多元函數(shù)泰勒公式及其應(yīng)用

黃賢峰，史亳徽

（阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng) 236037）

泰勒展式是數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的概念，是微分學(xué)理論的最一般情形，具有化繁為簡(jiǎn)、化難為易的功能。同時(shí)，其在多元函數(shù)逼近、計(jì)算機(jī)圖像學(xué)及工程近似計(jì)算等領(lǐng)域具有較為廣泛的應(yīng)用。其中，一元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的研究已相當(dāng)成熟，如利用一元函數(shù)泰勒公式求解極限、利用泰勒展開(kāi)式巧解行列式以及利用泰勒展開(kāi)式求函數(shù)圖像的漸近線(xiàn)等。而多元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的問(wèn)題研究想對(duì)較少，而多元函數(shù)的研究更加具有實(shí)際價(jià)值，因此該文將在一元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的基礎(chǔ)上，對(duì)多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式展開(kāi)研究。首先，對(duì)多元泰勒展開(kāi)式的基本知識(shí)進(jìn)行了歸納和總結(jié)。其次，由于多元泰勒展開(kāi)式在展開(kāi)時(shí)比較復(fù)雜，因此該文將借助MATLAB 實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。再次，借助張量與張量積運(yùn)算為泰勒展開(kāi)式引入一種新的表現(xiàn)形式，使其更加簡(jiǎn)潔直觀(guān)，便于理解和記憶。最后，借助多元泰勒展開(kāi)式在數(shù)學(xué)、物理學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明其巨大的應(yīng)用價(jià)值。

1 預(yù)備知識(shí)

下面將給出多元函數(shù)和多元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的定義。

定義1（二元函數(shù)） 設(shè)D 是平面點(diǎn)集，R 為實(shí)數(shù)集，f 是一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則，若對(duì)于D 中的每一個(gè)（x，y），通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，在R 中有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f 是定義在D 上的一個(gè)二元函數(shù)。它在的值為z，記為：

z=f（x，y），（x，y）∈D?R2

也可以說(shuō)是從到的一個(gè)映射，記作：

f:D→R，（x，y）→z=f（x，y），

其中，稱(chēng)D 為該二元函數(shù)f 的定義域，像集f（D）{z|z=f（x，y），（x，y）∈D}稱(chēng)為值域。

定義2（n 元函數(shù)）設(shè)D 是Rn的一個(gè)非空子集，f 是一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則，若對(duì)于D 中的每一個(gè)點(diǎn)P，通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，在R 中有唯一的點(diǎn)u 與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f 是定義在D 上的一個(gè)n 元函數(shù)。它在P 點(diǎn)的值為u，記為u=f（P），P∈D?Rn

也可以說(shuō)是從D 到R 的一個(gè)映射，記作：

定義3 設(shè)函數(shù)f:Rn→R，x∈Rn，f 在點(diǎn)x 的某個(gè)以δ為半徑的鄰域內(nèi)S=U（x，δ）?Rn具有直到（n+1）階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)Ax'∈S，有

其中，δ=（δ1，δ2，···，δn）T

=（x1，x2，···，xn）-（x'1，x'2···x'n），

公式（1）稱(chēng)為以（x-x'）的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n 階泰勒公式，Rn（x）稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)，且有

其中，（3）式稱(chēng)為佩亞諾型余項(xiàng)。

此時(shí)若取x'=0，則ξ 在0 與x 之間，故可令ξ=θx（0＜θ＜1），使泰勒公式變?yōu)楦鼮楹?jiǎn)單的形式，即帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式。

當(dāng)Rn（x）要求不大精確時(shí)，n 階泰勒公式亦可表示為

公式（5）稱(chēng)為以（x-x'）的冪展開(kāi)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)n 的階泰勒公式。若取x'=0，則得到帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式

由（4）或（6）可得到近似公式

2 多元函數(shù)泰勒展式的張量表示

從功能上說(shuō)，張量[5]可以理解為多維數(shù)組，其中零階張量表示標(biāo)量（數(shù)量），一階張量表示向量，也就是一維數(shù)組；n 階張量可以視為為一個(gè)n 維數(shù)組。

該文為了問(wèn)題說(shuō)明的方便，以三元函數(shù)的三階泰勒展式為例展開(kāi)說(shuō)明?，F(xiàn)假設(shè)函數(shù)f (x, y, z)在點(diǎn)p0（x0，y0，z0）的某個(gè)以δ 為半徑的鄰域U(p0，δ)內(nèi)具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于A(yíng)p(x, y, z)∈U(p0，δ)，做差分計(jì)算得到：

Δx=x-x0；Δy=y-y0；Δz=z-z0.即Δp=（x-x0，y-y0，z-z0）T.

代入三元函數(shù)，則可得泰勒展式的基本形式為：

同理，我們可以得出n 元函數(shù)的泰勒展式的一種比較簡(jiǎn)潔和直觀(guān)的表達(dá)形式，只是過(guò)程相對(duì)來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜，但是仍然可以實(shí)現(xiàn)。

3 多元泰勒展式的實(shí)際應(yīng)用

由于泰勒展式在數(shù)學(xué)、物理學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用較多，所以下面以多元泰勒展式為例

對(duì)于三元函數(shù)f（x，y，z）在點(diǎn)

x=a，y=b，z=c 鄰域的泰勒展式為：

ρ 稱(chēng)為體系的電偶極矩[6]，張量Dij稱(chēng)為體系的電四極矩。

綜上，得電荷體系激發(fā)的在遠(yuǎn)處的多極展開(kāi)式為

通過(guò)對(duì)多元泰勒展式在物理學(xué)領(lǐng)域這一實(shí)例的分析,足見(jiàn)其應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)語(yǔ)

在分析多元泰勒展開(kāi)式的基礎(chǔ)上，本文給出了元函數(shù)帶有拉格朗日型余項(xiàng)與帶有佩亞諾型余項(xiàng)兩種形式的泰勒公式； 同時(shí)也給出了元函數(shù)帶有拉格朗日型余項(xiàng)與帶有佩亞諾型余項(xiàng)兩種形式的麥克勞林公式。利用MATLAB 軟件直觀(guān)分析了一個(gè)多元函數(shù)與其泰勒展開(kāi)式之間的區(qū)別和聯(lián)系。并借助張量知識(shí)給出了多元泰勒展開(kāi)式的另一種較為簡(jiǎn)潔、直觀(guān)的表現(xiàn)形式。最后，具體分析多元泰勒展開(kāi)式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，展示其重大的應(yīng)用價(jià)值。因此，該文一方面可以促進(jìn)泰勒展開(kāi)式相關(guān)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)；另一方面，對(duì)于實(shí)際的生產(chǎn)生活具有一定的應(yīng)用價(jià)值和指導(dǎo)意義。