綜合法與分析法：數(shù)學(xué)解題運(yùn)用解析

江蘇省沭陽縣沭陽如東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 袁青超

綜合法與分析法是數(shù)學(xué)解題中兩個(gè)最基本的方法，是思維方向截然相反的兩種方法，它們在數(shù)學(xué)解題過程中有著十分重要的作用。因此，我們在平時(shí)的教學(xué)中要有意識地滲透給學(xué)生, 讓他們切實(shí)地掌握這兩種方法，形成真正的分析問題和解決問題的能力，這也是發(fā)展學(xué)生思維能力的需要。

綜合法是從問題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題，即“已知→結(jié)論”；分析法是從問題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后到題設(shè)的已知條件，即“結(jié)論→已知”。

例1：如圖1，AB∥CD，CE=DE。求證：∠AEC=∠BED。

本題的條件清楚明了，利用平行可證明角相等；利用等邊證等角；然后等量代換，就可以得出一對我們求證的角相等。

綜合法：因?yàn)锳B∥CD（已知），

所以 (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

由此可見，我們從已知條件出發(fā)，不斷地展開思考，去探索結(jié)論，這就是綜合法，即“由因?qū)Ч薄?/p>

例2：如圖2，在△ABC中，AB,AC的垂直平分線l1,l2相交于點(diǎn)O。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。

圖2

這道題如果從條件出發(fā)，說明三角形三邊的垂直平分線交于同一點(diǎn)，學(xué)生在思考時(shí)可能會對已知的兩條垂直平分線無從下手；而我們再來看看問題的結(jié)論，很明顯，要用到線段垂直平分線的判定定理，就是證明點(diǎn)O到線段BC兩端的距離相等，于是添上輔助線就可以解決了。

分析法：要證點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，

只需要連接OB,OC，去證明OB=OC。

而已知l1是邊AB的垂直平分線，可以證明OA=OB，

又已知l2是邊AC的垂直平分線，可以證明OA=OC，

所以O(shè)B=OC成立。

由此可見，我們從結(jié)論出發(fā)，不斷地去尋找需知，甚至添加輔助線的條件，直至達(dá)到已知事實(shí)為止，這就是分析法，也就是“執(zhí)果索因”。

分析法利于思考，綜合法益于表達(dá)。但事實(shí)上，在解題過程中，分析和綜合并不是孤立的，而是互相聯(lián)系的，我們經(jīng)常把兩種方法協(xié)同運(yùn)用，稱為綜合分析法。對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，無論是從“已知”到“未知”還是從“未知”到“已知”，都有一個(gè)漫長的過程。單靠分析法或合成法更難。為了保證勘探方向的準(zhǔn)確和過程的快速，人們經(jīng)常同時(shí)采用分析法和綜合法，即綜合分析法。從知識和結(jié)論出發(fā)，我們應(yīng)該找到問題的中間目標(biāo)。

例3：如圖3，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D，CD與AB的延長線交于點(diǎn)C，∠A=30°。求證：AB=2BC。

下面是運(yùn)用綜合分析法思考的過程：

分析：要證明AB=2BC，要么證全等或相似，要么利用三角函數(shù)。

圖3

綜合：條件中的直徑和切線都可以構(gòu)造直角三角形，特別是∠A=30°，那么∠A在直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半。

因此，我們要找到以AB和BC為斜邊、直角邊的直角三角形，很顯然圖中沒有，但有以AB和BD為斜邊、直角邊的Rt △ABD。

∴AB=2BD。

分析：要證AB=2BC，只要證BC=BD,即證明 。

證明：如圖4，連接OD。

因?yàn)镃D是⊙O的切線，

圖4

由此可見，從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑。

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾這樣說過：“在數(shù)學(xué)的天地里，主要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么?！币虼?，在平時(shí)的解題教學(xué)中，我們要潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用綜合、分析的眼光去看問題，去解決問題；我們要幫助學(xué)生樹立解題的目標(biāo)意識，教會他們看清題目的已知條件、已有數(shù)據(jù)，理清題目的目標(biāo)與條件之間的邏輯關(guān)系，通過綜合法和分析法尋找所需的路徑和方法，找到它們之間的因果關(guān)系以及因果關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)所在。