試探周期函數(shù)的最小周期區(qū)間定義

彭飛 王平

[摘 ?要] “周期性”是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，三角函數(shù)y=sinx是研究函數(shù)周期性質(zhì)的重要載體. 由對函數(shù)y=sinx的周期性質(zhì)等問題的研究，提出定義在R上的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間的定義，并對函數(shù)最小周期區(qū)間的定義加以應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 周期;周期區(qū)間;定義;數(shù)學(xué)運(yùn)用

“周期性”是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，高中階段周期函數(shù)重要的模型則是y=sinx，然而有不少學(xué)生對y=sinx的周期區(qū)間的認(rèn)識比較模糊. 筆者試在對函數(shù)y=sinx的最小周期區(qū)間思考的基礎(chǔ)上，提出定義在R上的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間的定義，不當(dāng)之處，還望指正.

問題呈現(xiàn)

筆者近期聽了一節(jié)公開課，公開課的主題是《正弦函數(shù)的圖像》. 課中的這樣一個(gè)問題引起筆者的注意. 開設(shè)公開課的教師在課堂中提出了這樣一個(gè)問題：“函數(shù)y=sinx的周期是2π，那么我們可以首先畫出函數(shù)的一個(gè)周期的圖像，然后再根據(jù)周期函數(shù)圖像的性質(zhì)，將其進(jìn)行復(fù)制，就可以得到整個(gè)函數(shù)的圖像了，那么我們應(yīng)該選擇怎么樣的一個(gè)周期呢？”，學(xué)生的答案多種多樣，其中有兩個(gè)答案引起了筆者的興趣，答案如下：[0，2π]，[0，2π）. 開設(shè)公開課的教師在講課時(shí)，則是選擇了[0，2π]. 課后研討時(shí)，筆者與授課教師交流后得知，授課教師是源于課本的原因，因?yàn)樘K教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4》（以下簡稱“蘇教版必修4”）中這樣寫道：“由于y=sinx是以2π為周期的周期函數(shù)，故只要畫出在[0，2π]上的圖像，然后由周期性就可以得到整個(gè)圖像.” [1] 那么這兩個(gè)區(qū)間都是表示一個(gè)周期的區(qū)間嗎？他們有區(qū)別嗎？課本規(guī)定了畫出[0，2π]，難道就不可以先畫出[0，2π）的圖像嗎？

依據(jù)教材，辨析兩個(gè)區(qū)間

1. 周期函數(shù)的定義域必?zé)o界

蘇教版必修4中給出了函數(shù)的周期定義如下：“一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)值x，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.” [1]

從蘇教版必修4教材中給出的周期函數(shù)的定義可知，周期函數(shù)的圖像具有“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，蘇教版必修4在課文中特別提出：“易知2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，4π，6π，…以及-2π，-4π，…都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，即每一個(gè)常數(shù)2kπ（k∈Z，且k≠0）都是函數(shù)的周期.” [1] ?由此得出周期函數(shù)的周期并非唯一，周期函數(shù)的周期有正有負(fù)，也就說明周期函數(shù)的圖像必須是向兩端不斷地“復(fù)制、粘貼”，由此可以得出周期函數(shù)的定義域必須是無界的 [2]， 這一點(diǎn)可以在最近幾年的江蘇高考試題中得到驗(yàn)證，本文將在第四點(diǎn)中加以說明.

2. 函數(shù)y=sinx周期區(qū)間為[0，2π]的重要性

根據(jù)上述定義及說明，蘇教版必修4教材中指出，由于y=sinx是以2π為周期的周期函數(shù)，故只要畫出[0，2π]上的圖像，筆者姑且稱此處的[0，2π]為函數(shù)y=sinx的周期區(qū)間. 借助三角函數(shù)線，可以將[0，2π]的圖像繪制出來，然后再將其向兩端復(fù)制、粘貼，在此不妨先將圖像向右復(fù)制、粘貼. 當(dāng)把[0，2π]的圖像向右復(fù)制時(shí)，可以清晰地看到原來x=0所對應(yīng)的點(diǎn)與x=2π所對應(yīng)的點(diǎn)重合，那就說明在教材提出的周期區(qū)間[0，2π]里面的x=0或者x=2π所對應(yīng)的點(diǎn)是多余的，可以省去.倘若將[0，2π]變?yōu)閇0，2π），再將圖像復(fù)制、粘貼過來時(shí)，則不會(huì)有多余的點(diǎn)，那么課本為什么會(huì)做這樣的安排呢？

（1）學(xué)生認(rèn)知水平的需要. 由具體教學(xué)實(shí)踐可知，蘇教版必修4的教學(xué)是安排在高一上學(xué)期，也就是在學(xué)生剛剛進(jìn)入高中不久的時(shí)間內(nèi). 而剛剛進(jìn)入高中的學(xué)生認(rèn)知水平的能力有限，加之學(xué)生第一次接觸周期函數(shù)y=sinx的圖像，自然對y=sinx圖像的連續(xù)性認(rèn)識不夠，而當(dāng)把[0，2π]的圖像復(fù)制過來時(shí)，原來x=0所對應(yīng)的點(diǎn)與x=2π所對應(yīng)的點(diǎn)重合，函數(shù)圖像在兩個(gè)周期之間自然而然就連接起來，整個(gè)函數(shù)的圖像就連續(xù)了，潛移默化中加強(qiáng)了學(xué)生對函數(shù)y=sinx連續(xù)性的認(rèn)識.

（2）五點(diǎn)法作圖的需要. 剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)y=sinx時(shí)，函數(shù)y=sinx的圖像是借助三角函數(shù)線畫出來的，繪制過程較為煩瑣，為了簡化作圖過程，教材在后續(xù)的教學(xué)中提出了五點(diǎn)作圖法. 五點(diǎn)作圖法能夠快速準(zhǔn)確地畫出函數(shù)y=sinx的大致圖像，五點(diǎn)法作圖選擇了x=0， ，π， ，2π所對應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)，若是周期區(qū)間為[0，2π），則x=2π對應(yīng)的圖像是個(gè)空心點(diǎn)，教學(xué)時(shí)不利于構(gòu)建五點(diǎn)作圖法. 五點(diǎn)作圖法是在三角函數(shù)線之后簡化而成的，所以為了后續(xù)的教學(xué)的需要，教材就有必要將周期區(qū)間設(shè)置為[0，2π].

3.函數(shù)y=sinx的周期區(qū)間設(shè)為[0，2π）更為合理、精準(zhǔn)

出于教學(xué)需要的考慮，將函數(shù)y=sinx的一個(gè)周期區(qū)間設(shè)置為[0，2π]著實(shí)很有必要，但是在周而復(fù)始的過程中也確實(shí)有一個(gè)點(diǎn)多余. 也就是說，周期區(qū)間[0，2π]上有多余的數(shù)值，即多出了0或者是2π，可以將其中一個(gè)在此區(qū)間中去掉，周期區(qū)間即變?yōu)閇0，2π）或者是（0，2π]，此時(shí)這個(gè)周期區(qū)間就是最小的了. 在后期教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對此區(qū)間再認(rèn)識，將函數(shù)y=sinx的周期區(qū)間設(shè)為[0，2π）或者（0，2π]更為合理、精準(zhǔn)，筆者認(rèn)為可以稱此區(qū)間為最小周期區(qū)間.

根據(jù)理解，提出定義

上述對函數(shù)y=sinx的最小周期區(qū)間的思考，是基于不重復(fù)不遺漏的原則來考慮的，以這樣一個(gè)重要的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間為模型，筆者在此斗膽提出定義在R上的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間并加以應(yīng)用.

引：區(qū)間長度的定義：對于區(qū)間[a，b]，（a，b]，[a，b），（a，b），則b-a為區(qū)間長度.

函數(shù)最小周期區(qū)間的定義：已知周期函數(shù)的定義域?yàn)镽，對于定義域中的非開區(qū)間D，若區(qū)間D內(nèi)的每一個(gè)x，x+T都不在區(qū)間D內(nèi)，且區(qū)間D的長度為T，則稱區(qū)間D為最小周期區(qū)間，其中T為最小正周期.

說明：由定義可以看出，定義在R上的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間應(yīng)為半開半閉式區(qū)間，且最小周期區(qū)間的個(gè)數(shù)為無限個(gè)，而最小正周期區(qū)間只有一個(gè)，即為（0，T]. 如：若函數(shù)y=f（x）的周期是2，則函數(shù)y=f（x）的最小周期區(qū)間應(yīng)為[0，2）或者（0，2]或者（-1，1]等等，其中（0，2]為最小正周期區(qū)間.

應(yīng)用定義，解決問題

1. 命題嚴(yán)謹(jǐn)性中的應(yīng)用

例1：（2015年江蘇高考卷第11題）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0， -x，0≤x<1，

其中a∈R. 若f- =f ，求f（5a）的值.

解題分析：例題1給出的函數(shù)是一個(gè)定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，這一點(diǎn)充分說明了周期函數(shù)定義域的“無界性”，以下幾道試題均是如此，不再重復(fù)做說明;同時(shí)，由于函數(shù)y=f（x）的周期為2，例題中給出了[-1，1）上的具體解析式，題目中的條件f- =f 可以通過周期函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為f- =f ，從而解決本題中的唯一參數(shù).

解：因?yàn)閥=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，故f- =f 可轉(zhuǎn)化為f- =f ，即- +a= - ，解得a= ，所以f（5a）=f（3）=f（-1）=- .

評注：由周期函數(shù)最小周期區(qū)間的定義可知，題目給出的[-1，1）這樣的區(qū)間就是最小周期區(qū)間，體現(xiàn)了命題者的命制試題的嚴(yán)謹(jǐn)性. 如若給出的區(qū)間為[-1，1]，則會(huì)產(chǎn)生重復(fù)條件，導(dǎo)致該題無解，2014年江蘇高考試題的第13題、2018年江蘇高考試題的第9題亦有異題同源之意.

2. 挖掘隱藏條件的應(yīng)用

例2：（2012年江蘇高考卷第10題）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x<0 ，0≤x≤1，其中a，b∈R. 若f =f ，求a+3b的值.

解題分析：本題條件中存在兩個(gè)參數(shù)，需要兩個(gè)方程才能解決，而從題面上看，似乎題目只給出了一個(gè)方程，若是如此，解決兩個(gè)參數(shù)就有困難了. 進(jìn)一步深入研究題意，函數(shù)y=f（x）的周期為2，給出的區(qū)間為[-1，1]，由周期函數(shù)的最小周期區(qū)間定義得出，此區(qū)間并非最小周期區(qū)間，它比最小周期區(qū)間多出了一個(gè)值，在“復(fù)制，粘貼”圖像時(shí)必然有重復(fù)的點(diǎn)，有重復(fù)的點(diǎn)也就意味著有等量關(guān)系的存在. 分析至此，隱藏的方程就顯露出來了，即為f（-1）=f（1）;再根據(jù)函數(shù)的周期定義，條件f =f 可轉(zhuǎn)化為f =f- ，聯(lián)立成方程組即可解決問題.

解：因?yàn)閥=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，所以f =f 可轉(zhuǎn)化為f =f- ，即- a+1= ，所以b=-1- a（1）.

又因?yàn)閒（x）是周期為2的函數(shù)，且在區(qū)間[-1，1]上有f（x）=ax+1，-1≤x<0， ，0≤x≤1，

所以得到f（-1）=f（1），得到b=-2a（2）.

由（1）（2）聯(lián)立方程組，可解出a=2，b=-4，故a+3b=-10.

評注：此題給出的區(qū)間[-1，1]具有較強(qiáng)的迷惑性，容易使學(xué)生誤認(rèn)為這個(gè)區(qū)間就是最小周期區(qū)間，從而無法得出第二個(gè)方程來進(jìn)行求解.在教學(xué)中，教師只要引導(dǎo)學(xué)生理解了最小周期區(qū)間的定義，就能識別出題意中的陷阱，問題也就迎刃而解了.

3. 綜合性問題中的應(yīng)用

例3：（2016屆江蘇省泰州期末試卷第14題）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+θ）-cos cos - ，其中A為常數(shù)，θ∈（-π，0），若實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足（1）x1

解題分析：對已知的函數(shù)f（x）=Asin（x+θ）-cos cos - 運(yùn)用三角變換等知識，化簡可得f（x）= sin（x+α）- . 不妨設(shè)f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，本題則可理解為y=f（x）的圖像與y=k有三個(gè)不同交點(diǎn)，并且由條件（1）可以得出，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須在區(qū)間[x1，x3]內(nèi). 若函數(shù)y=f（x）為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），則函數(shù)y=f（x）的周期為T=2π. 又因?yàn)閤3-x1<2π，很明顯區(qū)間[x1，x3]應(yīng)該包含于該函數(shù)其中的一個(gè)最小周期區(qū)間內(nèi)，由函數(shù)圖像的變換知識可知，y=k與y=f（x）不可能在一個(gè)最小周期區(qū)間之內(nèi)產(chǎn)生三個(gè)不同的交點(diǎn)，故此函數(shù)并非為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），由此解決本題.

不妨設(shè)f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，即為y=f（x）的圖像與y=k有三個(gè)不同交點(diǎn)，并且由條件（1）可以得出，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須在區(qū)間[x1，x3]內(nèi).

若函數(shù)y=f（x）為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），則由題意不難得出函數(shù)y=f（x）的周期為T=2π. 又因?yàn)閤3-x1<2π，很明顯區(qū)間[x1，x3]應(yīng)該包含于該函數(shù)其中的一個(gè)最小周期區(qū)間內(nèi). 由函數(shù)圖像的變換知識可知，y=k與y=f（x）不可能在一個(gè)最小周期區(qū)間之內(nèi)產(chǎn)生三個(gè)不同的交點(diǎn)，故此函數(shù)并非為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），所以Acosθ- ?+Asinθ- ?=0，即Acosθ- =0，Asinθ- =0，

解得θ=- .

評注：本題的本質(zhì)還是考查函數(shù)的周期性質(zhì)、函數(shù)的最小周期區(qū)間，只不過命題者適當(dāng)改變了題意的表述方式. 教學(xué)中，其實(shí)只要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心理解題意，轉(zhuǎn)化題意，即可解決本題.

上述即為筆者對定義在R上的周期函數(shù)的最小周期區(qū)間的一點(diǎn)思考，這樣的一點(diǎn)思考或許還有待進(jìn)一步的推敲，但筆者認(rèn)為思考的結(jié)果并不重要，重要的是思考的過程，只有思考才能提高對教材中概念、定理等的認(rèn)識，只有思考才能嚴(yán)謹(jǐn)師生的數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

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