基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)列教學(xué)研究

秦國(guó)剛

[摘 ?要] 運(yùn)用文獻(xiàn)法、案例法、分析法等，基于核心素養(yǎng)視角，從教會(huì)學(xué)生用函數(shù)的角度看數(shù)列、教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)列、教會(huì)學(xué)生用數(shù)列的眼光看世界三個(gè)方面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析的能力.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);數(shù)列

數(shù)列，作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，一直是高考命題的熱點(diǎn)，數(shù)列高考考什么這話題已成“老生常談”. 當(dāng)下，當(dāng)我們排除應(yīng)試教育的干擾，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度重新審視數(shù)列教學(xué)，我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生什么呢？我們知道，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面 . 那么，在數(shù)列教學(xué)中，我們?cè)撊绾巫尳虒W(xué)內(nèi)容處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者談幾點(diǎn)拙見(jiàn)，供同仁參考，并以斧正.

教會(huì)學(xué)生從函數(shù)的角度看數(shù)列

任何一個(gè)數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生都有它的前因后果. 數(shù)列誕生于函數(shù)，又不同于普通的函數(shù). 教會(huì)學(xué)生從函數(shù)角度看數(shù)列，其中就包含了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等能力的培養(yǎng).

例如，從普通函數(shù)圖像到數(shù)列的圖像的演變，離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象，從數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，離不開(kāi)數(shù)據(jù)分析;用函數(shù)的觀點(diǎn)去解決數(shù)列問(wèn)題，又離不開(kāi)邏輯推理. 我們不僅要教會(huì)學(xué)生“知其然”，更要教會(huì)學(xué)生“知其所以然”.

數(shù)列雖然可以看作是一類特殊的函數(shù)，但它有著自身獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，什么事情都是一分為二的，如果我們教學(xué)生一遇到數(shù)列問(wèn)題，就想到函數(shù)方法，這就有失偏頗了，只抓矛盾的普遍性而忽視矛盾的特殊性，這是數(shù)列教學(xué)中極易走入的誤區(qū). 我們應(yīng)該要讓學(xué)生知道，數(shù)列是函數(shù)，但不可認(rèn)為數(shù)列就是函數(shù)，不可將數(shù)列與函數(shù)等同起來(lái) .

例1：已知數(shù)列{an}.

（1）若an=n2-5n+4，則①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？②n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.

（2）若an=n2+kn+4且對(duì)于n∈N*，都有an+1>an成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析：（1）本題雖然是數(shù)列問(wèn)題，其實(shí)就是二次函數(shù)求最小值問(wèn)題，與二次函數(shù)不同的就是，這里的自變量n是正整數(shù). （2）數(shù)列是一類特殊函數(shù)，本題的通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f（n）=n2+kn+4. f（n）在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù).從二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究單調(diào)性，我們也可以利用an+1>an恒成立，即轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題.

本題的答案：（1）n=2或n=3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2=a3=-2;（2）k>-3.

點(diǎn)評(píng)：（1）當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)公式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)時(shí)，通?？梢岳枚魏瘮?shù)的對(duì)稱軸來(lái)研究其單調(diào)性，從而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問(wèn)題圓滿解決.

（2）在運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸位置.

本題是個(gè)數(shù)列問(wèn)題，卻用函數(shù)的思想加以解決. 同時(shí)，又體現(xiàn)了數(shù)列是一類特殊的函數(shù).

教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)列

萬(wàn)事萬(wàn)物都存在著聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，有助于我們更能把握數(shù)列的本質(zhì)，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，以及數(shù)列解題方法之間的聯(lián)系，都是數(shù)列教學(xué)的好素材.

例如，在等差數(shù)列和等比數(shù)列的教學(xué)中，可不斷滲透類比思想，將一次函數(shù)與等差數(shù)列作比較，將指數(shù)函數(shù)與等比數(shù)列作比較，將等比數(shù)列與等差數(shù)列作類比，通過(guò)比較與類比抽象出有關(guān)性質(zhì)和解題方法.

用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題，有利于學(xué)生形成科學(xué)的世界觀，從而更能把握住數(shù)列的內(nèi)涵，從而不斷地提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例2：已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)Tn=Sn- （n∈N*），求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.

解析：本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問(wèn)題，如何解決問(wèn)題？需通過(guò)知識(shí)與方法的“雙重”聯(lián)系才能解決. 知識(shí)層面上的聯(lián)系，是本題與等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，方法層面上的聯(lián)系，是數(shù)列{Tn}最值與數(shù)列單調(diào)性的聯(lián)系.

第（1）題先證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列，再求出其通項(xiàng)為an= ×- ?=（-1）n-1· .

第（2）題利用第（1）題的結(jié)論寫出Sn=1-- ?=1+ ，n為奇數(shù)，1- ，n為偶數(shù)，進(jìn)而通過(guò)討論Sn的單調(diào)性，來(lái)求出數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值為 ，最小項(xiàng)的值為- . 具體過(guò)程略.

點(diǎn)評(píng)：解答本題，處處體現(xiàn)了聯(lián)系的觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 從原問(wèn)題中抽象出等比數(shù)列模型，又與數(shù)列的單調(diào)性聯(lián)系，求出數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的最大值與最小值，而對(duì)奇偶數(shù)的分析與最值得運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個(gè)最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)列是什么？數(shù)列是一列按一定次序排列的數(shù)，這是數(shù)列的本質(zhì). 研究數(shù)列，其實(shí)就是揭示數(shù)列中各項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系和不同數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系. 當(dāng)我們用聯(lián)系的觀點(diǎn)去審視數(shù)列問(wèn)題時(shí)，思維就會(huì)被打開(kāi). 不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，有著“驚人相似的一幕”，而數(shù)列求和的倒序相加法，正是啟發(fā)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo). 因此，教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)列，切實(shí)可行，也十分有效.

教會(huì)學(xué)生用數(shù)列的眼光看世界

教會(huì)學(xué)生用數(shù)列的眼光看世界，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的要求，同時(shí)也是數(shù)列教學(xué)的落腳點(diǎn)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，也是新課標(biāo)的教學(xué)目的. 與此同時(shí)，教師也可將數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化滲透其中，讓學(xué)生感受到數(shù)列知識(shí)的博大精深與數(shù)列歷史的源遠(yuǎn)流長(zhǎng).

例如，中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人. 共獵得五鹿，欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？ ”細(xì)讀題目，可以發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題.

又如，《算法統(tǒng)宗》書(shū)中寫到：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還. ?”仔細(xì)閱讀題目，可以看出它是個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題.

與此同時(shí)，在數(shù)列教學(xué)中，我們要時(shí)刻關(guān)心身邊的客觀世界，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，并用數(shù)列的觀點(diǎn)與方法去解決問(wèn)題.

例3：濱海市2017年發(fā)放汽車牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)型汽車牌照2萬(wàn)張. 為了節(jié)能減排和控制總量，從2017年開(kāi)始，每年電動(dòng)型汽車牌照的發(fā)放量按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬(wàn)張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過(guò)15萬(wàn)張，以后每一年發(fā)放的電動(dòng)型汽車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

（1）記2017年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）若從2017年算起，你能算出二十年發(fā)放的汽車牌照總量嗎？

解析：（1）完成表格如下：

當(dāng)1≤n≤20且n∈N*，an=10+（n-1）×（-0.5）=- + ;當(dāng)n≥21且n∈N*，an=0，所以an=- + ，1≤n≤20且n∈N*，0，n≥21且n∈N*.

因?yàn)閍4+b4=15.25>15，所以bn=2× ?，1≤n≤4且n∈N*，6.75，n≥5且n∈N*.

（2）a1+a2+…+a20=10×20+ ×- =105，b1+b2+b3+b4+b5+…+b20= +6.75×16=124.25.

所以從2017年算起，二十年發(fā)放的汽車牌照總量為229.25萬(wàn)張.

點(diǎn)評(píng)：現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)列問(wèn)題的模型極為廣泛，如物群的生長(zhǎng)和消亡，人們生活的收入與支出等.解決此類問(wèn)題的途徑有兩種：一是逐項(xiàng)列舉前幾項(xiàng)，尋求規(guī)律，滿足某種數(shù)列;二是尋求任意前后兩項(xiàng)間的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為遞推式問(wèn)題.這些都是數(shù)列教學(xué)的好素材.

用數(shù)列的眼光看世界，也是學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的好素材，是數(shù)列教學(xué)中值得做大做強(qiáng)的一篇好文章.

新的時(shí)代呼喚新的教育，新的教育呼喚核心素養(yǎng). 教師應(yīng)解放思想，擺脫應(yīng)試教育的束縛，讓核心素養(yǎng)觀滲透到每一堂數(shù)學(xué)課中去. 或許我們會(huì)少做幾個(gè)難題，或許階段性測(cè)試會(huì)暫時(shí)落后，“十年樹(shù)木百年樹(shù)人”，但我們收獲的是學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展.