基于U模型的Buck變換器控制器設(shè)計(jì)

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

隨著能源需求的急劇增加，功率變換器作為一類典型的開關(guān)非線性系統(tǒng)，已在軍事設(shè)備、工業(yè)自動(dòng)化設(shè)備等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。因此，針對(duì)功率變換器的動(dòng)力學(xué)特性分析、建模以及控制器設(shè)計(jì)研究，具有一定的理論價(jià)值和實(shí)際工程意義。常規(guī)的功率變換器控制器設(shè)計(jì)方法有兩種：一種方法是線性化使用線性控制策略，如PID控制、極點(diǎn)配置控制[1]等，但變換器的參數(shù)變化會(huì)給線性控制器的設(shè)計(jì)帶來極大困難；另一種方法是使用非線性控制策略,例如滑?？刂芠2]、模糊PID控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、單周控制[5]以及模糊滑?？刂芠6]等，但非線性控制策略需要一個(gè)良好反映被控對(duì)象特性的模型，且計(jì)算復(fù)雜導(dǎo)致難以設(shè)計(jì)控制器。

本文提出一種新的功率變換器控制方法。通過使用NARMAX(Nonlinear Autoregressive Moving Average with Exogenous Inputs)模型(因?yàn)樗且环N廣泛使用的離散模型形式，并且具有一種簡單的形式)完成功率變換器的辨識(shí)，但是這種模型不容易設(shè)計(jì)控制器，而U模型是一類光滑非線性對(duì)象時(shí)變參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，U模型在線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法與非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)之間搭建了一座橋梁，可以方便地用線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法對(duì)非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)[7-8]。U模型覆蓋了幾乎所有現(xiàn)存的光滑非線性離散時(shí)間模型作為子集且易于設(shè)計(jì)控制器。所以，將NARMAX模型轉(zhuǎn)化為U模型并基于U模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，可在不損失非線性模型的任何特性下，簡化了控制器的計(jì)算復(fù)雜性。目前U模型已得到充分的應(yīng)用，文獻(xiàn)[9]將U模型應(yīng)用于電勵(lì)磁同步電機(jī)并基于U模型設(shè)計(jì)了自抗擾控制器，文獻(xiàn)[10]將U模型應(yīng)用于直流電機(jī)并基于U模型設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂破鳌?/p>

本文通過辨識(shí)技術(shù)得到了Buck變換器的ARX(Autoregressive Exogenous)模型和NARMAX模型，并對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行了有效性驗(yàn)證；然后，引入了U模型，將NARMAX模型轉(zhuǎn)換為U模型并基于U模型設(shè)計(jì)了Buck變換器的極點(diǎn)配置控制器；最后，通過Simulink仿真分析與傳統(tǒng)的PID控制器比較，驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 模型辨識(shí)及有效性驗(yàn)證

首先利用ARX模型進(jìn)行建模，然后通過交叉相關(guān)函數(shù)尋找NARMAX模型的缺失項(xiàng)。系統(tǒng)模型為

y(k)+a1y(k-1)+…+anay(k-na)=b1u(k-1)+…+
bnbu(k-nb)+ζ(k)

(1)

式中，u(k)和y(k)分別為系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出的采樣觀測(cè)值。首先選擇ARX模型進(jìn)行建模是因?yàn)锳RX模型可以使用最小二乘(LS)算法直接估計(jì)。使p=1+max(na+nb)，其中na、nb分別為系統(tǒng)輸出和系統(tǒng)輸入的最大滯后，則式(1)可以寫成如下形式:

y=[y(p),y(p+1),…,y(N)]T
θ=[a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb]T
ζ(k)=[ζ(p),ζ(p+1),…,ζ(N)]T
x(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na),u(k-1),…,u(k-nb)]

(2)

(3)

對(duì)于N個(gè)輸入輸出集，ARX模型可以用矩陣形式表示為

y=Xθ+ζ

(4)

進(jìn)行矩陣變換后，最小二乘估計(jì)由式(5)給出:

(5)

如果殘差序列ζ(k)是零均值白噪聲，則式(5)中的估計(jì)是無偏的，那么預(yù)測(cè)模型與實(shí)際系統(tǒng)的接近程度可以用極小化誤差平方和準(zhǔn)則函數(shù)衡量。

(6)

在本仿真中，設(shè)置na和nb為2，使用最小二乘法計(jì)算參數(shù)，ζ(k)為殘余誤差。

y(k)=1.9843y(k-1)-0.9862y(k-2)+

0.0361u(k-1)+0.0734u(k-2)+ζ(k)

(7)

使用1000組數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行仿真后(900組數(shù)據(jù)用作辨識(shí)，100組數(shù)據(jù)用作有效性驗(yàn)證)，結(jié)果如圖1所示。

圖1 ARX模型

(8)

(9)

在相關(guān)性測(cè)試結(jié)果中，橫坐標(biāo)為時(shí)間延遲，縱坐標(biāo)為相關(guān)性程度。圖2為式(8)對(duì)ARX模型的4個(gè)測(cè)試。

圖2 ARX模型的相關(guān)性測(cè)試

從圖2中可以清楚地看到這些測(cè)試是不合格的，各相關(guān)度均超出置信區(qū)間。這意味著殘余項(xiàng)可能包含u(k-i)、u2(k-i)、u(k-i)y(k-i)。通過以上的分析，選擇使用NARMAX模型，其定義為：

y(k)=F[y(k-1),…,y(k-ny),u(k-d),u(k-d-1),
…,u(k-d-nu),e(k-1),…e(k-ne)]+ξ(k)

(10)

式中，u(k)，y(k)和e(k)分別為系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出和噪聲；ny，nu，ne分別為系統(tǒng)輸出、系統(tǒng)輸入以及噪聲的最大滯后；d為時(shí)間延遲通常設(shè)置為1；F[·]為某個(gè)非線性函數(shù)。該模型實(shí)質(zhì)上是對(duì)過去輸入、過去輸出以及噪聲項(xiàng)的擴(kuò)展。經(jīng)過仔細(xì)分析，可以看出相比于ARX模型，NARMAX模型與非線性項(xiàng)相結(jié)合，極大地提高了識(shí)別復(fù)雜模型的能力。

使用的NARMAX模型結(jié)構(gòu)如下：

y(k)=a1y(k-1)+a2y(k-2)+b1u(k-1)+

b2u(k-2)+cu(k-3)+du2(k-1)+

fu(k-1)y(k-1)

(11)

對(duì)比表明，該模型是基于ARX模型加上cu(k-3)+du2(k-1)+fu(k-1)y(k-2)。容易看到，盡管項(xiàng)cu(k-3)、du2(k-1)和fu(k-1)y(k-2)是非線性的，但是相較于整個(gè)NARMAX模型，如果把它看作一個(gè)整體項(xiàng)，則從參數(shù)辨識(shí)的角度來看，模型是線性的。所以，仍然能使用最小二乘法解決，其原理與上述相同。

仍然使用900組數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，使用100組數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的有效性驗(yàn)證，結(jié)果如圖3所示。

圖3 NARMAX模型

y(k)=1.9721y(k-1)-0.9746y(k-2)+

0.0186u(k-1)+0.0747u(k-2)+

0.0373u(k-3)-0.0186u2(k-1)+

0.0238u(k-1)y(k-2)

(12)

從圖3可以看出，選擇的NARMAX模型輸出能有效地跟蹤真實(shí)輸出。該模型中，J=0.0532，與ARX模型相同，NARMAX模型相關(guān)性分析如圖4所示。

顯然從圖4中可以看出，NARMAX模型的相關(guān)性測(cè)試是合格的，即NARMAX模型可以很好地看作一個(gè)黑箱機(jī)理模型，并表達(dá)輸出和輸入的關(guān)系。因此在第2節(jié)中，將使用該模型轉(zhuǎn)換為U模型來觀察其控制效果。

圖4 NARMAX模型的相關(guān)性測(cè)試

2 基于U模型的Buck變換器控制器設(shè)計(jì)

面向控制的U模型可以通過擴(kuò)展非線性函數(shù)f(·)關(guān)于u(k-1)的多項(xiàng)式獲得，通過將非線性函數(shù)f(·)展開成關(guān)于u(k-1)的多項(xiàng)式，可以得到如下所示的面向控制的U模型。

(13)

式中，M為模型輸入u(k-1)的階；參數(shù)αj(k-1)為過去輸入u(k-1)，…，u(k-n)和過去輸出y(k-1)，…，y(k-n)以及過去誤差e(k-1)，…，e(k-n)的函數(shù)。通過安排，面向控制的模型可以看作輸入u(k-1)和相關(guān)的時(shí)變參數(shù)αj(k-1)的純冪級(jí)數(shù)。方程(13)的表達(dá)式定義為U模型。換句話說，這是一個(gè)偽輸入多項(xiàng)式閉合非線性模型。

根據(jù)上文對(duì)U模型的描述，Buck變換器的NARMAX模型可以變換成如下U模型：

(14)

基于U模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)使用了負(fù)反饋原理，控制器的輸入信號(hào)由期望輸出與實(shí)際輸出過去時(shí)刻相關(guān)值比較得到，以此將極點(diǎn)配置到指定的位置?？刂破鬏敵鲇汕蠼鈹?shù)學(xué)方程得到，并且通過對(duì)帶有u(k-1)的多項(xiàng)式的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效性分析就完成了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，這大大簡化了控制器的設(shè)計(jì)過程。當(dāng)?shù)玫矫嫦蚩刂频哪Ｐ蜁r(shí)，使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)參考形成以下公式來設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置控制器，考慮方程(13)的U模型，極點(diǎn)配置控制器可以描述為

RU(k)=Tw(k)-Sy(k)

(15)

式中，w(k)為參考的輸出信號(hào)；R、S、T為前移算子q的多項(xiàng)式，如下所示：

(16)

式中，q為前向算子；n、m、l分別為多項(xiàng)式R、T、S的階。設(shè)計(jì)的控制器必須滿足以下因果關(guān)系條件：l

方程的控制律表示一個(gè)傳遞函數(shù)為-S/R的負(fù)反饋和一個(gè)傳遞函數(shù)為T/R的前饋。所以其含有2個(gè)自由度。閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。實(shí)際輸出y(k)可以與參考輸出w(k)相聯(lián)系：

(17)

圖5 廣義閉環(huán)非線性控制系統(tǒng)

多項(xiàng)式Ac為由設(shè)計(jì)者提前指定的閉環(huán)特征方程。為了消除作用在控制輸出上的穩(wěn)態(tài)偏移，在控制輸出時(shí)使穩(wěn)態(tài)誤差等于零，指定多項(xiàng)式T為：

T=Ac(1)

(18)

極點(diǎn)配置設(shè)置的核心是指定期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式Ac。只要Ac確定，多項(xiàng)式T就確定，然后通過丟圖番方程求解多項(xiàng)式R和S，3個(gè)多項(xiàng)式確定后，信號(hào)U(k)就可以通過方程(15)獲得。

以U(k)作為根求解器，可以使用文獻(xiàn)[9]中的牛頓拉夫遜算法找到控制器輸出u(k-1)。遞推計(jì)算描述如下：

(19)

式中，下標(biāo)h為迭代指數(shù)，即第h+1次迭代從第h次迭代獲得，h≥ 0。

本文中閉環(huán)特征方程指定為

Ac=q2-1.5q+0.609

(20)

得到閉環(huán)極點(diǎn)為0.75±0.216i，對(duì)應(yīng)的無阻尼自然頻率為0.96 rad/s，阻尼比為0.78。為了獲得零穩(wěn)態(tài)誤差，指定

T=Ac(1)=1-1.5+0.609=0.109

(21)

對(duì)于多項(xiàng)式R和S，指定為

R=q2+r1q+r2,S=s0q+s1

(22)

將式(20)和式(22)代入丟圖番方程R+S=Ac，多項(xiàng)式R和S中的系數(shù)可以表示為

r2+s1=0.609,r1+s0=-1.5

(23)

為了保證序列U(k)的計(jì)算收斂性，令r1=-0.9,r2=0.009。這樣的安排對(duì)應(yīng)U(k)的特征方程為(q-0.89)(q-0.01)=0。則S的系數(shù)可以通過多項(xiàng)式方程(23)中的丟圖番方程確定為：s0=-0.6，s1=0.6。

將多項(xiàng)式R和S的系數(shù)帶入到控制器方程(15)中，得到

U(k+1)=0.9U(k)-0.009U(k-1)+0.109w(k-1)+

0.6y(k)-0.6y(k-1)

(24)

則控制器輸出u(k)可以用方程(19)求解得到。

3 仿真分析

首先在Simulink中搭建Buck變換器的模型，電路拓?fù)淙鐖D6所示。主電路由MOSFET管S、濾波電感L、濾波電容C、續(xù)流二極管D和負(fù)載電阻R構(gòu)成。

圖6 Buck變換器電路拓?fù)?/p>

首先，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。選取占空比d=0.3作為系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)，采取零均值化方法進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，通過在系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)上疊加零均值的輸入信號(hào)M序列進(jìn)行零均值化。辨識(shí)的輸出信號(hào)為輸出電壓的變化量(M序列疊加穩(wěn)定工作點(diǎn)下的輸出電壓減去穩(wěn)定工作點(diǎn)下的輸出電壓)，辨識(shí)的輸入信號(hào)為輸入電壓的變化量即M序列。值得注意的是，在整個(gè)工作過程中開關(guān)頻率1/T=50 kHz保證了Buck變換器工作在連續(xù)工作模式下，即濾波電感上的電流不會(huì)為零。

接著，使用最小二乘法建立Buck變換器的ARX模型并進(jìn)行相關(guān)性分析找出NARMAX的缺失項(xiàng)，將NARMAX模型轉(zhuǎn)換成U模型進(jìn)行極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)。

最后，選擇一個(gè)周期方波作為參考信號(hào)進(jìn)行仿真，圖7為參考信號(hào)為方波的系統(tǒng)反應(yīng)，圖8為參考信號(hào)為方波的控制器輸出與三角波比較后得到的變換器輸入信號(hào)。同時(shí)，選擇PID控制方法作為對(duì)比，PID參數(shù)采用臨界比例度法確定，效果如圖7所示。

圖7 方波的系統(tǒng)響應(yīng)

圖8 參考信號(hào)為方波的控制器輸出

根據(jù)仿真結(jié)果，基于U模型的極點(diǎn)配置控制器在調(diào)節(jié)時(shí)間上優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制法，且在超調(diào)量控制上具有顯著優(yōu)勢(shì)。通過仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，基于U模型的極點(diǎn)配置控制器控制效果較好，同時(shí)可以將線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法擴(kuò)展到Buck變換器的控制器設(shè)計(jì)中。

4 結(jié)論

通過一系列的測(cè)試和比較，可以看到對(duì)于狀態(tài)空間平均模型，運(yùn)用傳統(tǒng)的PID控制方案在反應(yīng)速度和反應(yīng)精度方面效果不足。通過數(shù)據(jù)建模得到NARMAX模型，從而得到U模型并基于U模型設(shè)計(jì)控制器是一個(gè)可行的方法。

此外，在許多研究中，將先進(jìn)控制技術(shù)與多種控制方法相結(jié)合，以獲得更滿意的控制效果。例如，U模型已經(jīng)和預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)內(nèi)?？刂频壤碚撗芯款I(lǐng)域的控制方法相結(jié)合。利用U模型可以直接利用線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)控制器是一個(gè)可行的方法。所以，隨著功率變換器控制技術(shù)的發(fā)展，基于模型辨識(shí)的控制方法，例如U模型控制，有更多的探索空間。