關于初中幾何解題方法的幾點思考

江蘇省蘇州高新區(qū)第五初級中學校 劉志昂

一、一般問題的解決方法

一般問題是指比較基礎的幾何問題，通常的解決方法是“讀題、讀圖，適當標記加聯(lián)想”?！白x題”是指逐字逐句地讀題，要讀出已知條件和要解決的問題，讀出關鍵詞，讀出已知條件和未知條件之間的聯(lián)系等；“讀圖”是指每讀到一個已知條件，都要在圖形上找到它的位置；“適當標記”是指每一個已知條件都要在圖上做出適當?shù)臉擞?，比如相等的線段，用條數(shù)相等的短線進行標記，相等的角用條數(shù)相等的短弧線進行標記等；“聯(lián)想”是指每讀出一個已知條件，都要聯(lián)想到它可以得出什么結論，或者與已有其他已知條件一起，可以得出什么結論。

例1：如圖1，在△ABC中，BP平 分 ∠ABC，CP平 分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC＝5，求△PDE的周長。

圖1

分 析：“BP平 分∠ABC” 指 向 于“ ∠ABP= ∠PBD”，“PD∥AB”指向于“∠ABP=∠BPD”，兩個條件在一起可以得到∠PBD=∠BPD，由“等角對等邊”可以得到BD=PD，同理得CE=PE，這樣△PDE的周長就轉化為線段BC的長。

如上題所述，一些簡單的幾何問題運用此方法，可以直接得到解題的思路和方法。

二、復雜問題的解決方法

對于一些復雜的結合問題，運用上面的“讀題、讀圖，適當標記加聯(lián)想”不能馬上解決問題，則需用“綜合——分析法”，俗稱“執(zhí)果索因法”，即“缺誰證誰”。

例2：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°。過點A作直線AP（如圖2 所示），點C關于直線AP的對稱點為點D，連接BD，CD，直線BD交直線AP于點E。

（1）依題意補全圖；

（2）若直線AP旋轉到如圖2 所示的位置，請用等式表示線段EB、ED、BC之間的數(shù)量關系，并證明。

圖2

圖3

分析：（1）中的作圖如圖3，根據(jù)圖形的軸對稱性，可以得到AC=AD=AB，CE=CD，那么線段EB、ED、BC之間的數(shù)量關系就轉化為線段EB、EC、BC之間的數(shù)量關系。三條線段之間的關系，常規(guī)的是和差關系（比如兩條線段的和等于第三條線段）或者是兩條線段的平方和等于第三條線段的平方。根據(jù)圖形可以初步判斷應該是后一種，那么解決問題的交點就集中在證明∠BEC是直角上，這就是初步的 “執(zhí)果索因”。對于∠BEC是直角的證明，則從四邊形ABEC的內角和入手，現(xiàn)在∠BAC是直角，則需證明∠ABE+∠ACE=180°，這是進一步的“執(zhí)果索因”，由上面的AC=AD=AB，CE=CD可得∠ACE=∠ADB=∠ABD，而∠ABD與∠ABE互補，則∠ABE+∠ACE=180°，得到∠BEC＝90°，進而BE2+CE2＝BC2，故EB2+ED2＝BC2。

三、特殊問題的解決方法

1.線段和差關系的證明

線段之間的和差關系，是指幾條線段的和或差與另外幾條線段的和或差相等，對于這類問題的證明的常用方法是“截長補短”。如需要證明a+b=c，則可以將c截成兩條線段，使其中的一條等于a，證明剩下的那條線段等于b，這叫“截長”；將線段a延長b的長度，得到一條新的線段d，則線段d的長度等于線段a與線段b的長度之和，只要證明d=c即可，這叫“補短”。

例3： 如 圖4， 在△ABC中， ∠BAC＝75 °， ∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D。

（1）求證：△BCD為等腰三角形；

（2）若∠BAC的平分線AE交邊BC于點E，如圖5，求證：BD+AD＝AB+BE。

圖4

圖5

分析：（1）如圖4，先根據(jù)三角形內角和得∠ABC＝70°，由角平分線及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，由此可得結論。

（2）證法一（截長）：如圖5，在AC上截取AH＝AB，連接EH，證明△ABE≌△AHE，則BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝BD＝CD。

證法二（補短）：如圖5，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，證明△AEF≌△AEC，則∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，由此可得結論。

2.幾何解題中的分類討論

幾何解題中，由于一些特定的因素（如已知條件的不確定性、位置關系的不確定性等）的存在，導致了結論的不確定性，故需要根據(jù)不同的情況或者不同的前提對結果進行討論，叫作分類討論。分類討論時需要注意：（1）分類時要按照一定的順序，確保不重不漏；（2）討論結束時，需要對問題給予總結性的結論。

例4：如圖6，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連接CD。作∠CDE＝30°，DE交AC于點E。

（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是__________；

（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由。

分析：（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°得到∠ACD＝120°-30°＝90°，則△ACD是直角三角形。

（2）對于△ECD是等腰三角形，分三種情況：EC＝DE、CD＝DE、EC＝CD。由于題目中是從角的角度來解決問題的，故還要轉化為角的關系，分別對應為∠CDE＝∠ECD、∠ECD＝∠CED、∠CED＝∠CDE三種情況進行討論，然后利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理進行計算。

3.幾何解題中的動點問題

在幾何的有關計算與證明中，往往會遇到動點問題。一般是某一個或幾個點沿著一定的方向，按照一定的速度運動。解決這類問題，往往是看清動點的起點和終點（可能會與自變量的取值范圍有關），根據(jù)運動的速度、時間表示所有能表示出的線段的長，然后根據(jù)題中給出的相等關系或者是題中幾何圖形的性質得到相等關系，列出方程求解。

例5：在直角三角形ABC中，若AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20 厘米。 點P從點A開始以2 厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移動，點Q從點C開始以1 厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間，那么：

（1）如圖7，請用含t的代數(shù)式表示：

①當點Q在AC上時，CQ＝__________；

②當點Q在AB上時，AQ＝__________；

③當點P在AB上時，BP＝__________；

④當點P在BC上時，BP＝__________。

（2）如圖8，若點P在線段AB上運動，點Q在線段CA上運動，當QA＝AP時，試求出t的值。

（3）如圖9，當P點到達C點時，P、Q兩點都停止運動，當AQ＝BP時，試求出t的值。

分析：（1）根據(jù)三角形的邊長、點的運動速度進行解答（這里就是上面所說的用動點運動的速度、時間表示所有能表示出的線段的長）。（2）根據(jù)QA＝AP這一相等關系列出方程，解方程即可。（3）根據(jù)分點P在線段AB上運動，點Q在線段CA上運動；點P在線段BC上運動，點Q在線段CA上運動；點P在線段BC上運動，點Q在線段AB上運動三種情況中，根據(jù)AQ＝BP這一相等關系列出方程，解之即可。

4.幾何解題中的“模式識別”策略

在解決一些簡單的問題或者簡單的圖形時得到了基本的結論，積累了基本的解題方法和解題思路，將之理解、記憶，遇到形同的、相近的、相關的、相似的問題時，可以用它來解決問題，簡單地說，是“基本問題的基本結論，基本思路和基本方法”。

例6：探索與運用。

（1）基本圖形：如圖10，已知OC是∠AOB的角平分線，DE∥OB，分別交OA、OC于點D、E，求證：DE＝OD。

（2）在圖11 中找出這樣的基本圖形，并利用（1）中的規(guī)律解決這個問題：已知△ABC中，兩個內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，交AB、AC于點D、E，求證：DE＝BD+CE。

（3）若將圖12 中兩個內角的角平分線改為一個內角、一個外角（如圖12，∠ABC、∠ACF）和兩個都是外角（如圖13，∠DBC、∠BCE）的角平分線，其他條件不變，則線段DE、BD、CE的數(shù)量關系分別是：圖12：________________，圖13：______________。

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)平行線的性質得到∠DEO＝∠BOC，等量代換得到∠DEO＝AOC，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結論。這里構造出一種“角平分線、平行線和等腰三角形”模式：在這種特定的圖形結構之下，DE∥OB，OC平分∠AOB和DO=DE，三者可以知二得一（即知道任意兩個結論，都可以推出第三個結論），也可以理解為：在特定的圖形結構之下，角平分線、平行線和等腰三角形可以知二得一。（2）根據(jù)圖形的結構特征，顯然存在著兩個上述的基本“模式”中的基本圖形，根據(jù)上述“模式”中蘊含的結論和思路、方法，很快便可以得到BD=DO，OE=CE，然后利用等量代換即可解決問題。（3）圖12 中，根據(jù)前面的“模式”，可以得到DB=DO，EO=EC，所以DE=OD-OE=DB-CE。圖13 中，根據(jù)前面的“模式”，可以得到DB＝DO，EO＝EC，所以DE＝OD+OE=BD+CE，