對改編一道圓錐曲線題的探究與反思

陳靜靜

[摘 ?要] 文章以一道圓錐曲線題的改編為研究方向和主要內(nèi)容，總結(jié)歸納這類問題的通性通法，挖掘蘊含其中的方程思想、函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，探究各種方向的命題思路，進而得到了這類定值定點問題的幾個一般性結(jié)論.

[關(guān)鍵詞] 改編;圓錐曲線;定值定點問題

前不久，寧波市教育局教研室組織了“寧波直屬迎春高考數(shù)學(xué)原創(chuàng)模擬卷評比”的活動，要求以三人為一個集體單位組隊命一份高考原創(chuàng)模擬卷. 筆者最大的一項任務(wù)就是命制一道圓錐曲線題.該題既要考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的能力，又要體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化、代數(shù)問題坐標化的解析幾何本質(zhì). 為此筆者探索了許多圓錐曲線的綜合題，發(fā)現(xiàn)該類題的命制大多以軌跡問題、最值問題、存在性問題、定點定值問題等形式出現(xiàn). 其中一道橢圓問題引發(fā)了筆者的思考和探究，筆者以此為原型改編出了一道新題，也在最終的評比中獲得了不錯的成績. 下面筆者把對這道題目的探究反思過程以及改編方向整理成文，與各位同行交流.

原題：已知焦點在x軸的橢圓C的離心率為 ，橢圓上的點與焦點的最大距離為8.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）過其右焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB垂直平分線交x軸于點M，求證： 為定值，并求出此定值.

分析：第（1）小題離心率已定，最大距離即為a+c=8，很快能解得橢圓方程 + =1. 第（2）小題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系，求證的是兩條線段的長度為定值.變化中含有不變的量，說明兩條直線在運動時是相互有關(guān)系的，所以關(guān)鍵在于尋找變中不變的要素，以下為證明過程.

（2）證法一（利用過焦點設(shè)直線方程）：設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立橢圓方程得（16+25k2）x2-150k2x+225k2-400=0，依題意得Δ>0，

利用韋達定理可得線段AB中點P的坐標為 ，- ，

線段MP的方程為：y+ =- ·x- ，則M ，0，

所以FM= ，又利用弦長公式可得AB= ，故 = .

證法二（設(shè)中點坐標，通過點差法大大簡化運算量）：

由題意可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（x0，y0）.

由AB都在橢圓上可利用點差法得到其斜率kAB= =- ，

又由PM⊥AB，可得kPM= ，故直線PM的方程為y-y0= （x-x0），

則M點坐標為 x0，0，所以FM= x0-3，

那么AB=AF+BF=2a-e（x1+x2）=10- x0 .所以 ?= = .

根據(jù)波利亞在《怎樣解題》中提出的怎樣解題表“弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧檢驗反思”，筆者認為最重要的就是反思，好的反思能幫助我們更好地解決一類題，也可以幫助我們更好地命制新題.

反思一：在這樣一個具體的橢圓中，兩條線段的比值為一個定值，那么在一般的橢圓中是否成立呢？

命題1：已知橢圓C： + =1，過其右焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，求證： 為定值，且此定值為 .

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（x0，y0），

由AB都在橢圓上可利用點差法得到其斜率kAB= =- .

又由PM⊥AB，可得kPM= ，可得到直線PM的方程為y-y0= （x-x0），

則M點坐標為 x0，0，故FM= ?x0-c，

那么AB=2a-e（x1+x2）=2a-2× x0，所以 ?= = .

反思二：逆命題能否成立呢？

命題2：已知橢圓C： + =1，與x軸不垂直的任意直線l交橢圓C于A，B兩點，交x軸于點M，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且 為定值，求M點的坐標.

證明：設(shè)直線l的方程：y=kx+m，則點M坐標為- ，0，

聯(lián)立橢圓方程得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，

則根據(jù)弦長公式整理可得AB= ?，

那么AB中點P的坐標為- ，- +m. 又由PM⊥AB，得kPN=- ，

則直線PN的方程y+ -m= - x+ ，

得點N坐標為- +mk，0，則MN=- + ，

那么 = · · = · ?，

當且僅當 = 時，比值為定值. 所以 =±c時，即M點坐標為（±c，0）時，符合題意.

反思三：命題一中直線過的定點為橢圓的焦點，能否弱化條件改為x軸上的任意一點（當然應(yīng)保證在橢圓內(nèi)），還會有兩個線段的比值為定值的結(jié)論嗎？如果沒有，取值范圍是多少呢？

命題3：已知橢圓C： + =1，過x軸上一點（x0，0）（-a≤x0≤a且x0≠±c）作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則 的取值范圍為多少？

證明：由命題2可得 = · ?，

又由直線y=kx+m過點（x0，0）可得kx0+m=0，則m=-kx0，代入可得 ?= ?· ? = ? · ，a2-x ≥0，

所以當-c

當x0∈[-a，-c）∪（c，a]時， 隨著k的增大而減小，故 ∈ ， .

反思四：上述的結(jié)論都是關(guān)于橢圓的定值問題，能否推廣到一般圓錐曲線？

命題4：已知雙曲線段C： - =1，過其右焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，求證： 為定值，且此定值為 .

證明：證明方法與命題一類似，可得 = .

命題5：已知拋物線C：y2=2px（p>0），過其焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，求證： 為定值，且此定值為2. （證明略）

以上就是筆者對改編這道圓錐曲線題的探究與反思，當然，我們探究的目的絕非純粹地強調(diào)如何對試題進行改造，而是希望借助這樣的共同反思，加深對圓錐曲線定值問題解決辦法的本質(zhì)理解，加深對教學(xué)過程中從發(fā)散到回歸的教學(xué)理念的升華. 正所謂“解需有法，而解無定法”，在解決問題中，只有對此題的相關(guān)知識和方法進行“尋根溯源”，才能在此基礎(chǔ)上打破思維定式，見機行事，才能在我們的腦海中“活水長流”.