàn)[8]文獻(xiàn)[17]本文采樣間隔/s0.06620.10930.1324

從圖3和圖4中看到所選取的非線性系統(tǒng)經(jīng)過設(shè)計的控制器，系統(tǒng)最后趨于穩(wěn)定，從而說明所設(shè)計控制器的有效性；圖5中縱坐標(biāo)為相鄰兩次控制信號更新的間隔，縱坐標(biāo)的意義為：縱軸數(shù)值越大，則相鄰兩次觸發(fā)間隔越長，即控制信號的更新間隔越長；同時，通過圖3和圖4看到，在第6 s時，系統(tǒng)趨于漸進穩(wěn)定，而圖5中在第6 s時可以看到兩次信號之間的間隔趨勢越來越長，通過計算，得到在事件觸發(fā)機制下平均采樣周期為0.1324 s；從表1中看到，所提出的方法優(yōu)于文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[17]，從而證明所設(shè)計控制器的有效性。

圖4 控制器的狀態(tài)響應(yīng)

圖5 系統(tǒng)的采樣間隔圖

4 結(jié)束語

本文針對連續(xù)時間非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，設(shè)計了一種基于事件觸發(fā)數(shù)據(jù)采樣的FLFCFFNN控制器。通過Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性理論，結(jié)合Jensen不等式，給出了基于事件觸發(fā)的FLFCFFNN控制器的穩(wěn)定性條件。所設(shè)計的控制器不僅可以使非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，也可以通過文中設(shè)置事件觸發(fā)條件，減少系統(tǒng)采樣頻率，降低狀態(tài)信息在寬帶中的傳輸次數(shù)，減少了通信帶寬資源的占用。同時在求解控制器過程中，充分考慮網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)难訒r，引入了網(wǎng)絡(luò)傳輸時滯模型，從而降低所提方法的保守性。最后通過數(shù)值仿真例子驗證了所提出方法的有效性。