函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用

湖北省十堰市鄖西職業(yè)技術學校 梅書彩

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學最重要的數(shù)學思想，它是從問題中的數(shù)量關系分析入手，運用數(shù)學語言將問題描述轉化為數(shù)學模型、函數(shù)、方程、不等式（組），然后通過函數(shù)性質、圖像或解方程、不等式（組）獲得問題解決，經(jīng)常使用會使學生運用自如，思維開闊，優(yōu)化解題策略，提高解題能力。

數(shù)列是定義域為正整數(shù)集（或其子集）的特殊函數(shù)，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式都可以看成項數(shù)的函數(shù)。因而，某些數(shù)列問題?？梢岳煤瘮?shù)與方程的思想來分析，用函數(shù)與方程的思想來解決。下面從幾個方面探討函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應用。

一、數(shù)列中基本量a1，d(q)，n 的計算問題

例1 若{an}是等差數(shù)列，a15=8，a60=20，求a75。

例2 等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，若該數(shù)列的前n項和為Sn，且Sn=80，S2n=6560，在前n項和中，數(shù)值最大的一項為54，求數(shù)列{an}的首項和公比。

解：設公比為q，由S2n-Sn=6480 ＞Sn知q＞1，

又an＞0，所以前n項中最大項為an=a1qn-1=54 （1）

（2）（3）式聯(lián)立解得a1=2,q=3。

評述：等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類特殊的數(shù)列，是高考的重要考點，它們的通項公式和前n項和公式中有5 個元素：a1,n,d(q),an,Sn，其中a1,n,d(q)是基本量，5 個元素中“知三求二”，列方程或方程組求解。

二、通項公式an 的求解問題

例3 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a5=11,a8=5，求數(shù)列{an}的通項公式。

解得a1=9,d=-2，

所以an=19+(n-1)(-2)，即an=-2n+21。

本例是等差數(shù)列的簡單問題，但是體現(xiàn)了方程與函數(shù)思想在數(shù)列中的應用。根據(jù)兩個獨立條件解出兩個量a1和d，進而寫出an的表達式，幾個獨立條件就可以解出幾個未知數(shù)，這是方程思想的應用。等差數(shù)列通項公式an是n的一次函數(shù)，前n項和Sn是n的二次函數(shù)，等比數(shù)列通項公式an是n的指數(shù)型函數(shù)，故有關問題可考慮相應的函數(shù)性質，以助問題的解決。

例4 已知數(shù)列{an}是以2 為首項，1 為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{abn}的通項公式。解：由題意可知an=2+(n-1)×1=n+1，bn=1×2n-1=2n-1，所以abn=2n-1+1。

本例乍一看讓很多學生茫然不知所措，但明確數(shù)列的通項公式本質是函數(shù)的解析式，類比求函數(shù)解析式中已知f(x)，求f(g(x))，用代入法問題就迎刃而解了。

由此可見，函數(shù)與方程思想貫穿數(shù)列問題的始終，數(shù)列問題的解決離不開函數(shù)與方程思想的靈活應用。用函數(shù)與方程的思想研究數(shù)列問題，會讓我們對數(shù)列的認識更全面、理解更深刻，能從根本上提高我們的學習能力、思維能力及創(chuàng)新能力。