元素發(fā)現(xiàn)：讓結(jié)構(gòu)化學(xué)材有章可循

萬兆榮 吳玉國

摘 ?要：結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)基于知識發(fā)生與發(fā)展的邏輯順序，著力學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)心理發(fā)展現(xiàn)狀，凸顯數(shù)學(xué)知識內(nèi)外縱橫的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，突出數(shù)學(xué)認知過程和思維方式深入的結(jié)構(gòu)融通，開發(fā)、挖掘、拓展后形成適合學(xué)生學(xué)習(xí)的材料。文章從知識元素的本質(zhì)內(nèi)涵分析入手，通過具體的課例探討結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的實施策略。

關(guān)鍵詞：元素;結(jié)構(gòu)化;學(xué)材;開發(fā)

“結(jié)構(gòu)”隱喻了知識的體系性，結(jié)構(gòu)包括了三個特性：整體性、轉(zhuǎn)化性、自身調(diào)整性。建構(gòu)主義強調(diào)，知識結(jié)構(gòu)建立在核心概念基礎(chǔ)上，結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)正是以兒童的認知經(jīng)驗為支撐點，注意從知識整體結(jié)構(gòu)的高度來研究每一局部知識的作用和地位，強調(diào)在知識的習(xí)得過程中找準知識體系中的關(guān)鍵“核心概念”，即知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵“元素”，以“元素”整體關(guān)聯(lián)功能為核心，進行整體架構(gòu)、重組拓展，形成適合學(xué)生的動態(tài)化的學(xué)習(xí)材料。那么，在實踐中如何緊扣核心元素，開發(fā)結(jié)構(gòu)化學(xué)材呢？

一、核心元素支撐，促進結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計活動的本質(zhì)化創(chuàng)新

人的思維開始于生命組織所固有的結(jié)構(gòu)，而且動作圖式形成中同化機制也離不開某種先行結(jié)構(gòu)，即使活動中形成的新結(jié)構(gòu)，在發(fā)展中并不消除那些先行結(jié)構(gòu)。如果夠把先行結(jié)構(gòu)的核心元素激發(fā)出來，組成整體關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，不但增強記憶的牢固性，還有益于提高檢索提取的效率，更加有利于建立真正反映知識本質(zhì)的內(nèi)在表征系統(tǒng)。

以蘇教版教材五上第二單元“多邊形面積計算”教材為例，教材編排這部分內(nèi)容時，都是將平行四邊形、三角形、梯形的面積推理置身于方格紙中，想讓學(xué)生通過數(shù)方格推算面積，繼而再用“移、拼、割、補”等轉(zhuǎn)化策略，引導(dǎo)學(xué)生獲得各種面積計算的公式，如梯形的面積計算會用多種轉(zhuǎn)化的策略（如圖1），其實，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，還有一個關(guān)鍵的元素“底和高”，無論是面積公式的轉(zhuǎn)化推理，還是面積計算的過程，這兩個條件都是問題解決的關(guān)鍵元素，蘇教版教材將底和高的認識安排在四年級下冊，而真正運用其概念解決問題、體會價值是在五年級上冊，此時多數(shù)學(xué)生早已遺忘這部分內(nèi)容。我們知道，無論是平行四邊形、三角形，還是梯形面積之間的轉(zhuǎn)化，這其中主要是蘊藏著“等底等高”這一核心元素，那么，沿著高運用剪、拼、移等活動方式對各個圖形進行轉(zhuǎn)化時，有相當(dāng)一部分學(xué)生，需要經(jīng)過教師的反復(fù)提示才能明白其中的原委，主要是因為學(xué)生對于高與底概念的模糊。另外，無論是計算單個圖形的面積，還是計算組合圖形的面積，其關(guān)鍵難點仍然是要弄清楚底和高的對應(yīng)關(guān)系。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容之前，要為學(xué)生提供合適的學(xué)材，幫助學(xué)生完善底和高的再認知過程，基于此，筆者設(shè)計結(jié)構(gòu)化的學(xué)材活動，分以下三個步驟：

一是提供一組平行線，讓學(xué)生在平行線上尋找合適的點，任意作出幾條垂線。

二是在平行線上找尋三個點A、B、C，畫一個三角形，再任意找一個點D，再畫一個新的三角形，比較新三角形與原三角形ABC的異同之處。

三是移動D點位置再建三角形，探討發(fā)現(xiàn)所有三角形的底和高的關(guān)系，獲得等底等高三角形的特征，同時探討出不同類型三角形的高與底的位置關(guān)系，特別是鈍角、直角三角形的高。

這里，讓學(xué)生通過豐富、直觀的背景材料，感知三角形的底和高，學(xué)生在自己設(shè)計的D點中學(xué)會了比較、分類，發(fā)現(xiàn)材料的不同與相同之處，學(xué)生通過觀察、實驗看到了鈍角三角形的高，這是教材中回避的問題，但在三角形面積計算以及組合圖形面積計算時，鈍角三角形的高是無法避免的。因此，在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)之前增加“底和高的認識”這一學(xué)材，既激活了學(xué)生的認知基礎(chǔ)與知識經(jīng)驗，又可以體現(xiàn)學(xué)生對于概念的建構(gòu)和形成過程，同時還可以提升學(xué)生思維的準確性和嚴密性，更為學(xué)生探究多邊形面積計算的過程提供支撐點、腳手架，繼而在面積公式推理過程中讓學(xué)生有目標(biāo)地進行探究，而不是教師要求用轉(zhuǎn)化的思想進行“剪、拼、移”等操作活動。

當(dāng)學(xué)完梯形面積計算之后，再次將這多種圖形置身于平行線之間比較面積大?。ㄈ鐖D2），只需簡約圖形，讓學(xué)生進行嚴密的思考，再次通過“底和高”的關(guān)鍵元素探討，把問題綜合成一個知識結(jié)構(gòu)整體，使認知過程從具體上升到抽象，由特殊上升到一般，從領(lǐng)會走向深刻。結(jié)構(gòu)化的學(xué)材開發(fā)不能僅僅是知識的體現(xiàn)，讓學(xué)生學(xué)會用統(tǒng)整的思維方式進行問題解決，更重要的是育人價值的開發(fā)。

二、核心元素挈領(lǐng)，促進結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計活動的本質(zhì)化提升

學(xué)習(xí)內(nèi)容不是單一的，而是相互關(guān)聯(lián)的知識群。教師必須開放具有結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生在理解所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上邊學(xué)邊歸納，從而理解具有相同或相似特征的知識群，在這個知識群中核心元素起著決定性的作用，學(xué)習(xí)過程中要緊扣主題，凸顯核心元素，以《正比例的意義》為例，教材呈現(xiàn)的資源（如圖3）。

【圖例分析】

教材首先以表格的形式，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、計算和比較幾組相對應(yīng)的路程和時間的比，主動發(fā)現(xiàn)汽車行駛的時間和路程是兩種相關(guān)聯(lián)的量。這兩種量的變化是存在一定的規(guī)律的，且比值相同，也就是說，行駛的時間變化，路程也隨之變化，汽車行駛的速度是一定的。在此基礎(chǔ)上揭示正比例的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“正比例意義”正是滲透于培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想的重要內(nèi)容，同時也是學(xué)生理解函數(shù)思想的難點，正比例是刻畫某一現(xiàn)實背景中兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從常量到變量是學(xué)生認識過程中的一次重大飛躍。雖然學(xué)生在過去用字母表示數(shù)和運算律的學(xué)習(xí)過程中對變量的思想有過一些感知。但真正用函數(shù)的觀念探索兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律，是從正比例意義開始的。函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要在初中二年級，學(xué)好本課內(nèi)容能有效銜接中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)圖像埋下伏筆，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

這樣從現(xiàn)實生活中熟悉的實例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、計算和交流等活動中初步感知變量的特點，凸顯概念的形成，有利于學(xué)生正確理解正比例的意義，在建立概念的同時積累一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)抽象的過程和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，增強探索意識，那么，如何對接好兒童的認知結(jié)構(gòu)，設(shè)計與實施好這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)過程呢？教師們的教學(xué)通常采用如下步驟進行。

【教學(xué)片段】

（1）看一看，表中有哪兩種量，它們是相關(guān)聯(lián)的量嗎？

（2）比一比，相關(guān)聯(lián)的這兩種量的變化有什么規(guī)律呢？

（3）算一算，路程與時間的比值表示什么？

（4）議一議，能用一個式子表示上面的規(guī)律嗎？

（5）小結(jié)：行駛的路程和時間成正比例關(guān)系。

（6）說一說：你發(fā)現(xiàn)兩種量要成正比例，需要滿足哪些條件呢？

（7）寫一寫：借助字母x、y和k，用怎樣的式子表示正比例關(guān)系？

【歸因分析】

通過以上有層次、有步驟的自主學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生明白行駛的路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，發(fā)現(xiàn)行駛的路程隨時間的長短而變。其次，在比較中啟發(fā)學(xué)生從“變化”中發(fā)現(xiàn)“不變”的要素。最后，結(jié)合路程和時間相對應(yīng)的幾組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)比值都是80，得出路程/時間=速度（一定），進一步理解正比例的意義。這樣由淺入深，由表及里的學(xué)習(xí)，看似很容易理解概念，但實踐表明，學(xué)生在這樣的材料學(xué)習(xí)中，對于正比例的意義的理解不是很深刻，具體分析原因，主要有以下幾個方面：

函數(shù)是刻畫數(shù)量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，許多數(shù)學(xué)問題中變量之間的關(guān)系都可以用函數(shù)表示，兩個變量相互聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一固定的值與其對應(yīng)。但對于兩種變量的理解就是這部分內(nèi)容的“核心元素”，上述案例中，直接從給定的表格中的數(shù)據(jù)分析，“有什么發(fā)現(xiàn)”這一問題引導(dǎo)學(xué)生列出各個比的式子，并且在比值相等的過程中，抽象概括出正比例的意義，從具體到一般、從具體到抽象的處理方式看似讓學(xué)生通過自己的積極探索，構(gòu)建意義的過程，實質(zhì)上學(xué)生的經(jīng)驗過程存在著兩個問題：

首先，學(xué)生對于時間與路程這兩種量的“關(guān)聯(lián)性”不是特別理解，主要是對相關(guān)聯(lián)量的特征的理解。

其次，情境問題的設(shè)置缺乏對運動、變化的體現(xiàn)與分析。我們知道，漢語中函數(shù)的概念是“在某一變化過程中，兩個變量x、y，對于x的某一個值，y都有唯一的值和它對應(yīng)，y就是x的函數(shù)?！边@里的路程與時間這兩個量在變中相互對應(yīng)，兩個變量之間的依賴關(guān)系不易理解。

另外，圖例中首次接觸正比例的意義，并沒有從多角度，運用多元化的表征方式，僅從一組數(shù)量關(guān)系，就概括出正比例的意義存在著局限性，特別是教材中對正比例的意義是這樣定義的：“路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。當(dāng)路程和相對應(yīng)時間的比值總是一定（也就是速度一定）時，我們就說，行駛的路程和時間成正比例關(guān)系，行駛的路程和時間是成正比例的量?！比唛L的概念對學(xué)生來說，理解起來相當(dāng)?shù)姆彪s，不利于函數(shù)思想的全面深刻的生根。我們知道，正比例的圖像表示、解析表示以及列表表示在一定程度上講是三種函數(shù)觀（函數(shù)是曲線，是解析式，是對應(yīng)），但教材資源只是表格中的數(shù)據(jù)分析，由此便形成函數(shù)的解析式表征，這不利于學(xué)生對函數(shù)的核心——對應(yīng)思想的深刻構(gòu)建。

【結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計】

1. 深根提煉，邏輯遞增

結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計需要深入了解學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)狀況，要緊扣知識核心元素，凸顯邏輯結(jié)構(gòu)，注重運用學(xué)生熟悉的問題情境，選取合理的知識，對現(xiàn)實生活中事物運動與變化的事件進行刻畫，特別要給學(xué)生呈現(xiàn)一種來自兒童原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的引導(dǎo)性材料，運用邏輯的規(guī)律和方法進行設(shè)計活動，以激活學(xué)生的認知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

圖4

情景一：多媒體演示（如圖4）水柱逐個上升的過程。觀察思考：這里的哪些量發(fā)生了變化？這里哪些量是相關(guān)聯(lián)的？

生：高度逐漸增加，體積逐漸增加，高度與體積是相互關(guān)聯(lián)的，底面積相同。

情境二：將圖1動畫改成同高不同底的水柱（如圖5）。

生：底面積相同，高度變化了，體積也變化;高度相同時，底面積變大了，體積也變大了。

【學(xué)材選用意圖】

在學(xué)習(xí)這部分知識之前，學(xué)生對于圓柱的體積、表面積、高度的變化十分熟悉，用熟悉的情境探索新的數(shù)學(xué)知識，既使學(xué)生有親近感，又有神秘感，引發(fā)學(xué)生對客觀知識的深入理解，這有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。另外，根據(jù)系統(tǒng)論的整體功能大于局部功能之和的觀點，情境二的設(shè)計，讓學(xué)生體會到同高不同底，高不變，底面積變體積也變，在多元化的變化形式中，讓學(xué)生把各種相關(guān)聯(lián)的量都列舉出來，通過對這些相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律的研究，突出正比例關(guān)系的核心元素“變中有不變”，找準不變量理解關(guān)系。這樣的學(xué)材探討使得知識成塊呈現(xiàn)，重點讓學(xué)生經(jīng)歷一個整體—局部—整體的過程，擴大知識的承載的背景材料，從核心元素關(guān)聯(lián)中建立有序的知識框架，有助于知識的提煉、升華。

2. 整體呈現(xiàn)，逐個突破

結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計要與認知結(jié)構(gòu)中原有知識之間的聯(lián)系，為新知識學(xué)習(xí)起著提供認知框架的作用。特別要注重認知建構(gòu)的整體性，理解“連續(xù)—關(guān)聯(lián)—循環(huán)”三個層次，經(jīng)歷“舊知經(jīng)驗的對接—新認知結(jié)構(gòu)的擴展—優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)”的過程。

圖6

情境三：（如圖6）當(dāng)有了這些具體數(shù)據(jù)后，你能看出變化中不變的規(guī)律嗎？如果有一張空表格你會整理這些數(shù)據(jù)么？

觀察思考：根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，像這樣的變化有什么共同的規(guī)律，你能用字母表示關(guān)系嗎？（如圖7）10是怎樣得到呢，它表示什么？

圖7

【學(xué)材選用意圖】

皮亞杰指出，結(jié)構(gòu)與主體是不可分離的，認知活動的發(fā)生存在一種初始的狀態(tài)，即一切認知活動的進行依賴“先行結(jié)構(gòu)”。因而，在設(shè)計學(xué)習(xí)活動時首先要把以前結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)加以整合，對接學(xué)生的認知起點、知識元素的內(nèi)在關(guān)系設(shè)計教學(xué)、實施連續(xù)學(xué)習(xí)。這里從實物圖像變化到表格的梳理，從沒有省略號到有省略號，再到字母表示，從數(shù)據(jù)整理成表格，到問題設(shè)計的層階性，緊扣“量的變化”，著力為學(xué)生提供直觀、動態(tài)看得見的變量，形成一個逐步抽象的符號化的過程，有利于學(xué)生對相關(guān)聯(lián)的量的深入理解。

3. 多元表征，融通建構(gòu)

結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)注重多元表征方式的嵌入，并以提煉共同核心要素為脈絡(luò)，形成知識框架結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生新的層次更高的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。

情境四：將圖6的圓柱形水柱的實物圖去掉后，留給學(xué)生各個點與數(shù)據(jù)，（如圖8）讓學(xué)生自己解釋圖中各個數(shù)據(jù)。

圖8

【學(xué)材選用意圖】

函數(shù)是平面上一些點的集合，是平面上的“圖形”無論是正比例還是反比例，用圖像思考，是掌握函數(shù)性質(zhì)，理解函數(shù)思想的關(guān)鍵，圖像與表格相結(jié)合，有利于變量間的對應(yīng)關(guān)系、連續(xù)性、依賴性的擬合，易于形成正比例的函數(shù)模型。但教材將正比例意義的圖形安排在第二課時學(xué)習(xí)，主要是強調(diào)應(yīng)用。一般而言學(xué)生對正比例意義不能深刻理解，因此，根據(jù)首映心理，在第一課時認識正比例意義中，要將圖形、列表、解析式，借助多元表征方式鏈接內(nèi)容，體會量變的豐富多樣性，從局部特性過渡到整體特性，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的整體變化。

三、核心元素統(tǒng)整，促進結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計活動的本質(zhì)化拓展

元素不僅包括學(xué)習(xí)內(nèi)容被分解成的各個基本要素，也包括知識點背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、核心素養(yǎng)等，結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)強調(diào)核心元素的統(tǒng)整作用。

以五年級上冊“小數(shù)的意義”教學(xué)為例，雖然學(xué)生在三年級就認識并且能順利讀出一兩位小數(shù)，這一經(jīng)驗主要源于生活中的標(biāo)價簽上，但這些小數(shù)所表示的意義是什么學(xué)生仍無法說清。五年級上冊教材將這部分從一位到三位小數(shù)的意義安排在一節(jié)課，教材明確指出一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾，教材這樣安排，對于相當(dāng)一部分學(xué)生來說是很難理解的，分析原因有以下幾個方面：

1.小數(shù)的基礎(chǔ)源于十進分數(shù)的理解，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)過分數(shù)，但分數(shù)的初步認識被安排在三年級學(xué)習(xí)，時隔一年半再學(xué)習(xí)分數(shù)，多數(shù)學(xué)生對分數(shù)很陌生。因而教材直接學(xué)習(xí)小數(shù)意義，沒有分數(shù)基礎(chǔ)是很難的。

2.小數(shù)的學(xué)習(xí)同樣是在三年級，主要是對一位小數(shù)的認識，而教材安排的一課是1-3位，并且以純小數(shù)為主，那么，帶小數(shù)的意義直接忽略，并未使得學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。

3. 小數(shù)是十進制分數(shù)，那么，整數(shù)與小數(shù)之間的對接，也就是十進制關(guān)系被安排在第二課時，這樣小數(shù)的意義與數(shù)系相脫離，同樣不利于理解小數(shù)的意義?；诖?，這部分內(nèi)容應(yīng)該打破教材的邏輯結(jié)構(gòu)，應(yīng)該將這部分的內(nèi)容增加分數(shù)的再認識，特別是分母是10的分數(shù)的理解，然后再對一位小數(shù)的意義開始探討，并且抓住元素0.1不斷增長的意義過程。例如：這里的學(xué)材可以借助十等分的方格讓學(xué)生直觀認識，一個正方形均分成10份，一份、二份、……、九份，從0.1到0.9的有序認知建構(gòu)，當(dāng)再增加1份，正方形格子變成滿的，也就是10份，讓學(xué)生用小數(shù)表示圖例中“十份”，有的認為是1，有的認為是1.0。學(xué)生在激烈的探討過程中，如何判斷正確與否，最終回到的分數(shù)十分之十的意義上，學(xué)生借助圖像與相對應(yīng)的小數(shù)對接分數(shù)十分之十突破1.0這一核心元素。只有在充分了解學(xué)生的既有經(jīng)驗，站在整體、系統(tǒng)的角度去組織交流，圍繞問題的核心探尋知識內(nèi)、知識間的結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)的有機聯(lián)結(jié)，當(dāng)出現(xiàn)“十一份”如何用圖例表示的問題時，學(xué)生異口同聲的說再增加1份，也就是1.1。當(dāng)再次探討1.1中的兩個1的意義過程中，學(xué)生對整數(shù)部分與小數(shù)部分的計數(shù)單位以及數(shù)位又有了新的認識。學(xué)材的設(shè)計和教學(xué)組織的過程中，使學(xué)生了解這些方法背后的原理，要注重對于小數(shù)的意義的理解，進而形成與之相關(guān)的核心素養(yǎng)。

總之，結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)著重強調(diào)找準核心元素，圍繞核心元素探討，呈現(xiàn)知識展開的過程，溝通知識間的縱橫關(guān)聯(lián)，促進整體結(jié)構(gòu)組織，形成結(jié)構(gòu)化思維。